離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)第八章離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)

第八章離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)本章我們把隨機(jī)過(guò)程作為離散時(shí)間信號(hào)的模型來(lái)討論，前提是讀者已經(jīng)熟悉如隨機(jī)變量、概率分布和平均等概率論中的基本概念。在實(shí)際信號(hào)處理的應(yīng)用中利用隨機(jī)過(guò)程模型時(shí)，我們總是把一個(gè)具體的序列當(dāng)做全部序列中的一個(gè)樣本。若給定一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)，相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律通常是未知的，必須設(shè)法從中推導(dǎo)出來(lái)。我們可以對(duì)該過(guò)程的構(gòu)成做出合理的假設(shè)，或者從一個(gè)典型樣本序列段中估計(jì)出某一隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)。8.1離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通常一個(gè)隨機(jī)過(guò)程由一組帶有序號(hào)的隨機(jī)變量{Xn}表示，隨機(jī)變量組的特性由一組概率分布函數(shù)來(lái)描述，該分布函數(shù)往往可能是序號(hào)n的函數(shù)。對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，我們認(rèn)為它的每一個(gè)樣本值x[n]都是由服從某種概率論定律的過(guò)程所產(chǎn)生的。隨機(jī)變量Xn可以用如下的概率分布函數(shù)來(lái)描述

8.1離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)隨機(jī)變量Xn和Xm之間的相互關(guān)聯(lián)性隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的完整描述需要逐一給出全部可能的聯(lián)合概率密度分布。正如我們已經(jīng)指出的，這些概率分布函數(shù)可能都是時(shí)間序號(hào)n的函數(shù)。如果所有的這些概率函數(shù)對(duì)于時(shí)間起始點(diǎn)的平移均獨(dú)立，那么這個(gè)隨機(jī)過(guò)程通常被稱為是平穩(wěn)的。8.1離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的平均或均值定義為其中E表示數(shù)學(xué)期望。通常，均值（期望值）可以與n有關(guān)。類似可以得出隨機(jī)變量函數(shù)的均值8.2時(shí)間平均定義離散隨機(jī)變量的均值數(shù)學(xué)期望算子是線性算子統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)（線性獨(dú)立）：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程也是線性獨(dú)立的，但是線性獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程并不意味著是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。平穩(wěn)過(guò)程的均值8.2時(shí)間平均需要注意的問(wèn)題均方值方差自相關(guān)序列自協(xié)方差序列8.2時(shí)間平均常用和重要的統(tǒng)計(jì)量遍歷過(guò)程在實(shí)際中常常假設(shè)已知的序列是遍歷隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本序列，所以可以由某一單個(gè)序列來(lái)計(jì)算平均量。樣本均值和方差自相關(guān)的估計(jì)8.2時(shí)間平均時(shí)間平均與估計(jì)

例8.1

計(jì)算零均值過(guò)程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列。（Matlab上機(jī)實(shí)驗(yàn)）程序代碼如下

:%%clc,clearN=1e4;x=randn(1,N);figure;subplot(211)plot(x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('零均值隨機(jī)過(guò)程');grid;subplot(223)[r1,lags]=xcorr(x,length(x)/2,'unbiased');plot(lags,r1);xlabel('n');ylabel('R_x(n)');title('隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列');grid;

