2412垂直于弦的直徑課件(用)解析

24.1.2垂直于弦的直徑24.1.2垂直于弦的直徑1§24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時）難點：垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論的區(qū)分知識點:1.圓的對稱性2.垂徑定理及其推論重點：垂徑定理及其推論§24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時）難點：2趙州橋是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m.趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境趙州橋是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國3實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．活動一實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，4觀察并回答

（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？（2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？活動二思考并猜想：當(dāng)非直徑的弦AB與直徑CD有什么位置關(guān)系時，弦AB有可能被直徑CD平分？觀察并回答（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？活動二5如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E，沿著直徑CD折一折，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？?思考·OABCDE活動三線段：AE=BE⌒⌒AC=BC⌒⌒

AD=BD.弧：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E6·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號：AE=BE,CD是直徑，AB是弦CD⊥AB可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.定理理解：已知直徑垂直弦結(jié)論直徑平分弦、平分弦所對的弧·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對7·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。小屑粗睆紺D垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對8③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⑤.④,②CD⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM④,⑤,可推得ＤＣＡＢＥＯ垂徑定理：推論：幾何語言表述③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⑤9“知二推三”(1)垂直于弦(2)過圓心(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)弧(5)平分弦所對的劣弧“知二推三”10判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？定理辨析×√×√√√判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？定理辨析×√×√√√11一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）12(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分131．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm.在Rt△AOE中

練一練1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為14變式：圖中兩圓為同心圓變式2：隱去（變式1）中的大圓，得右圖連接OA，OB，設(shè)OA=OB，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式3：隱去（變式1）中的小圓，得右圖，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式1：AC與BD有什么關(guān)系？PPP變式：圖中兩圓為同心圓變式2：隱去（變式1）中的大圓，得右圖152．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD161.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點M在線段AB（包括端點A、B）上移動，則OM的取值范圍是_____________1.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點M在線段AB（包172.如圖直徑為52cm的圓柱體油槽的橫截面，裝入油后，油深CD為16cm，那么油面寬度AB＝________cm.482.如圖直徑為52cm的圓柱體油槽的橫截面，裝入油后，油深C18問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱19解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在圖中如圖，用ＡＢ表示主橋拱，設(shè)ＡＢ所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點，C是ＡＢ的中點，CD就是拱高．⌒⌒⌒實踐應(yīng)用解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題203.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半徑.3.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝421小結(jié)

直徑平分弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弦所對的弧直徑垂直于弦直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧

=>１、圓的軸對稱性２、垂徑定理及其推論的圖式小結(jié)直徑平分弦=>１、圓的軸對稱性22

常用輔助線:垂直于弦的直徑常用輔助線:234.已知：如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點，求圓心O到AP的距離及EF的長。M4.已知：如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順24●OABCD（1）.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD（2）.兩條弦在圓心的兩側(cè)4、⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___.2cm或14cm●OABCD（1）.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD（2）.兩25如圖,△ABC的三個頂點在⊙O上，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。求證：EF∥BC，EF=練習(xí)OABCEF∟∟∵OE⊥AB∴E為AB的中點∵OF⊥AC∴F為AC的中點∴EF為三角形ABC的中位線∴如圖,△ABC的三個頂點在⊙O上，OE⊥AB于E，OF⊥263、已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON你能講解嗎？夾在兩條平行弦間的弧相等.你能有一句話概括一下嗎？3、已知：⊙O中弦AB∥CD。⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB?！?7小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂28ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)

