氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件

§4.1薛定諤方程

德布羅意引入了和粒子相聯(lián)系的波。粒子的運動用波函數(shù)ψ=ψ(r·t)來描述，而粒子在時刻t在各處的概率密度為｜ψ｜2。但是，怎樣確定在給定條件(給定一勢場)下的波函數(shù)呢?式(4.1.1)稱作薛定諤方程

4.1.1第四章：量子力學初步§4.1薛定諤方程德布羅意引入了和粒子相1量子力學中的薛定諤方程，相當于經(jīng)典力學中的牛頓運動定律，是不能從什么更基本的原理中推出來的。它的正確與否，只能由科學實驗來檢驗。實際上，薛定諤方程是量子力學的一個基本原理。我們可以從不同側面發(fā)現(xiàn)薛定諤方程與經(jīng)典力學概念之間的聯(lián)系。

從形式上看，如在經(jīng)典關系式4.1.2)中作如下變換：

4.1.2然后作用于波函數(shù)ψ，就得到薛定諤方程

下面研究定態(tài)薛定諤方程在勢能V不顯含時間的問題中，薛定諤方程可以用一種分離變數(shù)的方法求其特解，令特解表為量子力學中的薛定諤方程，相當于經(jīng)典力學中的牛頓運動定律，是不24.1.4代入式(4.1.1)，并把坐標函數(shù)和時間函數(shù)分列于等號兩邊：

令這常數(shù)為E，有

4.1.54.1.6于是波函數(shù)ψ(r,t)可以寫成

4.1.4代入式(4.1.1)，并把坐標函數(shù)和時間函數(shù)分列于3與自由粒子的波函數(shù)比較，可知上式中的常數(shù)E就是能量，具有這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài).在定態(tài)中幾率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2與時間無關。另一方面，式(4.1.5)右邊也等于E，故有

這是波函數(shù)中與坐標有關的部分ψ(r)所滿足的方程，此方程稱作定態(tài)薛定諤方程

ll例4.1.1試由自由粒子的平面波方程給出建立薛定諤方程的一種方法

（1）與自由粒子的波函數(shù)比較，可知上式中的常數(shù)E就是能量，具有這種4..對（1）x,y,z取二階偏微商得到

等式相邊相加，即有

為拉普拉斯算符

把(1)對t取一階偏微商

如果自由粒子的速度較光速小得多，它的能量公式是p2/2m=E，兩邊乘以ψ，即得（2）（3）（4）（5）..對（1）x,y,z取二階偏微商得到等式相邊相加，即有5得到一個自由粒子的薛定諤方程。

把(3)和(4)代入(5)

對于一個處在力場中的非自由粒子，它的總能量等于動能加勢能

兩邊乘以ψ

自由粒子的薛定諤方程可以按此式推廣成

（6）（7）（8）（9）得到一個自由粒子的薛定諤方程。把(3)和(4)代入(5)6薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基本方程--量子力學基本假設地位同經(jīng)典物理的牛頓定律

薛定諤ErwinSchrodinger

奧地利人1887-1961

創(chuàng)立量子力學獲1933年諾貝爾物理學獎薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基本方程薛定諤7一維無限深勢阱中的粒子一個粒子在兩個無限高勢壘之間的運動，實際上與一個粒子在無限深勢阱中的運動屬于同一類問題。設勢阱位于x=0及x=a處。勢阱之間(圖3.2.1中Ⅰ區(qū))，V=0，勢阱本身(圖3.2.1中Ⅱ，Ⅲ區(qū))，V=∞，求粒子在勢阱間的運動情況。薛定諤方程為圖3.2.1無限深勢阱