subplot(224)[r2,lags]=xcov(x,length(x)/2,'unbiased');plot(lags,r2);xlabel('n');ylabel('Cov_x(n)');title('隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差序列');grid;例8.2已已知序序列x(n)為一長(zhǎng)長(zhǎng)度為N＝＝104的的高斯隨機(jī)機(jī)噪聲，計(jì)計(jì)算它的樣樣本均值、、樣本方差差。（Matlab上機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)）程序代代碼如下：%%clc,clearN=1e4;x=randn(1,N);%產(chǎn)生生隨機(jī)信號(hào)號(hào)disp('樣本均均值');xmean=mean(x)disp('樣本方方差');xd=var(x)8.3相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)定義相關(guān)序序列和協(xié)方方差序列的的離散傅里里葉變換它的面積正正比于信號(hào)號(hào)的平均功功率。事實(shí)實(shí)上，正如如所討論的的，它在在一個(gè)頻段段上的積分分正比于那那個(gè)頻段內(nèi)內(nèi)信號(hào)的功功率。正是是由于這個(gè)個(gè)原因，函函數(shù)稱為功率密密度譜，或或簡(jiǎn)稱功率率譜。類似定義互互功率密度度譜理想低通濾濾波器的噪噪聲功率輸輸出8.4功率譜隨機(jī)信號(hào)的的傅里葉變變換表示采用Z變換換的主要好好處是當(dāng)Ryy(m)為為有理函數(shù)數(shù)時(shí)，隨機(jī)機(jī)信號(hào)的平平均功率可可以容易地地計(jì)算出來(lái)來(lái)當(dāng)LTI系系統(tǒng)輸入是是隨機(jī)信號(hào)號(hào)時(shí)，Z變變換在確定定其輸出自協(xié)方方差和平均均功率時(shí)也也是很有用用的。LTI系統(tǒng)統(tǒng)輸出的自自協(xié)方差8.4功率譜利用Z變換換計(jì)算平均均功率當(dāng)線性差分分方程的輸輸入是一個(gè)個(gè)平均功率率為定值值的零零均值白白噪聲信號(hào)號(hào)時(shí)，在需需要計(jì)算平平均輸出功功率的量化化噪聲分析析中以上結(jié)結(jié)果特別有有用。輸出的自協(xié)協(xié)方差正比比于LTI系統(tǒng)沖激激響應(yīng)的自自協(xié)方差。。由此可得得8.4功率譜利用Z變換換計(jì)算平均均功率考慮一個(gè)穩(wěn)穩(wěn)定的因果果系統(tǒng)的特特殊例子，，其系統(tǒng)函函數(shù)為有理理函數(shù)這樣一個(gè)系系統(tǒng)函數(shù)可可以說(shuō)明一一個(gè)內(nèi)部舍舍入噪聲源源于一個(gè)定定點(diǎn)運(yùn)算系系統(tǒng)的輸出出之間的關(guān)關(guān)系。8.4功率譜利用Z變換換計(jì)算平均均功率對(duì)于這樣的的有理函數(shù)數(shù)，可以證證明部分分分式展開(kāi)式式為自協(xié)方差函函數(shù)為可求得平均均功率8.4功率譜利用Z變換換計(jì)算平均均功率研究一個(gè)系系統(tǒng)，其脈脈沖響應(yīng)為為系統(tǒng)函數(shù)為為輸出自協(xié)方方差的Z變變換為8.4功率譜二階IIR濾波器的的噪聲功率率輸出合并簡(jiǎn)化得得可以計(jì)算出出表達(dá)式以上的簡(jiǎn)單單結(jié)果對(duì)計(jì)計(jì)算平均功功率公式的的部分分式式方法進(jìn)行行了有力的的說(shuō)明8.4功率譜二階IIR濾波器的的噪聲功率率輸出在第二章討討論了確定定性數(shù)字序序列通過(guò)線線性非移變變系統(tǒng)特點(diǎn)點(diǎn)。這里我我們將討論論隨機(jī)信號(hào)號(hào)通過(guò)線性性非移變系系統(tǒng)時(shí)，系系統(tǒng)所產(chǎn)生生的響應(yīng)問(wèn)問(wèn)題。隨機(jī)機(jī)信號(hào)是遍遍歷性平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程程的取樣序序列，它的的數(shù)字特征征參數(shù)有均均值、方差差、自相關(guān)關(guān)序列和功功率譜等，，討論數(shù)字字特征參數(shù)數(shù)的輸出與與輸入之間間的關(guān)系。。8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

