量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

第四章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)量子力學(xué)是研究微觀粒子(如電子，原子和分子等)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科量子力學(xué)的建立經(jīng)歷了由經(jīng)典物理學(xué)到舊量子論，再由舊量子論到量子力學(xué)兩個(gè)歷史發(fā)展階段。4.1微觀粒子運(yùn)動(dòng)的特征4.1.1幾個(gè)代表性的實(shí)驗(yàn)經(jīng)典物理學(xué)發(fā)展到19世紀(jì)末，在理論上已相當(dāng)完善，對(duì)當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象都能加以理論上的說明。它們主要由牛頓的經(jīng)典力學(xué)，麥克斯韋的電、磁和光的電磁波理論，玻耳茲曼和吉布斯等建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)組成。19世紀(jì)末，人們通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象，它們無法用經(jīng)典物理學(xué)解釋，這些具有代表性的實(shí)驗(yàn)有以下3個(gè)。黑體輻射黑體是指能全部吸收各種波長輻射的物體，它是一種理想的吸收體，同時(shí)在加熱它時(shí)，又能最大程度地輻射出各種波長的電磁波。絕熱的開有一個(gè)小孔的金屬空腔就是一種良好的黑體模型。進(jìn)入小孔的輻射，經(jīng)多次吸收和反射，可使射入的輻射實(shí)際上全部被吸收，當(dāng)空腔受熱時(shí)，空腔會(huì)發(fā)出輻射，稱為黑體輻射。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，黑體輻射能量與波長的關(guān)系主要與溫度有關(guān)，而與空腔的形狀和制作空腔的材料無關(guān)。在不同溫度下，黑體輻射的能量(亦稱輻射強(qiáng)度)與波長的關(guān)系如圖所示。許多物理學(xué)家試圖用經(jīng)典熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法解釋黑體輻射現(xiàn)象。瑞利(RayleighJW)和金斯(JeansJH)把分子物理學(xué)中能量按自由度均分的原理用于電磁輻射理論，得到的輻射能量公式在長波處接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在短波處和實(shí)驗(yàn)明顯不符。特別是瑞利-金斯的理論預(yù)示在短波區(qū)域包括紫外以至x射線、Y射線將有越來越高的輻射強(qiáng)度，完全與事實(shí)不符，這就是物理學(xué)上所謂的“紫外災(zāi)難”。維恩(WienW)假設(shè)輻射按波長分布類似于麥克斯韋的分子速度分布，得到的公式在短波處和實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近，在長波處相差很大。1900年普朗克(PlanckM)在深入研究了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并在經(jīng)典力學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上首先提出了“能量量子化”的假設(shè)，他認(rèn)為黑體中原子或分子輻射能量時(shí)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這種振子的能量只能采取某一最小能量單位￡0的整數(shù)倍數(shù)值?！?n￡0,n=1，2，3，...n稱量子數(shù)。并且￡0=hv其中h稱為普朗克常數(shù)，數(shù)值為6.626X10-34J.s由于量子數(shù)n取值的整數(shù)性，輻射能量具有跳躍式的不連續(xù)性。這種能量變化的不連續(xù)性就稱為能量的量子化。在量子化假定基礎(chǔ)上，使振子的各本征振動(dòng)的能量服從玻爾茲曼分布，得到輻射強(qiáng)度與波長的關(guān)系E=8兀辦-3[exp(hc/kXT)—1卜1x式中，T為絕對(duì)溫度；c是光速；k是玻爾茲曼常數(shù)。這個(gè)公式結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，很好地描述了黑體輻射問題。下圖中就是1500K時(shí)輻射強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與瑞利-金斯理論及普朗克理論的比較?！怆娦?yīng)19世紀(jì)赫茲發(fā)現(xiàn)光照射到金屬表面上時(shí)，金屬表面上會(huì)發(fā)射出光電子的現(xiàn)象就是的光電效應(yīng)。測(cè)定裝置示意圖如圖。當(dāng)合適頻率的入射光透過石英窗射向金屬電極A時(shí)，電極將發(fā)射具有一定動(dòng)能的電子。在該電極與環(huán)形電極C間施加電壓V，可在檢流計(jì)G中檢測(cè)到光電流。當(dāng)電壓減少至零時(shí)，光電流仍有一定大小，說明光電子本身有動(dòng)能。當(dāng)電壓變負(fù)達(dá)到某值時(shí)，光電流等于零，此時(shí)電壓與電荷的乘積應(yīng)與光電子的動(dòng)能相等，由此可估計(jì)光電子動(dòng)能的大小。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律主要有以下幾點(diǎn)：每種金屬都有一固定的頻率v，稱為臨閾頻率。只有當(dāng)入射光頻率大于v時(shí)，才會(huì)有0 0光電流產(chǎn)生，否則，無論光強(qiáng)度多大都不會(huì)產(chǎn)生光電流。光電流強(qiáng)度和入射光強(qiáng)度成正比。光電子電子動(dòng)能和入射光頻率成線性增長關(guān)系，而與入射光強(qiáng)度無關(guān)經(jīng)典物理學(xué)理論認(rèn)為光的能量應(yīng)由光的強(qiáng)度決定，即由光的振幅決定，而與光的頻率無關(guān)，光的頻率只決定光的顏色。光電流是金屬內(nèi)電子吸收入射光能量后逸出金屬表面所產(chǎn)生的，因此，光電流是否產(chǎn)生，以及產(chǎn)生后光電子的動(dòng)能大小應(yīng)由光強(qiáng)度決定。這樣的解釋顯然和光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)相矛盾。1905年，愛因斯坦提出光子學(xué)說，成功地解釋了光電效應(yīng)，它的主要思想如下：光的能量只能是最小能量單位￡0(稱光量子)的整數(shù)倍，￡=ns0，n=1，2，3，…，n稱為量子數(shù)，并且光能量與光子頻率v成正比，￡0=hv光子不但有能量，還有質(zhì)量山，不同頻率的光子具有不同的質(zhì)量。光子具有動(dòng)量P=mc=h/A光強(qiáng)度取決于單位體積內(nèi)的光子數(shù)，即光子密度。