在Ⅱ，Ⅲ區(qū)，只能有ψ=0.因為從物理上考慮，粒子不能存在于勢能為無限大的地區(qū)，在Ⅰ區(qū)，方程簡化為(4.2.1)一維無限深勢阱中的粒子一個粒子在兩個無限高勢壘之間的運動，實84.2.3)4.2.4)式中，A，δ為待定常數(shù)，為確定A與δ之值，利用ψ的邊界條件及歸一化條件。從物理上考慮，粒子不能透過勢阱，要求在阱壁及阱外波函數(shù)為零，即4.2.24.2.3)4.2.4)式中，A，δ為待定常數(shù)，為確定A與δ9即上式舍去了n=0和n為負值的情況(4.2.5)這個結果表明，粒子在無限高勢壘中的能量是量子化的。又由歸一化條件即上式舍去了n=0和n為負值的情況(4.2.5)這個結果表明10由上面的計算，可以看到量子力學解題的一些特點。在解定態(tài)薛定諤方程的過程中，根據(jù)邊界條件自然地得出了能量量子化的特性(4.2.5)，En是體系的能量本征值，相應的波函數(shù)ψn是能量本征函數(shù)。在一維無限高勢壘間粒子運動的特點如下：(4.2.6)由上面的計算，可以看到量子力學解題的一些特點。在解定態(tài)薛定諤11(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，這與經(jīng)典力學大不相同，這是粒子波動性的反映，因為“靜止的波”是不存在的。能級的能量依n2規(guī)律加大，相鄰能級間距越來越大.(2)含時間的波函數(shù)是,這是一個駐波,指數(shù)部分表示振動，振幅為(如圖4.2.2(b))，在形式上像一個兩端固定的弦的駐波振動。這又一次指出，在有限空間內(nèi)，物質波只能以駐波形式穩(wěn)定地存在著。(3)粒子在勢壘中的概率分布｜ψ｜2是不均勻的，而且有若干概率為零的點(節(jié)點)(見圖4.2.2(c)).(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，這與經(jīng)典力學大不相同12

粒子在勢阱中的運動，是一種較為常見的現(xiàn)象；金屬中的自由電子在各晶格結點(正離子)形成的“周期場”中運動，它們不會自發(fā)地逃出金屬，簡化這個模型，可以粗略地認為粒子被無限高的勢能壁束縛在金屬之中。氫原子中的電子就是在三維庫侖勢阱中運動，不過“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近來，人們設計制作了一種具有“量子阱”的半導體器件，它具有介觀(介于宏觀與微觀)尺寸的勢阱，阱寬約在10nm上下。這種材料具有若干特性，已用于制造半導體激光器、光電檢測器、雙穩(wěn)態(tài)器件等。粒子在勢阱中的運動，是一種較為常見的現(xiàn)象；金屬中的自由13金屬中的電子方勢阱分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼是實際情況的極端化和簡化金屬中的電子方勢阱分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼是實際情況的極端14§4.3勢壘貫穿設如圖3.3.1，在x=0到x=a之間有一個有限高的一維勢壘V=V0.在x<0區(qū)域有一個粒子，其動能E<V0，從左向右射向勢壘，求粒子的概率分布。在圖中，將空間分為三個區(qū)域.粒子從Ⅰ區(qū)射向Ⅱ區(qū)，在x=0處遭遇勢壘。按經(jīng)典力學，粒子的能量不夠，不能越過勢壘，將被反射而折回。但在微觀世界則不然，粒子的德布羅意波將部分地穿過勢壘。解題如下。粒子的薛定諤方程為圖4.3.1有限高勢壘§4.3勢壘貫穿圖4.3.1154.3.14.3.24.3.14.3.216在Ⅱ區(qū)，有

其通解為

Ⅲ區(qū)的方程同Ⅰ區(qū)，但這里無反射波，故

為求出通解ψ1，ψ2及ψ3中的待定常數(shù)，需應用邊條件。波函數(shù)應在x=0及x=a處連續(xù)。由此可以求出比值A3/A1及B1/A1的表達式。三個區(qū)域中波函數(shù)示意圖見圖4.3.2，圖中表明，在勢壘后面(Ⅲ區(qū))，粒子還有一定的概率分布。處在勢壘前(Ⅰ區(qū))的粒子有一定的概率穿透勢壘而逸出。在Ⅱ區(qū)，有