設(shè)線性非移移變系統(tǒng)的的單位取樣樣響應(yīng)為h(n),對(duì)系統(tǒng)統(tǒng)輸入一個(gè)個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過(guò)程（輸輸入隨機(jī)過(guò)過(guò)程）的離離散隨機(jī)信信號(hào)x(n)，系統(tǒng)產(chǎn)產(chǎn)生的輸出出信號(hào)y(n)也是一個(gè)個(gè)離散隨機(jī)機(jī)信號(hào)，把把它看成是是另外一個(gè)個(gè)隨機(jī)過(guò)程程的一個(gè)取取樣序列。。對(duì)線性非非移變系統(tǒng)統(tǒng)，無(wú)論輸輸入信號(hào)x(n)是確定性性的還是隨隨機(jī)性信號(hào)號(hào)，系統(tǒng)的的單位取樣樣響應(yīng)、輸輸入信號(hào)和和輸出響應(yīng)應(yīng)之間總是是存在著下下列關(guān)系：：8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)過(guò)程的均值值mx由于輸入隨隨機(jī)過(guò)程是是平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過(guò)程，故故上式中的的，于是上式式化為系統(tǒng)的輸出出響應(yīng)y(n)是輸出隨隨機(jī)過(guò)程{yn}的一個(gè)取取樣序列，根據(jù)據(jù)遍歷性假假設(shè)，可以以由y(n)求出{yn}的均值為為【例8.3】隨機(jī)信信號(hào)經(jīng)過(guò)線線性非移變變系統(tǒng)后的的均值（Matlab上機(jī)實(shí)實(shí)驗(yàn)）。設(shè)設(shè)濾波器的的單位脈沖沖響應(yīng)h(n)是由下式式所給出的的離散衰減減余弦信號(hào)號(hào)的前61個(gè)值所決決定：h(n)=(0.95)ncos(0.1nππ),輸入信信號(hào)為均值值為3、方方差為1的的Gauss白噪聲聲序列x(n)。該序列列通過(guò)濾波波器后，得得到輸出序序列y(n)。驗(yàn)證式式(8.4.22)。代碼如下：：%%clc,clearN=1e5;sigma=1;x=3+sigma*randn(1,N);n=0:60;h=0.95.^n.*cos(0.1*n*pi);y=filter(h,1,x);disp('輸出信信號(hào)的均值值m_y');mean(y)disp('式(8.4.22)計(jì)算算得到的m_y');mean(x)*sum(h)8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)過(guò)程的自相相關(guān)序列可見(jiàn)輸出隨隨機(jī)過(guò)程的的自相關(guān)序序列只與時(shí)時(shí)間差m有關(guān)，與序列的時(shí)時(shí)間起點(diǎn)的的選取（即即n的選?。o(wú)無(wú)關(guān)，故可可將Ryy(n,n+m)表示示成為Ryy(m)，則則上式變?yōu)闉?.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)過(guò)程的功率率譜假設(shè)輸入隨隨機(jī)過(guò)程的的均值，因因此輸出隨隨機(jī)過(guò)程的的均值。這樣輸入和和輸出隨機(jī)機(jī)過(guò)程的協(xié)協(xié)方差序列列都分別與與它們的自相關(guān)序列列相等。（8.77）8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)過(guò)程的功率率譜對(duì)式（8.76）左左右兩邊進(jìn)進(jìn)行z變換，可得得式中，分別別是輸出和和輸入的功功率譜，它它們分別等等于的z變換，而設(shè)設(shè)h(n)是實(shí)序列列，則有8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)過(guò)程的功率率譜式（8.79）中，，H(z)是系統(tǒng)函函數(shù)。若h(n)是復(fù)序列列，則在為實(shí)序列列的情況下下，將式（（8.79）代入（（8.78）,有【例8.4】線性非非移變系統(tǒng)統(tǒng)單位脈沖沖響應(yīng)的估估計(jì)。（Matlab上機(jī)實(shí)實(shí)驗(yàn)）濾波器的單單位脈沖響響應(yīng)h(n)由下式所所給出的離離散衰減余余弦信號(hào)的的前61個(gè)個(gè)值所決定定：h(n)=(0.95)ncos(0.1nππ),為為利用用互相關(guān)序序列求該濾濾波器的單單位脈沖響響應(yīng)，首先先產(chǎn)生1000個(gè)均均值為零、、方差為1的Gauss白噪噪聲序列w(n)。該序列列通過(guò)濾波波器后，得得到輸出序序列y(n)。然后通過(guò)過(guò)下式計(jì)算互互相關(guān)函數(shù)的的估計(jì)其中N=1000，，m＝0,1…,60。根據(jù)據(jù)式(8.4.28)，，可以得到系統(tǒng)脈沖響應(yīng)應(yīng)h(n)的估計(jì)值，，它和真實(shí)值值分別以實(shí)線線和點(diǎn)線繪于下圖圖。代碼如下：%%clc,clearN=1e3;sigma_sq=1;w=sigma_sq*randn(1,N);n=0:60;h=0.95.^n.*cos(0.1*n*pi);y=filter(h,1,w);R_wy=xcorr(w,y,60,'unbiased');h_est=R_wy/sigma_sq;figure;plot(h,'.');holdon;plot(h_est(60:120));8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸入隨機(jī)過(guò)程程與輸出隨機(jī)機(jī)過(guò)程的互相相關(guān)序列式（8.84）說(shuō)明，系系統(tǒng)的輸入信信號(hào)與輸出信信號(hào)之間的互互相關(guān)序列，等等于輸入信號(hào)號(hào)自相關(guān)序列列與系統(tǒng)單位位取樣的線性卷積。8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸入隨機(jī)過(guò)程程與輸出隨機(jī)機(jī)過(guò)程的互相相關(guān)序列式(8.77）定義了系系統(tǒng)單位取樣樣響應(yīng)的自相相關(guān)序列，實(shí)際上它就是是的線性卷積積對(duì)其z變換8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)程程的方差根據(jù)均值定義義，輸出隨機(jī)機(jī)過(guò)程的均方方值為式中的積分圍圍線可選擇為為單位圓。直直接計(jì)算上式式比較復(fù)雜，可采用用部分分式展展開(kāi)來(lái)計(jì)算逆逆z變換。將展開(kāi)成部分分分式8.5離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)

