2023年高考數(shù)學一輪復習第六章數(shù)列5數(shù)列求和練習含解析

數(shù)列求和考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．知識梳理1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．等差數(shù)列的前n項和公式：Sna＋a

＝na

n2＝ 1 n ＋2n 2 1等比數(shù)列的前n項和公式：na 1S－aqa

1－qnn 1

n＝1

，q≠1.1－q

1－q分組求和法與并項求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成法，分別求和后相加減．形如an錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的．4．裂項相消法(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(2)常見的裂項技巧1 1 1①nn＋1

.＋11 11 1②nn＋2＝n－n＋2.2③ 1 1 1－1.＝2n－12④ 1 ＝1思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)

a－a若數(shù){a為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和S＝1 n＋1.(√)n當

1 1＝

1－1.(√)

n 1－q2－12－1＋求S＝＋2＋33nna即可根據(jù)錯位相減法求得．n1 n n

(×)(4)求數(shù) ＋2的前

項和可用分組轉(zhuǎn)化法求和．(√)2n 教材改編題1．數(shù){a}的通項公式是a則該數(shù)列的前100項之和( )n nA．－200 B．－100C．200 D．100答案D解析S＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.100

d1 a

＋…＋aa＋a＋…＋

等于( )＝＋n 2 1 3 99＝＋

2 4 100A．50 B．75C．100 D．125答案B解析a＋a＋…＋a2 4 100＝(a1 3 99＝(a＋a＋…＋a)＋50d1 3 99＝50＋25＝75.3．在數(shù){a中，a＝ 1

，若{}的前項和為，則項數(shù)＝.a n 2022 n ，若{}的前項和為，則項數(shù)＝.n n nn 2023答案2022＝－解析a＝ 1 1 1，＝－n nnS 111 1 1∴＝1－＋－＋…＋－n 223 1 n 2022

n＋1＝1－n ＝n ＝ ，＋1 ＋12023∴n＝2022.2題型一分組求和與并項求和1(2022·aa

成等比數(shù)列．n 6an設(shè)b＝2b2n項和T.

1 2 4n n n 2n解(1)∵{ana＝6a，a，a成等比數(shù)列．6 1 2 461a＝a＋5＝6，61∴ ad＝aa3d，1 1 1d≠0，a1a}的通項公式an n(2)由(1)知，bb2n項和為T，n n 2n則T＝(2＋2222＋－4－…)．2n記21＋222，＝－＋23＋，21－22n則1－2 ＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.b2n項和T＝＋＝2＋＋－2.n 2n延伸探究在本例(2b}的前n項和T?n n(2bnn為偶數(shù)時，2－2n＋1 n nT(2＋2＋…2＋123＋－…(－1＋]＝

＋＝2n＋1＋

－2；nn為奇數(shù)時，

1－2 2 2T(2＋2＋…2＋123＋－…(－2＋(1)]nn－1＝2n＋1－2＋2－nn5＝2n＋1－－.22 n2＋1＋

－2，n為偶數(shù)，所以T＝ 2n n52＋1－

－，n為奇數(shù).223教師備選(2020·新高考全國Ⅰ)已知公比大于1a}滿足a＋a＝20，a＝8.求{an

n 2 4 3記b為{a](Nb100項和S.n m 100解(1a1a，公比為n 1a＋a3＝2，依題意1 11a2＝，1a＝32，1 a＝，解 1

(舍)或12＝2

＝，所以{a}的通項公式為a＝2N*.n(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32，26＝64，27＝128，所以b1

(0,1b＝0；1b，b(0,2]，(0,3]，2 3b＝b＝1，21；2 3b，b，b，b對應(yīng)的區(qū)間分別為4 5 6 7(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，b＝b＝b＝b＝2222；4 5 6 7b，b，…，b(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，則b＝b

＝3，8 9 15 8 9 15即有23個3；b，b，…，b

對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，16 17 31則b＝b＝…＝b＝4，即有24個4；16 17 31b，b，…，b對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，32 33 63則b＝b＝…＝b＝5，即有25個5；32 33 63b，b，…，b(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，64 65 100b＝b＝…＝b＝6，376.64 65 100S＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.100思維升華(1c}的通項公式為c＝a±ba}為等差或等比數(shù)列，可采用nc}的前n項和．n

n n n n na，為奇數(shù)，(2)若數(shù){c的通項公式為c＝n 其中數(shù){a}，{b是等比數(shù)列或等差數(shù)nn n b，為偶數(shù)， n nnc}的前n項和．n41(2022·a}的前n項和為S，a＝9，S＝25.na}的通項公式及S；