根據(jù)愛因斯坦的光子學(xué)說，當(dāng)光照射到金屬表面上時(shí)，能量為hv的光子被電子所吸收，電子將這部分能量中的一部分用來克服金屬表面對(duì)它的吸引力，另一部分轉(zhuǎn)變成逸出電子的動(dòng)能。hv0為電子逸出功，所以只有當(dāng)頻率大于臨閾頻率時(shí)，才能有電子逸出，產(chǎn)生光電流。入射光強(qiáng)度越大，光子密度越大，光子越多，產(chǎn)生的光電流就越大，因此，光電流強(qiáng)度和入射光強(qiáng)度成正比。氫原子光譜原子被火焰、電弧等激發(fā)時(shí)，能受激而發(fā)光，形成光源。將它的輻射線通過分光可以得到許多不連續(xù)的明亮的線條，稱為原子光譜。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)原子光譜是不連續(xù)的線狀光譜。這又是一個(gè)經(jīng)典物理學(xué)不能解釋的現(xiàn)象。下圖就是氫原子的巴爾末線系1911年盧瑟福(RutherfordE)用a粒子散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了原子模型，認(rèn)為原子是由電子繞核運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的。經(jīng)典物理學(xué)無法解釋原子光譜現(xiàn)象，因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，繞核作軌道運(yùn)動(dòng)的電子是有加速度的，應(yīng)當(dāng)自動(dòng)地放射出輻射，因而能量要逐漸減少，這樣會(huì)使電子逐漸接近原子核，最后和核相撞，因此原子應(yīng)為一個(gè)不穩(wěn)定的體系。另一方面，根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子放出輻射的頻率應(yīng)等于電子繞核運(yùn)動(dòng)的頻率，由于電子的能量要逐漸減少，其運(yùn)動(dòng)的頻率也將逐漸地改變，因而輻射的頻率也將逐漸地改變，所以原子發(fā)射的光譜應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的。然而實(shí)驗(yàn)測(cè)得的光譜卻是線狀的、不連續(xù)的。這些都和經(jīng)典的理論發(fā)生了本質(zhì)的矛盾。1913年玻爾(BohrN)根據(jù)普朗克的量子論，愛因斯坦的光子學(xué)說和盧瑟福的原子模型，提出關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的三個(gè)假定：電子只能在核外某些穩(wěn)定的軌道上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子繞核旋轉(zhuǎn)不產(chǎn)生經(jīng)典輻射，原子相應(yīng)處于穩(wěn)定態(tài)，簡(jiǎn)稱定態(tài)。能量最低的穩(wěn)定態(tài)稱為基態(tài)，其它的稱為激發(fā)態(tài)。原子可由某一定態(tài)跳躍到另一個(gè)定態(tài)，稱為躍遷，躍遷中放出或吸收輻射，其頻率為vhv=E—E=△E原子各種可能存在的定態(tài)軌道有一定限制，即電子的軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量必須等于h/2n的整數(shù)倍，M=nh/2n，n=1,2,3,…此式又稱玻爾的量子化規(guī)律，其中n為量子數(shù)。％%%%1913年玻爾(BohrN)根據(jù)普朗克的量子論，愛因斯坦的光子學(xué)說和盧瑟福的原子模型，提出關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的三個(gè)假定：電子只能在核外某些穩(wěn)定的軌道上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子繞核旋轉(zhuǎn)不產(chǎn)生經(jīng)典輻射，原子相應(yīng)處于穩(wěn)定態(tài)，簡(jiǎn)稱定態(tài)。能量最低的穩(wěn)定態(tài)稱為基態(tài)，其它的稱為激發(fā)態(tài)。原子可由某一定態(tài)跳躍到另一個(gè)定態(tài)，稱為躍遷，躍遷中放出或吸收輻射，其頻率為/hv=E—E=△E原子各種可能存在的定態(tài)軌道有一定限制，即電子的軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量必須等于h/2n的整數(shù)倍，M=nh/2n，n=1,2,3,…此式又稱玻爾的量子化規(guī)律，其中n為量子數(shù)。根據(jù)玻爾的假定可以計(jì)算出氫原子基態(tài)軌道的半徑a0為52.9pm，基態(tài)能量為-13.6eV，和實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分接近。對(duì)于微觀體系的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)典物理學(xué)已完全不能適用。以普朗克的量子論、愛因斯坦的光子學(xué)說和玻爾的原子模型方法為代表的理論稱為舊量子論。舊量子論盡管解釋了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，但是，對(duì)絕大多數(shù)較為復(fù)雜的情況，仍然不能解釋。這顯然是由于舊量子論并沒有完全放棄經(jīng)典物理學(xué)的方法，只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概念本身與經(jīng)典物理學(xué)之間是不相容的。因此，舊量子論要作為一個(gè)完整的理論體系，其本身是不能自圓其說的。從黑體輻射、光電效應(yīng)和原子光譜等實(shí)驗(yàn)可見，對(duì)于微觀體系的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)典物理學(xué)已完全不能適用。以普朗克的量子論、愛因斯坦的光子學(xué)說和玻爾的原子模型方法為代表的理論稱為舊量子論。舊量子論盡管解釋了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，但是，對(duì)絕大多數(shù)較為復(fù)雜的情況，仍然不能解釋。這顯然是由于舊量子論并沒有完全放棄經(jīng)典物理學(xué)的方法，只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概念本身與經(jīng)典物理學(xué)之間是不相容的。因此，舊量子論要作為一個(gè)完整的理論體系，其本身是不能自圓其說的。4.1.2波粒二象性的普遍性及統(tǒng)計(jì)解釋17世紀(jì)末以前，人們對(duì)光的觀察和研究還只限于幾何光學(xué)方面。從光的直線傳播、反射定律和折射定律出發(fā)，對(duì)于光的本性問題提出了兩種相反的學(xué)說一一以牛頓為代表的微粒說和以惠更斯為代表的波動(dòng)說。微粒說認(rèn)為，光是由光源發(fā)出的以等速直線運(yùn)動(dòng)的微粒流。