彈性力學(xué)簡明教程-第四版-徐芝綸第五章學(xué)碩xin課件

例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法教學(xué)參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導(dǎo)

——本節(jié)只介紹原理彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。

fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。 導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)點1、3，拋物線差分公式結(jié)點3：結(jié)點1：拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點的導(dǎo)數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)

應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解

——本節(jié)只介紹原理對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5按求解(3)求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）：按求解(3)求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法相容方程(5-10)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為未知，均應(yīng)列出式(5-10)的方程。2.相容方程(a)的差分表示相容方程(5-10)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，相容方程

對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(5-10)時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的值。

為了求虛結(jié)點的值，需要求出邊界點的，值。相容方程對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(5-10)時，

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟然后計算邊界上各結(jié)點的、、；令（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟然求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列出式(5-10)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點的值；（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（5）按式(5-9)求各結(jié)點的應(yīng)力。求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。

——本節(jié)只介紹結(jié)果§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。

比較：材料力學(xué)解─AM上為直線分布，彈性力學(xué)解─AM上為曲線分布，

由此也說明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）是解微分方程邊值問題和彈性力學(xué)問題的有效方法；（2）簡便易行，且總能求出解答；（3）可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩；（2）比較適用于平面問題或二維問題；（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運算時會降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算缺點：差分法評價§5－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法─是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函形變勢能（2）因為應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。1.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）形變勢能（2）因為應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對于平面應(yīng)力問題

或平面應(yīng)變問題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢能利用物理方程，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為（3）對于平面應(yīng)力問題(c)形變勢能利用（4）假設(shè)沒有非機(jī)械能和動能的轉(zhuǎn)化，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變

能，存貯于物體內(nèi)部。形變勢能─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。（5）整個彈性體的形變勢能

（4）假設(shè)沒有非機(jī)械能和動能的轉(zhuǎn)化，則形變勢能形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將，?？捎梦灰票硎緸椋?）將幾何方程代入式(e)，則平面應(yīng)力問題的形變勢能(5-16)形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將2.形變勢能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函，

故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(5-15)形變勢能的性質(zhì)2.形變勢能的性質(zhì)(5-15)形變勢能的性質(zhì)外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取時的外力功和能為零，則有：(5-18)外力功和外力勢能3.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和：(5-19) 4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力(5-19)§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，?！?－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實際位移其

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。

虛位移（在上）2.虛位移狀態(tài)虛位移（在上） 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。虛位移 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分

─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量

x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(a)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(a)⑵變分與微分變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(b)變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(b)由于微分和變分都是微量，所以(I).它們的運算方式相同；(II).變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(c)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(c)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

(5-20)(5-21)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起的虛應(yīng)變，為：從而引起形變勢能的變分，為：(5-22)上式中的應(yīng)力分量，在虛位移發(fā)生之前已經(jīng)存在，應(yīng)作為恒力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。即位移變分方程4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出(d)（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變（2）位移變分方程

將式(5-20)代入式(d)，可得該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程(5-23)（2）位移變分方程該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，

外力在虛位移上所做的虛功等于

應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程

將式(5-20)和式(5-22)代入式(d)中，可得(5-25)位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，（3）虛功其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方程（4）最小勢能原理其中,U為彈性體的形變勢能;W為彈性體的外力功?？梢宰C明，式(e)可以寫成式(d)可寫成(e)(f)其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方由于彈性體的總勢能為故式(f)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得

也就是：(5-24)位移變分方程由于彈性體的總勢能為(5-24)位移變分方程最小勢能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)最小勢能原理：uu（實際位移）(a)(b)位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。位移變分方程這就是最小勢能原理。它表示在給證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。利用幾何方程將方程(5-22)改寫為：證明：位移變分方程等價于平衡微分方程利用幾何方程將應(yīng)用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的邊界，l、m為邊界外法線的方向余弦。應(yīng)用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第三項計算對第三項計算又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有因為，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有虛位移的系數(shù)為零。又一形式上式兩邊相等，有因為，是任意的獨立變分，為了滿足又一形式上（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件：（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件

由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b和c。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位移解答。結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試比較位移變分方程、虛功方程和極小勢能原理不同的物理解釋。3.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法取位移為基本未知函數(shù)。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法取位移為基本未知函數(shù)?！?-6位移變分(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）瑞利-里茨法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。

而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(a)∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(a瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(5-26)還必須滿足位移變分方程(5-23)瑞利-里茨法位移的變分通過，將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：因為虛位移（位移變分）中的，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有其系數(shù)為零。將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出和，代入式（5-26）從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變