n 5 5n n設(shè)b＝(－1)nSb}的前n項和T.n n n n解(1a}的公差為nS＝5a＝25a＝a5 3 3 1a＝9＝a5 1＝1，1

n所以a＝2－，S＝ ＝.n n 2(2)(1b＝－1)，當n為偶數(shù)時，nT＝(b＋b)＋(b＋b)＋(b＋b)＋…＋(b＋b)n 1 2 3 4 5 6 n＝－2＋2)＋－3＋42＋(－2＋)＋…－－1)2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]nn＝1＋2＋3＋…＋＝ 2 .nn－1n

nT＝T

＋－1)·＝

2＝－ .n n－1 2 2＝－1.n 2題型二錯位相減法求和na2(10)(2021·a1bb＝a，3a

n成等差數(shù)列．

n n 31 2 3求{ab}的通項公式；[切入點：設(shè)基本量n nS 1記S和Tab}的前nT<b＝]n n n n

n2

35教師備選(2020·a1

a

的等差中項．n求{an

1 2 3若a＝1nan項和．1 n解(1)設(shè){a}的公比為n∵aa，a的等差中項，1 2 3∴2a＝aa＝aaa≠0，1 2 3 1 1 1∴2－＝，∵q≠1，∴q＝－2.(2)設(shè){na}的前n項和為S，n na＝1，a＝(－2)n－1，1 nS＝1×1＋2×(2＋3×(2)＋…－2)－，①n－S＝1×(2＋2×(2)2＋3×(2＋…(－1)·(2＋(－2，②n3S＝12＋(－222－1(－2nn1－－2n

1－1＋3n

－2n＝1－－2

3 ，6S1－1＋3nS∴＝

－2n∈N*.n 9思維升華(1aa·b}的前n項和時，n n n n常采用錯位相減法．(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地n n寫出“S－qS”的表達式．n n②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1，如果，應(yīng)用公式S＝na.n 19跟蹤訓練2(2021·a}的前n項和為Sa＝－4S3S－9(N*)．nan

n 1 4

n＋1 nb3b－4a＝0Nb}的前n項和為T.若Tλb，對任意n n n n n n nN*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．解(14S＝3S－9，n所以當4S＝3S－9，n a 34a＝3a

n＋1＝.n＋1當＝1＝4n S 當＝1＝4

n a 4n－＋＝－－9，9a27－＋＝－－9，2a 27

4 4解得＝－，2 16a3 9 3所以2＝aa4193

n 4 43n＋1所以a＝－－1＝－ .n 44 4n(2)3b＝0，n n3所以b＝(－4).n 43

3

3

3所以T＝－3×－2－13＋0－4)，①33333333333333T＝－32－23－14＋05＋…－5)＋－4)n4n 4 4 4 4且

＋1，②1 3

3

3

3①－②得T＝－3×2＋3－4)＋14n 44 4 4 9 3 9114－ ＝－＋ －－4)4 31－4

173＝－＋1，3所以T＝4＋1.n 因為T≤λb對任意N恒成立，n n

3

＋1 4

4(－4n λ－3n 12

，此時λ≤1；當<4時，≤n ＝－3－n－4－4當n＝4時，－12≤0恒成立，n λ－3n 12

，此時λ≥－3.當>4時，≥n ＝－3－n－4－4所以－3≤λ≤1.

題型三裂項相消法求和3(2022·aa＝4，且a滿足關(guān)系n 1 n式：a＋a＝＋2aa，N.n n＋1nan若b＝1b}的前n項和S.n a－1 n n解(1)因為a＋a＝4＋2a

a，N，n＋1 na＋a－2aa＝4，

n＋1nn n＋1n即(a－a)2＝4，n＋1 n又{an所以a－a＝2，n＋1 n又a＝2，1所以{a2，2n所以a＝2＋21)，所以a＝42.n n(2)b＝1＝1＝ 1n a－142－1 21 2＋1n＝ 1－1，22n－12n＋1＝所以S＝b＋bb＝

1－＋n 1 2

n 2 35211 1352

1－12－＋…＋

2n－12n＋18＝1－1＝n.2 教師備選a}的前n項和為S2S＝3a－1.n n n n求{an若b＝ 3n

，求的前n

3 3T＜.n a＋1 a＋1 n

n 8 n 4n n＋1(1)2S＝3a－1，n n2S＝2a＝3a－1，1 1 1a＝1.1當n≥2時，2S＝3a

－1，n－1則2S－2S＝2a＝3a－3a，n a

n n n－1整理得an＝3，n－1a1a＝1×3n－1＝3n－1.n n(2)證明由(1)得b＝ 3nn 3n－1＋1 3 1 1＝× － ，23－1＋13＋所以＝×T3所以＝×