微粒種類不同，顏色不同。在光反射和折射時(shí)，表現(xiàn)為剛性彈性球。波動(dòng)說認(rèn)為光是在媒質(zhì)中傳播的一種波，光的不同顏色是由于光的波長不同引起的。微粒說和波動(dòng)說都能解釋當(dāng)時(shí)已知的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，但在解釋折射現(xiàn)象時(shí)導(dǎo)出的折射率結(jié)論相反：微粒說的結(jié)論是光在媒質(zhì)中的相對(duì)折射率正比于光在媒質(zhì)中的傳播速率，而波動(dòng)說則得出相對(duì)折射率反比于光在媒質(zhì)中的傳播速率的結(jié)論。當(dāng)時(shí)由于還不能準(zhǔn)確測(cè)量光速，所以無法判斷哪種說法對(duì)。隨后光的干涉和衍射現(xiàn)象相繼發(fā)現(xiàn)，這些現(xiàn)象是波的典型性質(zhì)，而微粒說無法解釋。光速的精確測(cè)定證實(shí)了波動(dòng)說對(duì)折射率的結(jié)論是正確的。光的偏振現(xiàn)象進(jìn)一步說明光是一種橫波。因此在19世紀(jì)末、本世紀(jì)初的黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓散射等現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以前，波動(dòng)說占了優(yōu)勢(shì)。為了解釋光在真空中傳播的媒質(zhì)問題，提出了“以太”假說。“以太”被認(rèn)為是一種彌漫于整個(gè)宇宙空間、滲透到一切物體之中且具有許多奇妙性質(zhì)的物質(zhì)，而光則認(rèn)為是以“以太”為媒質(zhì)傳播的彈性波。19世紀(jì)70年代，麥克斯韋建立了電磁場(chǎng)理論，預(yù)言了電磁波的存在。不久后赫茲通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電磁波。麥克斯韋根據(jù)光速與電磁波速相同這一事實(shí)，提出光是一種電磁波，這就是光的電磁理論。根據(jù)麥克斯韋方程組和電磁波理論，光和電磁波無需依靠“以太”作媒質(zhì)傳播，其媒質(zhì)就是交替變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)本身。所謂“以太”是不存在的。到了19世紀(jì)末，因?yàn)楣獾碾姶挪▽W(xué)說不能解釋黑體輻射現(xiàn)象而碰到了很大的困難。為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，普朗克在1900年發(fā)表了他的量子論。接著愛因斯坦推廣普朗克的量子論，在1905年發(fā)表了他的光子學(xué)說，圓滿地解釋了光電效應(yīng)，又在1907年在振子能量量子化的基礎(chǔ)上解釋了固體的比熱與溫度的關(guān)系問題。根據(jù)他的意見，光的能量不是連續(xù)地分布在空間，而是集中在光子上。這個(gè)學(xué)說因?yàn)榭灯疹D效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)再一次得到了實(shí)驗(yàn)證明。光子學(xué)說提出以后，重新引起了波動(dòng)說和微粒說的爭(zhēng)論，并且問題比以前更尖銳化了，因?yàn)榉彩桥c光的傳播有關(guān)的各種現(xiàn)象，如衍射、干涉和偏振，必須用波動(dòng)說來解釋，凡是與光和實(shí)物相互作用有關(guān)的各種現(xiàn)象，即實(shí)物發(fā)射光（如原子光譜等）、吸收光（如光電效應(yīng)、吸收光譜等）和散射光（如康普頓效應(yīng)等）等現(xiàn)象，必須用光子學(xué)說來解釋。不能用簡(jiǎn)單的波動(dòng)說或微粒說來解釋所有現(xiàn)象。因此，光既具有波動(dòng)性的特點(diǎn)，又具有微粒性的特點(diǎn)，即它具有波、粒二象性（waveparticleduality），它是波動(dòng)性和微粒性的矛盾統(tǒng)一體，不連續(xù)的微粒性和連續(xù)的波動(dòng)性是事物對(duì)立的兩個(gè)方面，它們彼此互相聯(lián)系，相互滲透，并在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化，這就是光的本性。所謂波動(dòng)和微粒，都是經(jīng)典物理學(xué)的概念，不能原封不動(dòng)地應(yīng)用于微觀世界。光既不是經(jīng)典意義上的波，也不是經(jīng)典意義上的微粒。光的波動(dòng)性和微粒性的相互聯(lián)系特別明顯地表現(xiàn)在以下三個(gè)式子中：E=hv,p=h/入,p=k|W12在以上三個(gè)式子中等號(hào)左邊表示微粒的性質(zhì)即光子的能量E、動(dòng)量p和光子密度p，等式右邊表示波動(dòng)的性質(zhì)，即光波的頻率V、波長入和場(chǎng)強(qiáng)W。按照光的電磁波理論，光的強(qiáng)度正比于光波振幅的平方|中|2,按照光子學(xué)說，光的強(qiáng)度正比于光子密度P，所以P正比于|W|2,令比例常數(shù)為k，即得到P二k|W|21924年，法國物理學(xué)家德布羅意提出，這種“二象性”并不特殊地只是一個(gè)光學(xué)現(xiàn)象，而是具有一般性的意義。他說：“整個(gè)世紀(jì)以來，在光學(xué)上，比起波動(dòng)的研究方法，是過于忽略了粒子的研究方法；在實(shí)物理論上，是否發(fā)生了相反的錯(cuò)誤呢？是不是我們把粒子的圖象想得太多，而過分忽略了波的圖象？”從這樣的思想出發(fā)，德布羅意假定波粒二象性的公式也可適用于電子等靜止質(zhì)量不為零的粒子，也稱為實(shí)物粒子。，即實(shí)物粒子也具有波粒二象性。實(shí)物粒子的波長等于普朗克常數(shù)除以粒子的動(dòng)量，入—h_h八————— pmv這就是德布羅意關(guān)系式。根據(jù)德布羅意假設(shè)，以1.0X106m.s-i的速度運(yùn)動(dòng)的電子波長為7.3乂i0_i°m質(zhì)量為1.0X10-3kg的宏觀物體，當(dāng)以1.0X10-2m.s—1速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，波長為6.63x10-29m實(shí)物粒子波長太小，觀察不到其波動(dòng)性；只有微觀粒子才可觀測(cè)其波動(dòng)性。實(shí)物粒子的波稱為德布羅意波或?qū)嵨锊ā５虏剂_意指出：可以用電子的晶體衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)物質(zhì)波的存在。1927年美國科學(xué)家戴維遜和革末的單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)以及英國湯普森的多晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了德布羅意關(guān)于物質(zhì)波的假設(shè)。隨后，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)質(zhì)子、中子、原子和分子等都有衍射現(xiàn)象，且都符合德布羅意關(guān)系式。