在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,油面寬AB=600mm,求油的最大深度。OE=125(mm)(2)BAOED解：ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油29練習(xí)如圖，某城市住宅社區(qū)，在相鄰兩樓之間修建一個上面是半圓，下面是矩形的仿古通道，其中半圓拱的圓心距地面2米，半徑為1.3米，現(xiàn)有一輛高2.5米，寬2.3米的送家具的卡車，問這輛卡車能否通過通道，請說明理由。練習(xí)如圖，某城市住宅社區(qū)，在相鄰兩樓之間修建一個上面是半圓，30解：如圖，用半圓O表示通道上面的半圓，AB為直徑，弦CD平行AB，過O作于E，連結(jié)OD，據(jù)垂徑定理知：練習(xí)解：如圖，用半圓O表示通道上面的半圓，AB為直徑，弦CD平行31挖掘潛力某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為７、2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2、4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？CNMAEHFBDO挖掘潛力某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為７、232船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是的中點,CD就是拱高.由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R=3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心3324.1.2垂直于弦的直徑24.1.2垂直于弦的直徑34§24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時）難點：垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論的區(qū)分知識點:1.圓的對稱性2.垂徑定理及其推論重點：垂徑定理及其推論§24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時）難點：35趙州橋是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m.趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境趙州橋是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國36實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．活動一實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，37觀察并回答

（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？（2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？活動二思考并猜想：當(dāng)非直徑的弦AB與直徑CD有什么位置關(guān)系時，弦AB有可能被直徑CD平分？觀察并回答（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？活動二38如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E，沿著直徑CD折一折，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？?思考·OABCDE活動三線段：AE=BE⌒⌒AC=BC⌒⌒

AD=BD.?。喝鐖D，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E39·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號：AE=BE,CD是直徑，AB是弦CD⊥AB可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.定理理解：已知直徑垂直弦結(jié)論直徑平分弦、平分弦所對的弧·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對40·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對的兩條?。小屑粗睆紺D垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對41③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⑤.④,②CD⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM④,⑤,可推得ＤＣＡＢＥＯ垂徑定理：推論：幾何語言表述③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⑤42“知二推三”(1)垂直于弦(2)過圓心(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)弧(5)平分弦所對的劣弧“知二推三”43判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？定理辨析×√×√√√判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？定理辨析×√×√√√44一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）45(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分461．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm.在Rt△AOE中

練一練1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為47變式：圖中兩圓為同心圓變式2：隱去（變式1）中的大圓，得右圖連接OA，OB，設(shè)OA=OB，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式3：隱去（變式1）中的小圓，得右圖，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式1：AC與BD有什么關(guān)系？PPP變式：圖中兩圓為同心圓變式2：隱去（變式1）中的大圓，得右圖482．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD491.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點M在線段AB（包括端點A、B）上移動，則OM的取值范圍是_____________1.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點M在線段AB（包502.如圖直徑為52cm的圓柱體油槽的橫截面，裝入油后，油深CD為16cm，那么油面寬度AB＝________cm.482.如圖直徑為52cm的圓柱體油槽的橫截面，裝入油后，油深C51問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱52解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在圖中如圖，用ＡＢ表示主橋拱，設(shè)ＡＢ所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點，C是ＡＢ的中點，CD就是拱高．⌒⌒⌒實踐應(yīng)用解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題533.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半徑.3.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝454小結(jié)

直徑平分弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弦所對的弧直徑垂直于弦直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧

=>１、圓的軸對稱性２、垂徑定理及其推論的圖式小結(jié)直徑平分弦=>１、圓的軸對稱性55

常用輔助線:垂直于弦的直徑常用輔助線:564.已知：如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點，求圓心O到AP的距離及EF的長。M4.已知：如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順57●OABCD（1）.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD（2）.兩條弦在圓心的兩側(cè)4、⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___.2cm或14cm●OABCD（1）.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD（2）.兩58如圖,△ABC的三個頂點在⊙O上，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。求證：EF∥BC，EF=練習(xí)OABCEF∟∟∵OE⊥AB∴E為AB的中點∵OF⊥AC∴F為AC的中點∴EF為三角形ABC的中位線∴如圖,△ABC的三個頂點在⊙O上，OE⊥AB于E，OF⊥593、已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON你能講解嗎？夾在兩條平