2.伽遼金法（介紹原理）——設(shè)定位移試函數(shù)如式(5-26)所示，但令u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b) 應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移例題(a)(b)

應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（體力）：(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件，積分時要將邊界方程代入。例題應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替在處：，，例題在處：，，(d)(e)在處：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：利用方程（5-16）例題得到：其中：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：例題得到根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得：(f)根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得解得，為：例題對于圖示的簡單問題，該解答正好是其精確解。將，代入式(a)，可得位移解答：解得，為：例題對于圖示第五章例題例題1例題2例題3例題第五章例題例題1例題2例題3例題例題1

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題例題1試證明，在同樣的應(yīng)變分量，例題對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中的，變換為：解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能為：例題(a)(b)對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中的，例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)，得到平面應(yīng)變情況下的形變勢能：(c)(d)例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)

從式(e)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中的第所有項均大于平面應(yīng)力情況下的值。因此，平面應(yīng)變的形變勢能大于平面應(yīng)力的形變勢能U。例題從式(e)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能aabqbx

y例題2圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解。?。篴abqbxy例題2圖中所示的薄板，厚度解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問題的對稱性。取上式反映了位移對稱于y

軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。滿足位移邊界條件：解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，

僅取各一項進(jìn)行運算:例題因為體力：面力只作用在處，有：則：(a)(b)僅取各一項進(jìn)行運算:例題因為體力：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得

例題其中：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得例題其中：例題?。盒巫儎菽苊芏葹榉e分得到形變勢能為(c)例題?。盒巫儎菽苊芏葹榉e分得到將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程

得到：(d)將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程得到：例題求應(yīng)力解答，由物理方程：解得：位移解答：例題求應(yīng)力解答，由物理方程：解得：例題對稱軸上（）：（最大）例題對稱軸上（）：例題在邊界：（最大）例題在邊界：（最大）本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應(yīng)取更多的項數(shù)進(jìn)行計算。本題中，由于u，v中各只取一項，且取例題3一端固定、一端簡支的梁受均布荷載q作用，如圖所示。試用瑞利-里茨的位移變分法求解梁的撓度。例題3一端固定、一端簡支的梁受均布荷載q作用，如圖所解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件。取需滿足位移邊界條件：滿足解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件。位移試函數(shù)變?yōu)椋毫旱目倓菽転椋河山Y(jié)構(gòu)力學(xué)公式有：位移試函數(shù)變?yōu)椋毫旱目倓菽転椋河山Y(jié)構(gòu)力學(xué)公式有：由極小勢能原理：位移變分方程根據(jù)，的任意性，有即有：由極小勢能原理：位移變分方程根據(jù)，的任意性，有即位移解答：位移變分方程解得：代入式(a)：位移解答：位移變分方程解得：代入式(a)：第五章教學(xué)參考資料

（一）本章學(xué)習(xí)重點及要求1.彈性力學(xué)的基本解法，是根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應(yīng)力、形變和位移。從數(shù)學(xué)上看，彈性力學(xué)問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學(xué)參考資料第五章教學(xué)參考資料（一）本章學(xué)習(xí) 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學(xué)基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應(yīng)用的近似解法。彈性力學(xué)中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學(xué)參考資料 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難

2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些結(jié)點上的函數(shù)值來代替，并從而將微分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù))方程，使問題易于求解。在這種方法中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學(xué)參考資料2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解教學(xué)參考3.變分法是彈性力學(xué)中另一獨立的求解方法。

在變分法中根據(jù)平衡狀態(tài)時的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進(jìn)行求解。彈性力學(xué)中的變分方程和微分方程是互通的，可以互相導(dǎo)出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學(xué)的近似解法。

教學(xué)參考資料3.變分法是彈性力學(xué)中另一獨立的教學(xué)參考資料4.有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來的彈性力學(xué)近似解法。在有限單元法中,首先將區(qū)域離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；然后將連續(xù)體的能量極小值條件應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而建立求解的方法。有限單元法應(yīng)用計算機(jī)進(jìn)行計算，可以有效地解決各種復(fù)雜的工程問題。教學(xué)參考資料4.有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來教學(xué)參考資料

5.對于工程技術(shù)人員來講，這些彈性力學(xué)的近似解法，是用來解決實際問題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應(yīng)用這些近似解法。教學(xué)參考資料5.對于工程技術(shù)人員來講，這些彈性力學(xué)的近似解法

1.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性力學(xué)中的位移變分法，是取位移函數(shù)為宗量，由總勢能處于極小值的條件來導(dǎo)出變分方程，然后進(jìn)行求解的。以下列出平面應(yīng)力問題的有關(guān)變分公式及方程。教學(xué)參考資料