下面左邊就是多晶體電子衍射的示意圖，從電子發(fā)射器A發(fā)出的電子射線穿過品體粉末B，投射到屏C上，可以得到一系列的同心圓。這些同心圓叫衍射環(huán)紋。右邊是電子射線通過金品體時(shí)的衍射環(huán)紋圖樣。下面就以多晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行討論。從衍射環(huán)紋的半徑和屏C與晶體B間的距離可以計(jì)算衍射角a，根據(jù)衍射角可用布拉格(Bragg)公式計(jì)算電子射線的波長入，即ank——2dsin2式中d是晶格間距，n=1、2、3、…分別表示各同心圓，其中最小的同心圓n=1，其次n=2。電子射線可從陰極射線管產(chǎn)生，并使之在電勢(shì)差等于V的電場(chǎng)中加速到速度v。獲得的動(dòng)u1 \2eV能等于它在電場(chǎng)中降落的勢(shì)能eV，即：eV——mv2因此v——. 2 \m-hhh根據(jù)德布羅意關(guān)系式，可得電子波長入=一——— pmvmi2j2eV知道電勢(shì)V，就可以計(jì)算出電子射線的波長久。將衍射角算得的波長與通過德布羅意關(guān)系式算出的波長比較，兩者一致。這樣就從實(shí)驗(yàn)上證明了德布羅意關(guān)系式。實(shí)物波的物理意義與機(jī)械波（水波、聲波）及電磁波等不同，機(jī)械波是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，電磁波是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振動(dòng)在空間傳播的波，而實(shí)物波沒有這種直接的物理意義。那么實(shí)物波的本質(zhì)是什么呢？有一種觀點(diǎn)認(rèn)為波動(dòng)是粒子本身產(chǎn)生出來的，有一個(gè)電子就有一個(gè)波動(dòng)。因此當(dāng)一個(gè)電子通過晶體時(shí)，就應(yīng)當(dāng)在底片上顯示出一個(gè)完整的衍射圖形。而事實(shí)上，在底片上顯示出來的僅僅是一個(gè)點(diǎn)，無衍射圖形。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為波是一群粒子組成的，衍射圖形是由組成波的電子相互作用的結(jié)果。但是實(shí)驗(yàn)表明用很弱的電子流，讓每個(gè)電子逐個(gè)地射出，經(jīng)過足夠長的時(shí)間，在底片上顯示出了與較強(qiáng)的電子流，在較短時(shí)間內(nèi)電子衍射完全一致的衍射圖形。這說明電子的波動(dòng)性不是電子間相互作用的結(jié)果。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中若將加速后的電子一個(gè)一個(gè)地發(fā)射，發(fā)現(xiàn)各電子落到屏上的位置是不重合的，也就是說電子的運(yùn)動(dòng)是沒有確定軌跡的，不服從經(jīng)典力學(xué)物體的運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)不斷發(fā)射了很多電子以后，各電子在屏上形成的黑點(diǎn)構(gòu)成了衍射圖象，這說明大量粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是具有波動(dòng)性的。當(dāng)電子數(shù)不斷增加時(shí)，所得衍射圖象不變，只是顏色相對(duì)加深，這就說明波強(qiáng)度與落到屏上單位面積中的電子數(shù)成正比。1926年，波恩提出了實(shí)物波的統(tǒng)計(jì)解釋。他認(rèn)為在空間的任何一點(diǎn)上波的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值平方）和粒子在該位置出現(xiàn)的幾率成正比。實(shí)物波的強(qiáng)度反映微粒出現(xiàn)的幾率的大小，故可稱幾率波。AxAx4.1.3不確定原理可以把實(shí)物粒子的波粒二象性理解為：具有波動(dòng)性的微粒在空間的運(yùn)動(dòng)沒有確定的軌跡，只有與其波強(qiáng)度大小成正比的幾率分布規(guī)律。微觀粒子的這種運(yùn)動(dòng)完全不服從經(jīng)典力學(xué)的理論，所以在認(rèn)識(shí)微觀體系運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，必須擺脫經(jīng)典物理學(xué)的束縛，必須用量子力學(xué)的概念去理解。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)沒有確定的軌跡，也就是說它在任一時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)準(zhǔn)確確定的，這就是測(cè)不準(zhǔn)原理。可以用電子束通過一個(gè)單縫的衍射實(shí)驗(yàn)來說明測(cè)不準(zhǔn)原理。如圖所示，具有動(dòng)量p的電子束，通過寬度為△X的狹縫，在y方向與狹縫距離為l處放一屏幕，可在屏幕上得到如圖所示的衍射強(qiáng)度分布曲線。經(jīng)典粒子直線運(yùn)動(dòng)，通過狹縫后，在屏幕上顯示寬度為△x的條狀圖案。具有波動(dòng)性的電子，通過狹縫邊緣和中心的兩束電子波相互疊加，在到達(dá)屏幕處，有的位置上兩束電子波是加強(qiáng)的(峰)，有的位置上是相互抵消的。根據(jù)光學(xué)原理，相消的條件是這兩束光從狹縫到達(dá)屏幕的光程差A(yù)O為波長入的半整數(shù)倍Ax/2-sin0aAO=nk/2考慮一級(jí)衍射(n=1)的情況sin0=k/A通過狹縫前電子在x方向動(dòng)量px為零，通過狹縫后電子在x方向動(dòng)量p=psin0，所以動(dòng)量在x方向分量在通過狹縫前后的變化為AP=Psin0=sin0-h/kx此式結(jié)合式sin0=k/A可得Ax-Ap=hx如果將x方向的討論改為y或z方向做類似討論，顯然可得稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。Ay?Ap=hAz-Ap=h稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。若考慮到n=2,3,…，等多級(jí)衍射時(shí)，則為△x?△pNh；△y?△pNh；△z?△pNh1927年，海森堡通過嚴(yán)格的推導(dǎo)，得出了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式為..h. .h..hAx?Ap> ；Ay-Ap> ；Az?Ap> x 4兀 y 4兀 z4兀一一 …一………h(huán)用能量E和時(shí)間t作為表示粒子狀態(tài)的基本變量時(shí)，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系則為AE-At>4兀測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式表示通過狹縫時(shí)電子的坐標(biāo)的不確定度和相應(yīng)動(dòng)量的不確定度的乘積至少等于一個(gè)常數(shù)。也就是說，當(dāng)某個(gè)微粒的坐標(biāo)完全被確定時(shí)(△x-0)，則它的相應(yīng)動(dòng)量就完全不能被確定心px-8),反之亦然。換言之，微觀粒子在空間的運(yùn)動(dòng)，它的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)準(zhǔn)確確定的，討論微觀粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡毫無意義。由于微觀粒子運(yùn)動(dòng)具有波粒二象性，因而不能同時(shí)準(zhǔn)確確定某些成對(duì)物理量，如位置與動(dòng)量，能量與時(shí)間，這種現(xiàn)象也被稱為不