其通解為Ⅲ區(qū)的方程同Ⅰ區(qū)，但這里無反射波，故17上式可以看出，勢壘厚度a越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量E越大，則穿透幾率也越大，兩者呈指數(shù)關系。例，一粒子質量為1kg，勢壘的厚度a～10cm，V0-E=1eV，穿透幾率約為10-24，幾乎不能穿透。這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少1eV，其量子效應也是極其不明顯的。對電子而言，me～10-31kg，V0-E=1eV，a～10-8cm，大體求得穿透幾率為e-0.1～0.9(一般情況下，穿透幾率是比較小的)，隧道效應就變得十分明顯了。上式可以看出，勢壘厚度a越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量18利用量子隧道效應，可以解釋許多現(xiàn)象，放射性原子核的α粒子衰變現(xiàn)象就是一種隧道效應.熱核反應所釋放的核能是兩個帶正電的核，如2H和3H，聚合時產(chǎn)生的.隧道效應在高新技術也有著廣泛的重要應用。例如，隧道二極管就是通過控制勢壘高度，利用電子的隧道效應制成的微電子器件，它具有極快(5ps以內(nèi))的開關速度，被廣泛地用于需要快速響應過程。圖4.3.2勢壘貫穿時波函數(shù)利用量子隧道效應，可以解釋許多現(xiàn)象，放射性原子19經(jīng)典量子經(jīng)典20掃描隧道顯微鏡(STM)也是應用隧道效應的例子，如圖3.3.3，設法在一個導體針尖頂端再制備一個由少量原子組成的小尖端.此針尖距待測平面非常近，約1nm量級。在一般情況下，金屬或介質中的電子，不能自由逸出表面，因為它的能量低于表面外的空間的勢能(零)。而現(xiàn)在針尖與待測物之間距離極近，這空隙相當于一個高度有限而寬度很小的勢壘。在針尖與平面間加一個小于幾伏的電壓，在這電壓下，針尖中的電子還不能越過“空隙”這一勢壘進入平面，但有一定的概率穿越勢壘，形成“隧道電流”。隧道電流的大小對勢壘寬度(針尖到平面的距離)的變化非常敏感。當針尖沿平面掃描時，通過隧道電流的變化，便能描繪出平面高低變化的輪廓。這種方法的分辨率極高，其橫向分辨率達0.1nm,縱向為0.01nm，可分辨出單個原子，目前STM已可直接繪出表面的三維圖象。STM技術不僅可用來進行材料的表面分析，直接觀察表面缺陷，還可利用STM針尖對原子和分子進行操縱和移動，重新排布原子和分子。應用到生命科學中，可研究DNA分子的構形等。掃描隧道顯微鏡(STM)也是應用隧道效應的例子，如圖3.3.21ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應觀察樣品表面的微結構圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云——樣品表面平均勢

壘高度（~eV）A——常量d變

i變反映表面情況d~10A。ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧22隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡23圖4.3.3STM示意圖

圖4.3.3STM示意圖24某種型號的掃描隧道顯微鏡某種型號的掃描隧道顯微鏡25氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件26氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件27

1994年中國科學院科學家“寫”出的平均每個字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13操縱原子不是夢“原子書法”硅單晶表面直接提走硅原子形成2納米的線條1994年中國科學院科學家“寫”出的操縱原子不是夢28簡諧振動是物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運動。本節(jié)介紹一維微觀簡諧振子的運動特點。在簡諧振動中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，勢能為V=1/2kx.故薛定諤方程是:4.4簡諧振子簡諧振動是物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運動。本節(jié)介紹一維微觀簡諧振29圖4.4.1簡諧振子能級

3.4.2式中上式可改寫成3.4.3圖4.4.1簡諧振子能級3.4.2式中上式可改寫成3.4.303.4.43.4.53.4.43.4.531

簡諧振子的能級示于圖3.4.1，習慣上把能級畫在勢能曲線上。微觀簡諧振子能級的特點:一是等距分布，間距ω.二是最低能級，即n=0的能級，仍有能量1/2ω，叫做“零點能”。這意味著沒有靜止的簡諧振子。三是躍遷只能逐級進行，即能級之間的躍遷服從Δn=1的選擇定則。由一、三可以得出絕對的諧振子測到的能譜中只有一條譜線。這些特點有時常被用來指導理論工作。

簡諧振子的能級示于圖3.4.1，習慣上把能級畫在勢能曲線上32圖3.4.2簡諧振子的波函數(shù)及概率密度圖3.4.2簡諧振子的波函數(shù)及概率密度33力學量的算符、本征值與本征函數(shù)在量子力學中計算力學量時，力學量用算符表示，在上節(jié)介紹薛定諤方程時已經(jīng)指出，在經(jīng)典的能量關系式中，如作變換并使經(jīng)典能量關系式兩邊作用于波函數(shù)，就得到薛定諤方程量子力學中的力學量，大部分以算符的形式出現(xiàn)