1－1

1

1

1

1

－1＋＋＋…＋，n 230＋11＋ 31132＋ 3＋13＋ 3－113＋＋＋＋…＋，3＝×－＝－即T31 1 3 2，＝×－＝－n

223＋ 43＋13<，n4又因為Tn

為遞增數(shù)列，

333≥T＝－＝，n 13T 3

488所以≤<.8 n4思維升華利用裂項相消法求和的注意事項抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．＝a}是等差數(shù)列，則1＝

11－1，n aa

a1＝11－1

nn＋1

n n＋1aa a.nn＋2 n n＋2跟蹤訓練3(2022·a}滿足a＝4，且當時，(n 1 n9＝n－1

a是等差數(shù)列；nb

b n S記＝n

2 n

}的前n

項和.nn n－1將上式兩邊都除以n(n－1)，aa得n＝

n－1 ，n a即n－

an－1＝2，nn－1a a所以數(shù)列n是以1＝4為首項，2為公差的等差數(shù)列．n 1a解由(1

n＝4＋2(n－1)＝2n＋2，nanb2＋111－ 1 ，＝＝a所以＝an 2n

42 ＋1S11－1

1－1＋

1－

所以＝ ＋ …＋ n

22

22

32

2

n＋1

＝1－ 1 ＝

22n. ＋1

42課時精練1．a(chǎn)S為其前n項和，且a＝5，S＝49.n n 3 7an若b＝2bn項和為T，且T≥1000，求n的取值范圍．n n n n n解(1＝7a＝49，7 4a＝7，4故公差－a＝7－5＝2，4 3a＝an 3(2)由(1b22－＋2－1，n10T2＋123＋＋…2－1＋2－1n＝123＋…2－1(13＋…－1)21－22n＋1

n＝1－4＋ 222n＋1 2＝3＋－.易知Tn

3單調(diào)遞增，T＝707<1000，T＝2766>15 6故T≥1000，解得≥6N*.n2．(2020·a}滿足a＝3，a

＝3an 1計算a，aa

n＋1 n2 3 n}的前n項和S.n n解(1)由題意可得a＝3a－4＝9－4＝5，2 1a＝3a－8＝15－8＝7，3 2aa3an n n(2)由(1nS＝3×2＋5×＋7×＋…(－1)·－(＋1)·，①n2S＝3×＋5×3＋7×＋…(－1)·＋(2＋1)·，②nS6＋2×(＋32＋1)·1n22×1－2n－1＝＋2× 1－2 (2＋1)·＋1＝(2)·＋－，即S(2－1)·＋＋2.n3．(2022·a＝2，a

＝a求{an

n 1 n＋1 n(2)若b＝loga，T＝1＋1＋…＋1，求T.n 2n n bbbb bb n12 23 nn＋1解(1)由已知得a－a＝2n，n＋1 na＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)n 1 2 1 3 2 n n－1＝2＋2＋22＋…＋2n－121－2n－1＝2＋ 1－2 ＝2n.a＝2，也滿足上式，故a1 n由(1＝logan 2n1 1 1 1bb＝n，＋1nn＋111T＝1＋1＋…＋1n bbbb bb12 23 nn＋1

1

1

12＝1－2

＋

－＋…＋n－n＋123123＝1－

n n＝ ，故T＝ .n 4．(2022·濟寧模擬)已知數(shù)列{a}是正項等比數(shù)列，滿足a

2a

＝16.nan

3 1 2 4若b＝(－1)nlogab}的前n項和T.n 22n＋1 n n解(1a}的公比為na2a

的等差中項，3 1 2所以a＝a＋a，即2a＝2a3a，3 1 2 1 1 1因為a≠0，所以2－－＝，1q q 1解得＝2

＝－，2a}是正項等比數(shù)列，所以n所以a＝a·－＝2.n 4(2)方法一(分奇偶、并項求和)由(1)可知，a

＝22n＋1，2n＋1b＝(－1)n·logan 22n＋1＝－1·log2＋1(－1·(＋1，2n為偶數(shù)，T＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)nn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2×2n為奇數(shù)，當T＝T＋b＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，n n－1 nT＝－31綜上得

，為偶數(shù)，T＝n －－，為奇數(shù)(或T＝(＋1)－1)－，N*n方法二(錯位相減法)由(1)可知，a

＝22n＋1，2n＋112所以b＝－1)·loga＝(1·l