（二）本章內(nèi)容提要1.變分法是研究泛函及其極值的教學(xué)參考資料2.彈性體的功和能教學(xué)參考資料外力勢能：外力功：總勢能：2.彈性體的功和能教學(xué)參考資料外力勢能：外力功：總勢能：形變(內(nèi)力)勢能：教學(xué)參考資料形變(內(nèi)力)勢能：教學(xué)參考資料

虛位移(位移變分),是在約束條件允許下，在平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移狀態(tài)為：

其中u，v為實際平衡狀態(tài)下的位移。教學(xué)參考資料3.在虛位移上彈性體的功和能教學(xué)參考資料3.在虛位移上彈性體的功和能教學(xué)參考資料當(dāng)虛位移發(fā)生，發(fā)生時外力的虛功：外力勢能的變分：形變勢能的變分：教學(xué)參考資料當(dāng)虛位移發(fā)生，發(fā)生時外力的虛功：外力勢⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中，形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少，即教學(xué)參考資料4.變分方程

上式可以展開用下列各類表達(dá)式表達(dá)：⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機(jī)械能的改教學(xué)參考資料4.變一、位移變分方程教學(xué)參考資料二、虛功方程一、位移變分方程教學(xué)參考資料二、虛功方程教學(xué)參考資料三、極小勢能原理其中。四、位移變分方程的又一形式（等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件）即：教學(xué)參考資料三、極小勢能原理其中

5.位移變分法⑴瑞利－里茨法：設(shè)定位移試函數(shù)，

預(yù)先滿足上的約束邊界條件，并滿足瑞利－里茨變分方程：教學(xué)參考資料5.位移變分法教學(xué)參考資料

⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢函數(shù)預(yù)先滿足上的約束邊界條件和上的應(yīng)力邊界條件，并滿足伽遼金變分方程。教學(xué)參考資料⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢函數(shù)預(yù)先滿教學(xué)參考資料

6.對變分法的簡單評價⑴位移變分法適用于具有各種邊界條件的問題，因此，它的適用范圍廣泛。⑵變分法中設(shè)定試函數(shù)時，一般總是局限于某種函數(shù)的范圍內(nèi)，不是完全任意的。因此，變分法得出的通常是近似解。⑶由于位移解答是近似的，在求導(dǎo)運算后要降低精度。因此在位移變分法中，應(yīng)力的精度低于位移的精度。教學(xué)參考資料6.對變分法的簡單評價教學(xué)參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點在于：a.設(shè)定試函數(shù)必須預(yù)先滿足一定的邊界條件；b.當(dāng)試函數(shù)中所取項數(shù)較多時，計算工作量很大。但與求解微分方程的解法相比，變分法具有更容易和更有可能地解決實際問題的能力。因此，變分法得到了廣泛的應(yīng)用。教學(xué)參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點教學(xué)參考資料例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法教學(xué)參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導(dǎo)

——本節(jié)只介紹原理彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。

fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。 導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)點1、3，拋物線差分公式結(jié)點3：結(jié)點1：拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點的導(dǎo)數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)

應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解

——本節(jié)只介紹原理對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5按求解(3)求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）：按求解(3)求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法相容方程(5-10)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為未知，均應(yīng)列出式(5-10)的方程。2.相容方程(a)的差分表示相容方程(5-10)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，相容方程

對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(5-10)時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的值。

為了求虛結(jié)點的值，需要求出邊界點的，值。相容方程對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(5-10)時，

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟然后計算邊界上各結(jié)點的、、；令（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟然求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列出式(5-10)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點的值；（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（5）按式(5-9)求各結(jié)點的應(yīng)力。求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。

——本節(jié)只介紹結(jié)果§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。

比較：材料力學(xué)解─AM上為直線分布，彈性力學(xué)解─AM上為曲線分布，

由此也說明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）是解微分方程邊值問題和彈性力學(xué)問題的有效方法；（2）簡便易行，且總能求出解答；（3）可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩；（2）比較適用于平面問題或二維問題；（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運算時會降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算缺點：差分法評價§5－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法─是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函形變勢能（2）因為應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。1.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）形變勢能（2）因為應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對于平面應(yīng)力問題

或平面應(yīng)變問題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢能利用物理方程，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為（3）對于平面應(yīng)力問題(c)形變勢能利用（4）假設(shè)沒有非機(jī)械能和動能的轉(zhuǎn)化，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變

能，存貯于物體內(nèi)部。形變勢能─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。（5）整個彈性體的形變勢能