＊§4.5量子力學中的一些理論和方法力學量的算符、本征值與本征函數(shù)在上節(jié)介紹薛定諤方程時已經(jīng)指出34動能算符可由動量算符得到。因動能

故有

在勢場中，一個粒子的動能與勢能函數(shù)之和叫哈密頓量，記為H，H=T+V由此式可知哈密頓算符為薛定諤方程(3.1.1)和定態(tài)薛定諤方程(3.1.7)可以分別寫成算符作用于波函數(shù)的形式：動能算符可由動量算符得到。因動能故有在勢場中，一個粒子的35算符作用于自己的本征函數(shù)ψA，等于一個數(shù)值A乘以ψA。上式稱為算符的本征方程。解這個方程，就可得到算符的一套本征函數(shù)ψA和相應的一套本征值A。

一個粒子可以有多個可測的物理量。若某粒子處于力學量A的本征態(tài)，則測量A時將得到確定值。若在A的本征態(tài)下測量另一個力學量B時，是否能得到確定的值，就不一定了。如果A，B能同時具有確定值，那么它們就具有共同的本征態(tài)，

4.5.3角動量角動量是原子物理中一個重要的力學量。本節(jié)介紹微觀世界中角動量的特點。在經(jīng)典力學中，角動量L的表示式是L=r×p。在量子力學中，對電子的軌道運動，保留這個關系，并將其用算符表示：算符作用于自己的本征函數(shù)ψA，等于一個數(shù)值A乘以ψA。上364.5.134.5.144.5.154.5.164.5.134.5.144.5.154.5.1637氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件38式中為歸一化因子，m稱為磁量子數(shù)。從物理圖像上看，以上結果表明軌道角動量在z方向上的投影值為m，這個現(xiàn)象稱為角動量的空間量子化式中為歸一化因子，m稱為磁量子數(shù)。從物理圖39是本征函數(shù)為使函數(shù)在整個變化區(qū)域有界是本征函數(shù)為使函數(shù)40氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件41總之，對微觀角動量，及可以同時測得確定值。的本征值是，的本征值是。這個結論，不但與經(jīng)典力學不同，與玻爾理論也有根本性的差異，玻爾理論曾給出氫原子中電子的量子化角動量。在量子力學中存在l=0。即L=0的狀態(tài)，與玻爾概念是相矛盾的。L=0意味著軌道將通過原子核。量子力學中l(wèi)的上限是n-1，而玻爾理論中，可等于n。實驗結果表明，量子力學結果是正確總之，對微觀角動量，及可以同時測得確定值。42圖4.5.1角動量的矢量模型

§3.6氫原子氫原子問題是用薛定諤方程唯一可以嚴格求解的原子結構問題，因而也是最有代表性的。本節(jié)將給出解題的大致步驟，列出結果，并討論其物理意義。

圖4.5.1角動量的矢量模型§3.6氫原子43圖4.4.1球坐標

3.4.1氫原子的能量本征值與本征函數(shù)

(4.4.1)圖4.4.1球坐標3.4.1氫原子的能量本征值與本征函數(shù)44式中左邊第一與第三項只作用于波函數(shù)中與矢徑r有關的部分，第二項只作用于與角度θ，φ有關的部分，可以應用分離變數(shù)法.令3.4.24.4.3上式中等號左邊只是矢徑的函數(shù)，右邊只是角度的函數(shù).若它們相等，必定等于一個常數(shù).令此常數(shù)為-λ，就得到兩個方程：式中左邊第一與第三項只作用于波函數(shù)中與矢徑r有關的部分，第二45(4.4.4)(4.4.5)4.4.6(4.4.4)(4.4.5)4.4.646氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件47解題得出三個量子數(shù)n,l,m。主量子數(shù)n=1,2,3,…角量子數(shù)l=0,1,2,…n-1(4.4.9)磁量子數(shù)m=0,±1，±2，…±l主量子數(shù)n與電子的能量有關，具有相應能量的電子依次稱為K，L，M，N，O，P，…主殼層的電子；角量子數(shù)l與電子的角動量有關，l=0,1,2,3,4,5,…的態(tài)依次稱為s,p,d,f,g,h，…態(tài)，處于這些態(tài)上的電子依次稱為s,p,d,f,g,h,…，電子，也叫次殼層電子；磁量子數(shù)m與電子的磁矩有關(具體內(nèi)容在第六章)，對應一個l，m可表示為ml，ml可取2l+1個值。解題得出三個量子數(shù)n,l,m。48因R，Θ，Φ分別是r,θ，φ的函數(shù)，所以電子在三個坐標的概率密度是獨立的，可以分不同坐標來觀察。上述歸一化條件可以寫成3.4.12因R，Θ，Φ分別是r,θ，φ的函數(shù)，所以電子在三個坐標的概率49圖4.4.2給出n=3各態(tài)徑向波函數(shù)R3l與r的關系曲線。圖3.4.3則給出了徑向概率密度r2R2圖3.4.2R3l與r關系圖圖4.4.2給出n=3各態(tài)徑向波函數(shù)R3l與r的關系曲線。圖50圖4.4.3氫徑向概率密度