確定原理。經(jīng)典力學(xué)中用軌跡描述物體的運(yùn)動(dòng)，即用物體的坐標(biāo)位置和運(yùn)動(dòng)速度（或動(dòng)量）隨時(shí)間的變化來描述物體的運(yùn)動(dòng)。因此需要能夠同時(shí)準(zhǔn)確確定物體的坐標(biāo)和速度。經(jīng)典力學(xué)只適用于描述宏觀粒子的運(yùn)動(dòng)。那么宏觀粒子和微觀粒子有什么不同呢？下面我們來做一簡(jiǎn)單比較。首先宏觀粒子和微觀粒子具有很多的共同點(diǎn)：都具有質(zhì)量、能量和動(dòng)量，服從能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律，都具有波粒二象性，都滿足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。它們的不同之處在于：宏觀粒子波動(dòng)性不明顯，其坐標(biāo)和速度可同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定，有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以用經(jīng)典力學(xué)來描述。微觀粒子波動(dòng)性顯著，受測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式的限制其坐標(biāo)和速度不可能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定，沒有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，不能用經(jīng)典力學(xué)來描述。宏觀和微觀的區(qū)分是相對(duì)的，不確定原理起作用，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡無法描述的場(chǎng)合，就是微觀領(lǐng)域。而不確定原理不起作用，粒子的坐標(biāo)和速度能夠同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定的場(chǎng)合，就是宏觀領(lǐng)域。（（宏觀粒子和微觀粒子的劃分也不是絕對(duì)的，比如說電子，運(yùn)動(dòng)在原子中的電子，受測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式限制，屬于微觀粒子；而電視機(jī)顯相像管中電子槍發(fā)射的電子其運(yùn)動(dòng)軌跡就是可以控制的，屬于宏觀粒子。））例4.1子彈（質(zhì)量0.01kg，速度1000m-s-1）和原子中的電子（質(zhì)量9.1x10一31kg，速度1000m-s-1）。當(dāng)他們的速度不確定范圍為其速度的1000時(shí)，分別計(jì)算它的位置的不確定范圍并討論計(jì)算結(jié)果，解：對(duì)子彈Ax>h/Ap=h/(mAv)=6.63x10-34m6-63x10-34J?s

0.01kgx1000m-s-1=6.63x10-34m對(duì)電子Ax'>h/(m'Ax')=Ax'>h/(m'Ax')==7.27x10-6m9.1x10-31kgx1000m?s-1x1x10-1對(duì)子彈來說，△x很小，可以忽略，即子彈的坐標(biāo)是可以準(zhǔn)確測(cè)定；對(duì)電子來說，△X’達(dá)7.27X10—6m,由于原子半徑僅為10—10m的數(shù)量級(jí)，所以△x不可忽略，在原子中運(yùn)動(dòng)的電子坐標(biāo)在其速度誤差為10%時(shí)是不能準(zhǔn)確測(cè)定的，電子的運(yùn)動(dòng)無法用經(jīng)典力學(xué)中的軌跡（即速度和坐標(biāo))來描述，只能用量子力學(xué)來描述。而子彈則可以用經(jīng)典力學(xué)來描述。4.2量子力學(xué)的基本假定4.2.1算符和運(yùn)算規(guī)則規(guī)定運(yùn)算操作性質(zhì)的符號(hào)稱為算符。例如ln、d/dx、sin等分別表示對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)、微分、正弦等運(yùn)算。算符的作用是：算符作用在一個(gè)函數(shù)上，得到一個(gè)新函數(shù)。通?？梢?a"標(biāo)記算符，如隊(duì)和&，如果算符A將函數(shù)f(x)變成新函數(shù)g(x)，就可寫成Af(x)=g(x)，(讀作：算符A作用于函數(shù)f(x)等于g(x))算符有如下的運(yùn)算規(guī)則：C+B)f⑴=Af⑴+Bf⑴C-B)f⑴=Af⑴-Bf⑴ABf⑴=A[Bf⑴]A2=A[Af⑴]A(B+C)f(x)=ABf(x)+ACf(x)(ABB)Cf(x)=A(BC)f(x)算符的加法：兩個(gè)算符相加作用于函數(shù)等于分別作用于函數(shù)后相加，算符的減法為：兩個(gè)算符相減后作用于函數(shù)就等于分別作用于函數(shù)后相減；算符A與算符B的乘法等于算符B作用于函數(shù)后的新函數(shù)再被算符A作用；算符的平方等于算符作用于函數(shù)后的新函數(shù)再被該算符作用。算符的乘法還服從結(jié)合律和分配律，但是一般不服從交換律。滿足乘法交換律的兩個(gè)算符稱為對(duì)易的算符。當(dāng)算符A滿足A[f(x)土g(x)]=Af(x)土Ag(x)稱A為線性算符。如d/dx就是線性算符，而ln和sin不是線性算符。當(dāng)A滿足j甲*A甲&=^甲(A甲)*&或j甲*A^&=^甲(A甲)*&1 2 2 1稱A為自軛算符或厄密算符。這里積分是對(duì)所有變量的全部變化空間積分。