（4）假設(shè)沒有非機(jī)械能和動能的轉(zhuǎn)化，則形變勢能形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將，?？捎梦灰票硎緸椋?）將幾何方程代入式(e)，則平面應(yīng)力問題的形變勢能(5-16)形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將2.形變勢能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函，

故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(5-15)形變勢能的性質(zhì)2.形變勢能的性質(zhì)(5-15)形變勢能的性質(zhì)外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取時的外力功和能為零，則有：(5-18)外力功和外力勢能3.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和：(5-19) 4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力(5-19)§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，?！?－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實際位移其

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。

虛位移（在上）2.虛位移狀態(tài)虛位移（在上） 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。虛位移 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分

─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量

x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(a)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(a)⑵變分與微分變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(b)變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(b)由于微分和變分都是微量，所以(I).它們的運算方式相同；(II).變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(c)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(c)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

(5-20)(5-21)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起的虛應(yīng)變，為：從而引起形變勢能的變分，為：(5-22)上式中的應(yīng)力分量，在虛位移發(fā)生之前已經(jīng)存在，應(yīng)作為恒力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。即位移變分方程4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出(d)（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變（2）位移變分方程

將式(5-20)代入式(d)，可得該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程(5-23)（2）位移變分方程該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，

外力在虛位移上所做的虛功等于

應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程

將式(5-20)和式(5-22)代入式(d)中，可得(5-25)位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，（3）虛功其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方程（4）最小勢能原理其中,U為彈性體的形變勢能;W為彈性體的外力功?？梢宰C明，式(e)可以寫成式(d)可寫成(e)(f)其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方由于彈性體的總勢能為故式(f)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得

也就是：(5-24)位移變分方程由于彈性體的總勢能為(5-24)位移變分方程最小勢能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)最小勢能原理：uu（實際位移）(a)(b)位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。位移變分方程這就是最小勢能原理。它表示在給證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。利用幾何方程將方程(5-22)改寫為：證明：位移變分方程等價于平衡微分方程利用幾何方程將應(yīng)用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的邊界，l、m為邊界外法線的方向余弦。應(yīng)用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第三項計算對第三項計算又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有因為，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有虛位移的系數(shù)為零。又一形式上式兩邊相等，有因為，是任意的獨立變分，為了滿足又一形式上（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件：（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件

由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b和c。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位移解答。結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試比較位移變分方程、虛功方程和極小勢能原理不同的物理解釋。3.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法取位移為基本未知函數(shù)。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法取位移為基本未知函數(shù)?！?-6位移變分(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）瑞利-里茨法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。

而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(a)∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(a瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(5-26)還必須滿足位移變分方程(5-23)瑞利-里茨法位移的變分通過，將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：因為虛位移（位移變分）中的，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有其系數(shù)為零。將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出和，代入式（5-26）從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變

2.伽遼金法（介紹原理）——設(shè)定位移試函數(shù)如式(5-26)所示，但令u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b) 應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移例題(a)(b)

應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（體力）：(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件，積分時要將邊界方程代入。例題應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替在處：，，例題在處：，，(d)(e)在處：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：利用方程（5-16）例題得到：其中：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：例題得到根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得：(f)根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得解得，為：例題對于圖示的簡單問題，該解答正好是其精確解。將，代入式(a)，可得位移解答：解得，為：例題對于圖示第五章例題例題1例題2例題3例題第五章例題例題1例題2例題3例題例題1

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題例題1試證明，在同樣的應(yīng)變分量，例題對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中的，變換為：解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能為：例題(a)(b)對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中的，例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)，得到平面應(yīng)變情況下的形變勢能：(c)(d)例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)

從式(e)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中的第所有項均大于平面應(yīng)力情況下的值。因此，平面應(yīng)變的形變勢能大于平面應(yīng)力的形變勢能U。例題從式(e)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能aabqbx

y例題2圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解。取：aabqbxy例題2圖中所示的薄板，厚度解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問題的對稱性。取上式反映了位移對稱于y

軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。滿足位移邊界條件：解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，

僅取各一項進(jìn)行運算:例題因為體力：面力只作用在處，有：則：(a)(b)僅取各一項進(jìn)行運算:例題因為體力：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得

例題其中：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得例題其中：例題?。盒巫儎菽苊芏葹榉e分得到形變勢能為(c)例題?。盒巫儎菽苊芏葹榉e分得到將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程

得到：(d)將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程得到：例題求應(yīng)力解答，由物理方程：解得：位移解答：例題求應(yīng)力解答，由物理方程：解得：例題對稱軸上（）：（最大）例題對稱軸上（）：例題在邊界：（最大）例題在邊界：（最大）本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應(yīng)取更多的項數(shù)進(jìn)行計算。本題