由圖4.4.2和4.4.3可以得出什么結論？圖4.4.3氫徑向概率密度由圖4.4.2和4.4.51圖4.4.4Θ2作為θ的函數(shù)和對應的軌道其圖形應是繞Z軸旋轉一周的一個旋轉體，表示概率密度與空間取向的關系。在這圖中還把用矢量模型畫的空間量子化圖附上，以資比較?？梢钥吹狡渲杏心撤N對應關系圖4.4.4Θ2作為θ的函數(shù)和對應的軌道其圖形應是繞Z軸旋52圖4.4.5氫原子基態(tài)的電子云圖

圖4.4.6氫原子n=2的各狀態(tài)的電子云圖(a)l=0,ml=0;(b)l=1,ml=0;(c)l=1,ml=±1圖4.4.5氫原子基態(tài)的電子云圖圖4.4.6氫原子n=253§4.7宇稱宇稱是描述微觀粒子波函數(shù)空間反演對稱性的一個物理量

§4.7宇稱宇稱是描述微54

55本章結束,謝謝觀賞!!第六章:量子力學導論本章結束,謝謝觀賞!!第六章:量子力學導論56§4.1薛定諤方程

德布羅意引入了和粒子相聯(lián)系的波。粒子的運動用波函數(shù)ψ=ψ(r·t)來描述，而粒子在時刻t在各處的概率密度為｜ψ｜2。但是，怎樣確定在給定條件(給定一勢場)下的波函數(shù)呢?式(4.1.1)稱作薛定諤方程

4.1.1第四章：量子力學初步§4.1薛定諤方程德布羅意引入了和粒子相57量子力學中的薛定諤方程，相當于經(jīng)典力學中的牛頓運動定律，是不能從什么更基本的原理中推出來的。它的正確與否，只能由科學實驗來檢驗。實際上，薛定諤方程是量子力學的一個基本原理。我們可以從不同側面發(fā)現(xiàn)薛定諤方程與經(jīng)典力學概念之間的聯(lián)系。

從形式上看，如在經(jīng)典關系式4.1.2)中作如下變換：

4.1.2然后作用于波函數(shù)ψ，就得到薛定諤方程

下面研究定態(tài)薛定諤方程在勢能V不顯含時間的問題中，薛定諤方程可以用一種分離變數(shù)的方法求其特解，令特解表為量子力學中的薛定諤方程，相當于經(jīng)典力學中的牛頓運動定律，是不584.1.4代入式(4.1.1)，并把坐標函數(shù)和時間函數(shù)分列于等號兩邊：

令這常數(shù)為E，有

4.1.54.1.6于是波函數(shù)ψ(r,t)可以寫成

4.1.4代入式(4.1.1)，并把坐標函數(shù)和時間函數(shù)分列于59與自由粒子的波函數(shù)比較，可知上式中的常數(shù)E就是能量，具有這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài).在定態(tài)中幾率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2與時間無關。另一方面，式(4.1.5)右邊也等于E，故有

這是波函數(shù)中與坐標有關的部分ψ(r)所滿足的方程，此方程稱作定態(tài)薛定諤方程

ll例4.1.1試由自由粒子的平面波方程給出建立薛定諤方程的一種方法

（1）與自由粒子的波函數(shù)比較，可知上式中的常數(shù)E就是能量，具有這種60..對（1）x,y,z取二階偏微商得到

等式相邊相加，即有

為拉普拉斯算符

把(1)對t取一階偏微商

如果自由粒子的速度較光速小得多，它的能量公式是p2/2m=E，兩邊乘以ψ，即得（2）（3）（4）（5）..對（1）x,y,z取二階偏微商得到等式相邊相加，即有61得到一個自由粒子的薛定諤方程。