各種力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符名稱FF坐標(biāo)x,y,z人 人 人x=x,y=y,z=z動(dòng)量分量Px，Py，PzRi動(dòng)量分量平方P2,p2,p2xyzp;=-ih p2=-ihMk=-ih土動(dòng)量pp=-ih(e?+e?+e?)x y z角動(dòng)量M=yp-zpM=zp-xpM=yp-xpM=-ih(- )x dz dyM=-ih(-xg)y dx dzM=-ih(-x&)z dx dy角動(dòng)量平方M2,M2,M2M2=-h2(yQ—z^~)2x dz dy動(dòng)能T=p2/2mT=-h2v2=-h2(d2+d2+d2)2m 2mdx2dy2 dz2位能V=V(x,y,z)V=V(x,y,z)總能量E=T+VH=土v2+V(x,y,z)2m表中列出的是各種力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符，其中坐標(biāo)算符就是其自身，也就是說坐標(biāo)算符作用于函數(shù)就等于坐標(biāo)乘以該函數(shù)。本征方程、本征值和本征函數(shù)如果一個(gè)算符A作用于函數(shù)f，所得的函數(shù)是一個(gè)常數(shù)乘以f，即Af=af則稱這一方程為算符A的本征方程，常數(shù)a是算符A的本征值，函數(shù)f則為算符A的本征函數(shù)。例：算符A=d/dx,函數(shù)f=e2xAf=d/dx(e2x)=2e2x=2f可見，f是算符A的本征函數(shù)，本征值為2例：算符A=d/dx,函數(shù)f=e2x算符A作用于函數(shù)f就是對(duì)函數(shù)f求一階導(dǎo)數(shù)，等于2f，因此算符A作用于函數(shù)f等于2f為一個(gè)本征方程，f是算符A的本征函數(shù)，本征值為2。4.2.2量子力學(xué)的基本假定假定I微觀粒子的狀態(tài)和波函數(shù)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用波函數(shù)v3,y,z,t)來描述。v3,y,z,t)是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，是系統(tǒng)所有粒子的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。不含時(shí)間的實(shí)物粒子波的波函數(shù)v3,y,z)描述微觀系統(tǒng)的不隨時(shí)間而變化的穩(wěn)定態(tài)，稱為定態(tài)波函數(shù)。一般情況下定態(tài)波函數(shù)v是復(fù)數(shù)形式^=f+ig，f和g是坐標(biāo)的實(shí)函數(shù)，W的共軛函數(shù)甲*=f-ig。定態(tài)波函數(shù)與其共軛函數(shù)的乘積為實(shí)函數(shù)，且為正值。為書寫方便波函數(shù)與其共軛函數(shù)的乘積常表示為波函數(shù)模的平方或波函數(shù)的平方由于波強(qiáng)度正比于粒子在空間某處的出現(xiàn)幾率，而波強(qiáng)度可用振幅平方WW*表示，所以|^2|正比于空間某點(diǎn)粒子出現(xiàn)的幾率，1^2|亦即粒子的幾率密度。IV2|dT為空間某點(diǎn)附近體積元dT內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率。定態(tài)波函數(shù)是描述微觀系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)的函數(shù)，它的物理意義不僅是由模的平方描述的幾率密度體現(xiàn)出來，而且它將決定該狀態(tài)的很多物理量，以此來描述這個(gè)狀態(tài)。這就是它的物理意義。由于波函數(shù)描述的是幾率波，所以V必須滿足下列3個(gè)條件。V必須是單值函數(shù)在空間每一點(diǎn)V只能有一個(gè)值。由于粒子在空間每一點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只能有一個(gè)值，因此波函數(shù)在每一點(diǎn)也只能取一個(gè)值。v必須是連續(xù)函數(shù)由于粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度是連續(xù)，因此波函數(shù)必須是連續(xù)的。后面我們會(huì)看到，波函數(shù)所滿足的是一個(gè)二階偏微分方程，要使波函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有意義，則要求要求波函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。

（3）甲必須是有限且平方可積的\^2|代表了粒子的幾率密度，幾率是一個(gè)有限值，因此波函數(shù)應(yīng)該是有限的。由于波函數(shù)模的平方乘體積元在空間的積分是粒子在空間出現(xiàn)的幾率，因此波函數(shù)必須是平方可積的。在全空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率為1，因此要求』w叩&=1全空間滿足該積分式的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。符合單值、連續(xù)和平方可積這三個(gè)條件的波函數(shù)稱為合格波函數(shù)或品優(yōu)波函數(shù)。如果波函數(shù)未歸一化，即波函數(shù)模的平方在全部空間對(duì)體積元的積分不等于1，而等于一個(gè)常數(shù)KjIW2I&=K全空間K是一個(gè)正的有限數(shù)值。可將波函數(shù)除以常數(shù)K的平方根，此時(shí)有/wUK/全空間￥ f/wUK/全空間￥ f|&=1=j|^‘2|&全空間波函數(shù)w'=與十代表粒子的同一狀態(tài)，為歸化的波函數(shù)，常數(shù)C=稱為歸化因子。由非歸一化波函數(shù)V求得歸一化波函數(shù)V'的過程，稱為函數(shù)歸一化。假定II關(guān)于力學(xué)量及其算符的假定微觀粒子系統(tǒng)的每一個(gè)力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一個(gè)量子力學(xué)算符。若某一力學(xué)量F的算符F作用于波函數(shù)w3,y,z,t），等于某一常數(shù)a乘以波函數(shù)，即波函數(shù)是算符F的本征函數(shù)，F(xiàn)w=FV那么這一微觀粒子的的力學(xué)量F對(duì)波函數(shù)所描述的狀態(tài)就有確定的數(shù)值a，即力學(xué)量F的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值將于算符F的本征值a對(duì)應(yīng)。如果系統(tǒng)處于任一波函數(shù)V所描述的狀態(tài)中，而波函數(shù)V不是算符F的本征函數(shù)，即算符F作用于波函數(shù)V不等于常數(shù)乘以波函數(shù)V，那么，這時(shí)進(jìn)行力學(xué)量的測(cè)量，將得jw*FwdT不到力學(xué)量F確定的數(shù)值，此時(shí)可用下式來求得平均值:；F:；：F；=jwwdT如果波函數(shù)V是已歸一化的，則力學(xué)量F的平均值為：；F；：=jw*FwdT（念作：波函數(shù)的共軛函數(shù)乘以算符F作用于波函數(shù)在全空間對(duì)體積元的積分）假定III薛定諤方程微觀粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵從薛定諤方程。