輸出隨機(jī)過(guò)程程的方差式中，|i|<1是單位位圓內(nèi)的極點(diǎn)點(diǎn)，|j|>1是單位位圓外的極點(diǎn)點(diǎn)，N和M分別是單位圓圓內(nèi)、外極點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)目。如如果只有一階階極點(diǎn)，則括號(hào)中只有有第一項(xiàng)存在在，依此類推推。由式（8.90）得得到本章小結(jié)本章重點(diǎn)討論論了離散隨機(jī)機(jī)信號(hào)的定義義、表示方法法和性質(zhì)；對(duì)對(duì)離散隨機(jī)過(guò)過(guò)程、時(shí)間平平均、功率譜譜和離散隨機(jī)機(jī)信號(hào)通過(guò)線線性非移變系系統(tǒng)進(jìn)行了討討論。本章內(nèi)內(nèi)容是學(xué)習(xí)現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)號(hào)處理的重要要理論基礎(chǔ)。。9、靜夜夜四無(wú)無(wú)鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。19:14:4719:14:4719:1412/25/20227:14:47PM11、以我獨(dú)獨(dú)沈久，，愧君相相見(jiàn)頻。。。12月-2219:14:4719:14Dec-2225-Dec-2212、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。19:14:4719:14:4719:14Sunday,December25,202213、乍見(jiàn)翻翻疑夢(mèng)，，相悲各各問(wèn)年。。。12月-2212月-2219:14:4719:14:47December25,202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青青山。。25十二月月20227:14:47下午19:14:4712月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月227:14下下午12月-2219:14December25,202216、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2022/12/2519:14:4719:14:4725December202217、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時(shí)時(shí)，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點(diǎn)的的射線向前前。。7:14:47下下午7:14下下午19:14:4712月-229、沒(méi)有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。12月-2212月-22Sunday,December25,202210、很多事情情努力了未未必有結(jié)果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒(méi)有。。。19:14:4719:14:4719:1412/25/20227:14:47PM11、成成功功就就是是日日復(fù)復(fù)一一日日那那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小小努努力力的的積積累累。。。。12月月-2219:14:4719:14Dec-2225-Dec-2212、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對(duì)對(duì)圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無(wú)無(wú)限限完完美美。。。。19:14:4719:14:4719:14Sunday,December25,202213、不知知香積積寺，，數(shù)里里入云云峰。。。12月月-2212月月-2219:14:4719:14:47December25,202214、意志志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人人能把把世界界放在在手中中像泥泥塊一一樣任任意揉揉捏。。25十十二二月20227:14:47下下午19:14:4712月月-2215、楚塞塞三湘湘接，，荊門門九派派通。。。。。十二月月227:14下下午午12月月-2219:14December25,202216、少年年十五五二十十時(shí)，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2022/12/2519:14:4719:14:4725December202217、空山山新雨雨后，，天氣氣晚來(lái)來(lái)秋。。。7:14:47下下午7:14下下午午19:14:4712月月-229、楊柳散散和風(fēng)，，青山澹澹吾慮。。。12月-2212月-22Sunday,December25,202210、閱讀一一切好書書如同和和過(guò)去最最杰出的的人談話話。19:14:4719:14:4719:1412/25/20227:14:47PM11、越是沒(méi)有本本領(lǐng)的就越加加自命不凡。。12月-2219:14:4719:14Dec-2225-De