把(3)和(4)代入(5)

對于一個處在力場中的非自由粒子，它的總能量等于動能加勢能

兩邊乘以ψ

自由粒子的薛定諤方程可以按此式推廣成

（6）（7）（8）（9）得到一個自由粒子的薛定諤方程。把(3)和(4)代入(5)62薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基本方程--量子力學基本假設地位同經(jīng)典物理的牛頓定律

薛定諤ErwinSchrodinger

奧地利人1887-1961

創(chuàng)立量子力學獲1933年諾貝爾物理學獎薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基本方程薛定諤63一維無限深勢阱中的粒子一個粒子在兩個無限高勢壘之間的運動，實際上與一個粒子在無限深勢阱中的運動屬于同一類問題。設勢阱位于x=0及x=a處。勢阱之間(圖3.2.1中Ⅰ區(qū))，V=0，勢阱本身(圖3.2.1中Ⅱ，Ⅲ區(qū))，V=∞，求粒子在勢阱間的運動情況。薛定諤方程為圖3.2.1無限深勢阱

在Ⅱ，Ⅲ區(qū)，只能有ψ=0.因為從物理上考慮，粒子不能存在于勢能為無限大的地區(qū)，在Ⅰ區(qū)，方程簡化為(4.2.1)一維無限深勢阱中的粒子一個粒子在兩個無限高勢壘之間的運動，實644.2.3)4.2.4)式中，A，δ為待定常數(shù)，為確定A與δ之值，利用ψ的邊界條件及歸一化條件。從物理上考慮，粒子不能透過勢阱，要求在阱壁及阱外波函數(shù)為零，即4.2.24.2.3)4.2.4)式中，A，δ為待定常數(shù)，為確定A與δ65即上式舍去了n=0和n為負值的情況(4.2.5)這個結果表明，粒子在無限高勢壘中的能量是量子化的。又由歸一化條件即上式舍去了n=0和n為負值的情況(4.2.5)這個結果表明66由上面的計算，可以看到量子力學解題的一些特點。在解定態(tài)薛定諤方程的過程中，根據(jù)邊界條件自然地得出了能量量子化的特性(4.2.5)，En是體系的能量本征值，相應的波函數(shù)ψn是能量本征函數(shù)。在一維無限高勢壘間粒子運動的特點如下：(4.2.6)由上面的計算，可以看到量子力學解題的一些特點。在解定態(tài)薛定諤67(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，這與經(jīng)典力學大不相同，這是粒子波動性的反映，因為“靜止的波”是不存在的。能級的能量依n2規(guī)律加大，相鄰能級間距越來越大.(2)含時間的波函數(shù)是,這是一個駐波,指數(shù)部分表示振動，振幅為(如圖4.2.2(b))，在形式上像一個兩端固定的弦的駐波振動。這又一次指出，在有限空間內(nèi)，物質波只能以駐波形式穩(wěn)定地存在著。(3)粒子在勢壘中的概率分布｜ψ｜2是不均勻的，而且有若干概率為零的點(節(jié)點)(見圖4.2.2(c)).(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，這與經(jīng)典力學大不相同68

粒子在勢阱中的運動，是一種較為常見的現(xiàn)象；金屬中的自由電子在各晶格結點(正離子)形成的“周期場”中運動，它們不會自發(fā)地逃出金屬，簡化這個模型，可以粗略地認為粒子被無限高的勢能壁束縛在金屬之中。氫原子中的電子就是在三維庫侖勢阱中運動，不過“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近來，人們設計制作了一種具有“量子阱”的半導體器件，它具有介觀(介于宏觀與微觀)尺寸的勢阱，阱寬約在10nm上下。這種材料具有若干特性，已用于制造半導體激光器、光電檢測器、雙穩(wěn)態(tài)器件等。粒子在勢阱中的運動，是一種較為常見的現(xiàn)象；金屬中的自由69金屬中的電子方勢阱分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼是實際情況的極端化和簡化金屬中的電子方勢阱分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼是實際情況的極端70§4.3勢壘貫穿設如圖3.3.1，在x=0到x=a之間有一個有限高的一維勢壘V=V0.在x<0區(qū)域有一個粒子，其動能E<V0，從左向右射向勢壘，求粒子的概率分布。在圖中，將空間分為三個區(qū)域.粒子從Ⅰ區(qū)射向Ⅱ區(qū)，在x=0處遭遇勢壘。按經(jīng)典力學，粒子的能量不夠，不能越過勢壘，將被反射而折回。但在微觀世界則不然，粒子的德布羅意波將部分地穿過勢壘。解題如下。粒子的薛定諤方程為圖4.3.1有限高勢壘§4.3勢壘貫穿圖4.3.1714.3.14.3.24.3.14.3.272在Ⅱ區(qū)，有