-五°w=Hidt式中H為哈密頓算符，即：H=-塵v2+v2m對(duì)微觀粒子系統(tǒng)的定態(tài)，則有：即=砰哈密頓算符是能量算符，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的能量E，系統(tǒng)的能量E等于系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和E=T+V。定態(tài)波函數(shù)是不隨時(shí)間變化的，描述的是體系的穩(wěn)定狀態(tài)，其能量E有確定值假定W態(tài)的疊加原理經(jīng)典力學(xué)中波動(dòng)具有可疊加性，量子力學(xué)中假設(shè)德布羅意波同樣具有可疊加性，服從態(tài)疊加原理。若V1，甲2,…，Vn為某一微觀系統(tǒng)的可能狀態(tài)，則由它們的線性組合所得的甲也是該系統(tǒng)可能存在的狀態(tài)。w=Cw+cw+…+cw=￡Cwi系數(shù)C,C，…,C為任意常數(shù)。其數(shù)值的大小反映由V所決定的性質(zhì)中V的貢獻(xiàn)，C越1 2 n i i大，相應(yīng)Vi的貢獻(xiàn)也越大?？梢宰C明，幾個(gè)能量相同的狀態(tài)線性組合所得的狀態(tài)仍具有相同的能量。由能量不同的狀態(tài)線性組合所得的狀態(tài)具有一些新的性質(zhì)。4.3薛定諤方程在量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化規(guī)律，應(yīng)該是和波動(dòng)有關(guān)的一個(gè)新型方程，即薛定諤方程，應(yīng)用這個(gè)方程，可由粒子的初始狀態(tài)求得任一時(shí)刻的狀態(tài)，得到波函數(shù)的具體形式。薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不是從某些理論推導(dǎo)出來的，而是在德布羅意波概念啟發(fā)下，歸納總結(jié)出來的，也是以假設(shè)的形式提出來的。4.3.1定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程有含時(shí)方程和定態(tài)方程兩種形式，為更好地理解薛定諤方程，在此嘗試用類比的方法推演薛定諤方程的引出。我們以最簡(jiǎn)單的一維定態(tài)薛定諤方程為例。由于實(shí)物粒子的定態(tài)具有量子化的特征，而在經(jīng)典的波動(dòng)力學(xué)中有量子化特征的只有駐波。光波中頻率為，，波長為久沿x方向傳播的平面駐波的波動(dòng)方程為w=Acos[2兀(?-vt)]X若考慮不受任何外場(chǎng)作用的粒子，即勢(shì)能為零的粒子(稱為自由粒子)，其動(dòng)量p和能量

E都是常數(shù)，將德布羅意關(guān)系式E=hv,人=—代入，則得w"cos［竺(xp-Et)］p hxx此式不再是描述經(jīng)典的平面波，而是描述自由粒子一維運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的德布羅意波。將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)得弟=辛叩sin［辛(xpx-Et)］再次對(duì)X求導(dǎo)得但=_

再次對(duì)X求導(dǎo)得但=_

dx2p2Acos[jxhx-Et)]=-p2^x令力=h，由于動(dòng)能為T=車，代入整理得2兀 2m-生也TW2mdx2自由粒子一維運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程，m為質(zhì)量。如果粒子勢(shì)能不為零，而只是坐標(biāo)的函數(shù)V=V(x)，系統(tǒng)能量E=T+V，動(dòng)能T=E-V，代入方程得-生包=(e-y)w或-生炫+Vw=Ew2mdx2 2mdx2采用類似方法，可以從三維駐波波動(dòng)方程引出描述實(shí)物粒子三維運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程-土［祭,斜若］+V程-土［祭,斜若］+VW=EW令V2=止+史+止稱為Laplace算符，則定態(tài)薛定諤方程可改寫為1-生

t2m-\V2+Vw=EwJ令H=-生v2+v稱為哈密頓算符2m可得到Hw=Ew定態(tài)薛定諤方程4.4微觀粒子的平動(dòng)用量子力學(xué)來解決定態(tài)實(shí)際問題時(shí)，首先要寫出微觀粒子系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)。然后，將它代入定態(tài)薛定諤方程中，通過求解，得到具體的定態(tài)波函數(shù)w所求得的每一個(gè)解w表示該微觀粒子系統(tǒng)的某一種穩(wěn)定狀態(tài)，與這個(gè)解相對(duì)應(yīng)的能量E，就是該微觀粒子系統(tǒng)在此穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的總能量。下面就以一維勢(shì)箱中自由粒子的運(yùn)動(dòng)為例，應(yīng)用量子力學(xué)來進(jìn)行討論。

4.4.1一維勢(shì)箱中的自由粒子運(yùn)動(dòng)如圖所示，一個(gè)長度為l的一維勢(shì)廂中有一個(gè)質(zhì)量為m的自由粒子沿x軸方向做一維平動(dòng)，粒子的勢(shì)能在勢(shì)箱中(圖中II區(qū))為零，在勢(shì)箱壁或勢(shì)箱外(圖中1,111區(qū))的任何位置均為無窮大。這樣粒子的運(yùn)動(dòng)就限制在x=0和x=l之間，而不可能躍出勢(shì)箱。由于勢(shì)箱內(nèi)勢(shì)能為零，勢(shì)箱外為無窮該系統(tǒng)的勢(shì)能V為:0該系統(tǒng)的勢(shì)能V為:0<X<lX<0及乂>l由于粒子只能在勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此只有在勢(shì)箱內(nèi)，波函數(shù)不為零，而在勢(shì)箱壁及勢(shì)箱外波函數(shù)為零，因此可得到波函數(shù)的邊界條件w(X)『° 0<X<1。x<0和x>l時(shí)，[=0 X<0及乂>1波函數(shù)為零，0<X<1時(shí)波函數(shù)才不為零。這樣在解薛定諤方程時(shí)只需要考慮在勢(shì)箱內(nèi)情況。當(dāng)0<x<1時(shí)，V=0,薛定諤方程為:d2d2**dx22mE——w2這是一個(gè)二階線性齊次的常微分方程，該方程的通解為:W=Acos，2兀J2mE'+Bsin，2兀J2mE'h\h\ 7下面就利用波函數(shù)的邊界條件和歸一化條件來確定系數(shù)A和B。代入邊界條件*(x=0)=0，可得到ACOS0=0,因cos0=1,所以A=0方程的解為w=Bsin代入邊界條件*代入邊界條件*(1)=0，得8sin。由于A已經(jīng)等于零，若B再等于零，則波函數(shù)恒等于零，沒有意義，因此B不等于零，只有命si_n2s'imE n2h2這就要求f-1=伽，n為不等于零的整數(shù)，由此可得到系統(tǒng)能量E廣布