其通解為

Ⅲ區(qū)的方程同Ⅰ區(qū)，但這里無反射波，故

為求出通解ψ1，ψ2及ψ3中的待定常數(shù)，需應用邊條件。波函數(shù)應在x=0及x=a處連續(xù)。由此可以求出比值A3/A1及B1/A1的表達式。三個區(qū)域中波函數(shù)示意圖見圖4.3.2，圖中表明，在勢壘后面(Ⅲ區(qū))，粒子還有一定的概率分布。處在勢壘前(Ⅰ區(qū))的粒子有一定的概率穿透勢壘而逸出。在Ⅱ區(qū)，有

其通解為Ⅲ區(qū)的方程同Ⅰ區(qū)，但這里無反射波，故73上式可以看出，勢壘厚度a越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量E越大，則穿透幾率也越大，兩者呈指數(shù)關系。例，一粒子質量為1kg，勢壘的厚度a～10cm，V0-E=1eV，穿透幾率約為10-24，幾乎不能穿透。這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少1eV，其量子效應也是極其不明顯的。對電子而言，me～10-31kg，V0-E=1eV，a～10-8cm，大體求得穿透幾率為e-0.1～0.9(一般情況下，穿透幾率是比較小的)，隧道效應就變得十分明顯了。上式可以看出，勢壘厚度a越大，粒子通過的幾率越??；粒子的能量74利用量子隧道效應，可以解釋許多現(xiàn)象，放射性原子核的α粒子衰變現(xiàn)象就是一種隧道效應.熱核反應所釋放的核能是兩個帶正電的核，如2H和3H，聚合時產(chǎn)生的.隧道效應在高新技術也有著廣泛的重要應用。例如，隧道二極管就是通過控制勢壘高度，利用電子的隧道效應制成的微電子器件，它具有極快(5ps以內(nèi))的開關速度，被廣泛地用于需要快速響應過程。圖4.3.2勢壘貫穿時波函數(shù)利用量子隧道效應，可以解釋許多現(xiàn)象，放射性原子75經(jīng)典量子經(jīng)典76掃描隧道顯微鏡(STM)也是應用隧道效應的例子，如圖3.3.3，設法在一個導體針尖頂端再制備一個由少量原子組成的小尖端.此針尖距待測平面非常近，約1nm量級。在一般情況下，金屬或介質中的電子，不能自由逸出表面，因為它的能量低于表面外的空間的勢能(零)。而現(xiàn)在針尖與待測物之間距離極近，這空隙相當于一個高度有限而寬度很小的勢壘。在針尖與平面間加一個小于幾伏的電壓，在這電壓下，針尖中的電子還不能越過“空隙”這一勢壘進入平面，但有一定的概率穿越勢壘，形成“隧道電流”。隧道電流的大小對勢壘寬度(針尖到平面的距離)的變化非常敏感。當針尖沿平面掃描時，通過隧道電流的變化，便能描繪出平面高低變化的輪廓。這種方法的分辨率極高，其橫向分辨率達0.1nm,縱向為0.01nm，可分辨出單個原子，目前STM已可直接繪出表面的三維圖象。STM技術不僅可用來進行材料的表面分析，直接觀察表面缺陷，還可利用STM針尖對原子和分子進行操縱和移動，重新排布原子和分子。應用到生命科學中，可研究DNA分子的構形等。掃描隧道顯微鏡(STM)也是應用隧道效應的例子，如圖3.3.77ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應觀察樣品表面的微結構圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云——樣品表面平均勢

壘高度（~eV）A——常量d變

i變反映表面情況d~10A。ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧78隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡79圖4.3.3STM示意圖

圖4.3.3STM示意圖80某種型號的掃描隧道顯微鏡某種型號的掃描隧道顯微鏡81氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件82氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件83

1994年中國科學院科學家“寫”出的平均每個字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13操縱原子不是夢“原子書法”硅單晶表面直接提走硅原子形成2納米的線條1994年中國科學院科學家“寫”出的操縱原子不是夢84簡諧振動是物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運動。本節(jié)介紹一維微觀簡諧振子的運動特點。在簡諧振動中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，勢能為V=1/2kx.故薛定諤方程是:4.4簡諧振子簡諧振動是物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的一類運動。本節(jié)介紹一維微觀簡諧振85圖4.4.1簡諧振子能級

3.4.2式中上式可改寫成3.4.3圖4.4.1簡諧振子能級3.4.2式中上式可改寫成3.4.863.4.43.4.53.4.43.4.587

簡諧振子的能級示于圖3.4.1，習慣上把能級畫在勢能曲線上。微觀簡諧振子能級的特點:一是等距分布，間距ω.二是最低能級，即n=0的能級，仍有能量1/2ω，叫做“零點能”。這意味著沒有靜止的簡諧振子。三是躍遷只能逐級進行，即能級之間的躍遷服從Δn=1的選擇定則。由一、三可以得出絕對的諧振子測到的能譜中只有一條譜線。這些特點有時常被用來指導理論工作。

簡諧振子的能級示于圖3.4.1，習慣上把能級畫在勢能曲線上88圖3.4.2簡諧振子的波函數(shù)及概率密度圖3.4.2簡諧振子的波函數(shù)及概率密度89力學量的算符、本征值與本征函數(shù)在量子力學中計算力學量時，力學量用算符表示，在上節(jié)介紹薛定諤方程時已經(jīng)指出，在經(jīng)典的能量關系式中，如作變換并使經(jīng)典能量關系式兩邊作用于波函數(shù)，就得到薛定諤方程量子力學中的力學量，大部分以算符的形式出現(xiàn)

＊§4.5量子力學中的一些理論和方法力學量的算符、本征值與本征函數(shù)在上節(jié)介紹薛定諤方程時已經(jīng)指出90動能算符可由動量算符得到。因動能

故有

在勢場中，一個粒子的動能與勢能函數(shù)之和叫哈密頓量，記為H，H=T+V由此式可知哈密頓算符為薛定諤方程(3.1.1)和定態(tài)薛定諤方程(3.1.7)可以分別寫成算符作用于波函數(shù)的形式：動能算符可由動量算符得到。因動能故有在勢場中，一個粒子的91算符作用于自己的本征函數(shù)ψA，等于一個數(shù)值A乘以ψA。上式稱為算符的本征方程。解這個方程，就可得到算符的一套本征函數(shù)ψA和相應的一套本征值A。

一個粒子可以有多個可測的物理量。若某粒子處于力學量A的本征態(tài)，則測量A時將得到確定值。若在A的本征態(tài)下測量另一個力學量B時，是否能得到確定的值，就不一定了。如果A，B能同時具有確定值，那么它們就具有共同的本征態(tài)，

4.5.3角動量角動量是原子物理中一個重要的力學量。本節(jié)介紹微觀世界中角動量的特點。在經(jīng)典力學中，角動量L的表示式是L=r×p。在量子力學中，對電子的軌道運動，保留這個關系，并將其用算符表示：算符作用于自己的本征函數(shù)ψA，等于一個數(shù)值A乘以ψA。上924.5.134.5.144.5.154.5.164.5.134.5.144.5.154.5.1693氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件94式中為歸一化因子，m稱為磁量子數(shù)。從物理圖像上看，以上結果表明軌道角動量在z方向上的投影值為m，這個現(xiàn)象稱為角動量的空間量子化式中為歸一化因子，m稱為磁量子數(shù)。從物理圖95是本征函數(shù)為使函數(shù)在整個變化區(qū)域有界是本征函數(shù)為使函數(shù)96氫原子的能量本征值與本征函數(shù)課件97總之，對微觀角動量，及可以同時測得確定值。的本征值是，的本征值是。這個結論，不但與經(jīng)典力學不同，與玻爾理論也有根本性的差異，玻爾理論曾給出氫原子中電子的量子化角動量。在量子力學中存在l=0。即L=0的狀態(tài)，與玻爾概念是相矛盾的