其中n=1,2,3,…稱為量子數(shù)。能量帶下標(biāo)n表示能量由量子數(shù)n決定。，再將解得的波函數(shù)歸一化，由將求得的能量代入方程的解W(尤)=Bsin，再將解得的波函數(shù)歸一化，由n于粒子只出現(xiàn)在0和l之間，所以積分限變?yōu)閺?到f1B2于粒子只出現(xiàn)在0和l之間，所以積分限變?yōu)閺?到f1B2sin2dx=0因此可得B=所以解得的波函數(shù)為W(x)=n其中n=1,2,3,…從能量公式看出，勢(shì)箱中粒子的能量隨量子數(shù)n的變化取一些分立值,%%，…，即能量是量子化的。兩相鄰能級(jí)的間隔虧 +1-En=#-黑=懸(2n+1)隨著l的增大，能級(jí)間隔減小，1一8時(shí)，能級(jí)間隔趨于零，即宏觀系統(tǒng)能量是連續(xù)的。量子數(shù)最小為1，此時(shí)的能級(jí)E1所對(duì)應(yīng)的是能級(jí)最低的狀態(tài)，稱為基態(tài)。n>2時(shí)所對(duì)應(yīng)的態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。微觀系統(tǒng)中，粒子基態(tài)能量不為零，因?yàn)閯?shì)箱中勢(shì)能V=0，所以該能量為粒子的動(dòng)能。只要?jiǎng)菹鋵挾萳是有限值，粒子動(dòng)能就恒大于零，該能量稱為零點(diǎn)能。本圖形是基態(tài)、第一和第二激發(fā)態(tài)時(shí)勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)圖形和粒子出現(xiàn)的幾率分布圖形。其中左圖是為勢(shì)箱中粒子不同狀態(tài)的波函數(shù)示意圖；右圖為對(duì)應(yīng)各狀態(tài)粒子的幾率分布情況通過對(duì)量子力學(xué)解一維勢(shì)箱中自由粒子運(yùn)動(dòng)的結(jié)果的討論，可以總結(jié)出如下五個(gè)特性：勢(shì)箱中粒子的運(yùn)動(dòng)具有多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，各種狀態(tài)具有不同的幾率密度分布和不同的能量。能量是量子化的，系統(tǒng)能量的不連續(xù)性是微觀粒子的重要特性。h2勢(shì)箱中粒子能量不為零，至少為8秫12，這個(gè)基態(tài)能量稱為零點(diǎn)能。這說明即使體系達(dá)到絕對(duì)零度，這個(gè)能量仍然存在。由于粒子的勢(shì)能為零，這個(gè)能量是粒子的動(dòng)能，說明粒子總是在不停地運(yùn)動(dòng)。

勢(shì)箱中粒子運(yùn)動(dòng)沒有確定的軌跡，粒子在箱中各處的幾率密度是不均勻的，不同狀態(tài)的幾率密度分布也是不同的。粒子的運(yùn)動(dòng)具有波的性質(zhì)。由于波動(dòng)性的存在，波函數(shù)可以為正值，可以為負(fù)值，也可以為零。波函數(shù)等于零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1，各狀態(tài)隨著能量的增加，節(jié)點(diǎn)數(shù)增加。這些特性，是經(jīng)典物理學(xué)所不能解釋的現(xiàn)象，統(tǒng)稱為量子效應(yīng)。量子效應(yīng)是所有微觀粒子受一定勢(shì)能場(chǎng)束縛的共同特征。當(dāng)質(zhì)量m不斷增大，粒子受束縛空間范圍不斷增大時(shí)，量子效應(yīng)也會(huì)消失，體系變?yōu)楹暧^體系。4.4.2三維勢(shì)箱中自由粒子的平動(dòng)下面討論三維勢(shì)箱中自由粒子的平動(dòng)，假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在邊長為a、b和c的三維方勢(shì)箱中平動(dòng)，粒子在勢(shì)箱內(nèi)的熱能為零，在勢(shì)箱壁和勢(shì)箱外的勢(shì)能為無窮大。分別以x,y分別以x,y和z表示邊長的3個(gè)方向則勢(shì)箱的3個(gè)方向除了長度不同以外沒有其他不該系統(tǒng)的勢(shì)能V為：v3,J,z)=0<x<a,0<y<b,0<z<該系統(tǒng)的勢(shì)能V為：v3,J,z)=x<0及乂>a,y<0及)>b,z<0及2>c由于粒子只能在勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此在勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)不為零，在勢(shì)箱壁及勢(shì)箱外波函數(shù)為零，所以波函數(shù)豐0 0<x<a,0<j<b,0<z<c,=0 x<0及乂>a,y<0及)>b,z<0及2>c, ,、 —、 .52vd2V52V2mE 八在三維勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的自由粒子的薛定諤方程為：￡+W+￡+~hTv=0這是一個(gè)三變量偏微分方程，一般米用分離變量法解方程。假設(shè)：v=vxvyvz，為三個(gè)獨(dú)立函數(shù)乘積能量為三個(gè)量的加和E=Ex+Ey其中Vx、Vy、Vz分別為x、y、z的函數(shù)。2m2m 一+—(E+E+E)=0將VWxwWz代入方程，152v 152v得到： 一+ *~+v5x2v5y2v5z2 力2因?yàn)閄、y和z為3個(gè)獨(dú)立變量，Ex、Ey和Ez為三個(gè)常數(shù)，可將方程分為三個(gè)獨(dú)立的單變量方程。1d2寸2m曠在"+ITEx=x162W2mq八曠2+ITy=0y162寸2mW朽+本z=z2.n兀x 2.n嘩 2.n兀z分別解得Wx=J方sm_^;Wy=J^sm-^；Wz=J-E n2h2 e n2h2咒 n2h2TOC\o"1-5"\h\zx 8ma2y 8mb2 'z 8mc2其中n=1,2,3,…，n=1,2,3,…，n=1,2,3，…X y z2.n兀x2.n兀y12.n兀z由此可得：W=WWW=」一sm一|sm_^_|_sm—xyz1aa\bb\cc\o"CurrentDocument"h2n2 n2 n2Et~Ex+Ey+E廠8m(法+b+cPh2對(duì)于立方勢(shì)箱:8 (n+n+n2)n=n=n=1的量子態(tài)稱對(duì)于立方勢(shì)箱:為基態(tài)，其他的量子態(tài)均為激態(tài)。當(dāng)處于激發(fā)態(tài)時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)以上的波函數(shù)（量子態(tài)）處在同一能級(jí)上，即是多重能級(jí)，它對(duì)應(yīng)的狀態(tài)稱為多重態(tài)，同一能級(jí)上的多重態(tài)數(shù)稱為多重度，也稱簡(jiǎn)并度，常以g表示例題：在立方勢(shì)箱中，某平動(dòng)能級(jí)的n+n2+n2=45，求該能級(jí)的多重度。解：因平動(dòng)量子數(shù)n,n和只n能是1,2,3…等正整數(shù)，所以當(dāng)n2+n2+n2=45時(shí)，3個(gè)xy z xyz量子數(shù)的取值只能是2,4和5，

3個(gè)平動(dòng)量子數(shù)有以下種組合:(2,4,5),(4,2,5),(5,2,4)(2,5,4),(4,5,2),(5,4,2)該平動(dòng)能級(jí)