生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理-63-算法改進(jìn)-格形濾波器課件

在已知自相關(guān)矩陣的情況下，L-D算法雖是一種很完善的估計(jì)方法，但用于已知數(shù)據(jù)（而不是已知自相關(guān)陣）的情況，需要用自相關(guān)估計(jì)值代替真實(shí)值，即使估計(jì)質(zhì)量變壞，又增加了計(jì)算工作量。有必要尋求一種能繞過相關(guān)估計(jì)，直接由已知數(shù)據(jù)估計(jì)反射系數(shù)的方法。這就需要對(duì)預(yù)測誤差有進(jìn)一步的了解。本節(jié)討論的內(nèi)容就是這一類方法的基礎(chǔ)。格形濾波器在已知自相關(guān)矩陣的情況下，L-D算法雖是一種很完善的前向預(yù)測是由{x(n-1),x(n-2),…,x(n-p)}預(yù)測x(n)由{x(n-p+1),x(n-p+2),…,x(n)}“預(yù)測”x(n-p)稱為后向預(yù)測前向預(yù)測是由{x(n-1),x(n-2),…,x(n-p)}可得：可得：格形濾波器最重要的兩個(gè)性質(zhì)：①各級(jí)參數(shù)(反射系數(shù))的模值小于1,一般情況下可保證濾波器穩(wěn)定;②級(jí)間是“去耦”的,因此,當(dāng)各級(jí)分別調(diào)至最佳時(shí)可以使濾波器達(dá)到全局最佳格形濾波器最重要的兩個(gè)性質(zhì)：yule-walker方法用最小平方時(shí)間平均準(zhǔn)則代替集合平均準(zhǔn)則：或如圖所示的是用自相關(guān)法計(jì)算ep+(n)的原理yule-walker方法或如圖所示的是用自相關(guān)法計(jì)算ep+例

試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。解:(1)自相關(guān)法e1+

(n)按下圖計(jì)算很簡捷例試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},協(xié)方差法用下列時(shí)間平均最小平方準(zhǔn)則代替集合平均的最小平方準(zhǔn)則上式與自相關(guān)法的主要區(qū)別是求和范圍不同。現(xiàn)在的求和范圍是p~(N-1)。這意味著,并沒有假設(shè)已知數(shù)據(jù)x(n)(0≤n≤N-1)以外的數(shù)據(jù)等于0,或者說,沒有“加數(shù)據(jù)窗”的不合理假設(shè)。這一特點(diǎn)如下圖所示。協(xié)方差法上式與自相關(guān)法的主要區(qū)別是求和范圍不同?，F(xiàn)在協(xié)方差法存在著穩(wěn)定性問題,舉例說明如下。設(shè)輸入序列長度為3,對(duì)其進(jìn)行1階線性預(yù)測,誤差產(chǎn)生的過程如下圖所示?？梢缘贸鲇缮鲜娇闯?a11的計(jì)算式中分母與x(2)無關(guān),因而若x(2)足夠大,就有可能使|a11|>1,這表明預(yù)測誤差濾波器不是最小相位的,所以不穩(wěn)定。在實(shí)際應(yīng)用協(xié)方差法時(shí)應(yīng)當(dāng)注意這個(gè)問題。協(xié)方差法存在著穩(wěn)定性問題,舉例說明如下?？梢缘贸鲇缮侠?/p>

試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。解:(2)協(xié)方差法：e1+

(n)按下圖計(jì)算很簡捷例試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別Burg法自相關(guān)法的計(jì)算效率高,且能保證預(yù)測誤差濾波器是最小相位的,但數(shù)據(jù)兩端要附加0取樣值,實(shí)際上等效于數(shù)據(jù)加窗,這將使參數(shù)估計(jì)的精度下降。特別是當(dāng)數(shù)據(jù)段很短時(shí),加窗效應(yīng)更為嚴(yán)重。協(xié)方差法計(jì)算效率也高,但潛在著不穩(wěn)定因素。自相關(guān)法和協(xié)方差法都是直接估計(jì)AR參數(shù)。

Burg法則一方面希望利用已知數(shù)據(jù)段兩端以外的未知數(shù)據(jù)(但它對(duì)這些未知數(shù)據(jù)不作主觀臆測),另一方面又總是設(shè)法保證使預(yù)測誤差濾波器是最小相位的。Burg法與自相關(guān)法和協(xié)方差法不同,它不直接估計(jì)AR參數(shù),而是先估計(jì)反射系數(shù),然后利用

LevinsonDurbin遞推算法由反射系數(shù)求得AR參數(shù)Burg法Burg法首先要估計(jì)反射系數(shù),所使用的準(zhǔn)則是前向和后向預(yù)測誤差功率估計(jì)的平均值最小準(zhǔn)則,預(yù)測誤差功率估計(jì)仍然用時(shí)間平均來代替集合平均。因此,Burg法估計(jì)反射系數(shù)的準(zhǔn)則表示為上式的求和范圍與協(xié)方差法相同。前向和后向預(yù)測誤差濾波器的工作都是在數(shù)據(jù)段上進(jìn)行的(數(shù)據(jù)段兩端不需要補(bǔ)充0),如下圖所示。Burg法首先要估計(jì)反射系數(shù),所使用的準(zhǔn)則是前向和后由上式求ε對(duì)反射系數(shù)ap(p)的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0,解出利用Schwarz不等式可以證明:|ap(p)|<1。這就保證了預(yù)測誤差濾波器具有最小相位性質(zhì)。由上式求ε對(duì)反射系數(shù)ap(p)的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0,解出一般情況下,求出ap(p)后,即可利用

levinson-durbin遞推算法中式子由p-1階AR參數(shù)計(jì)算出p階AR參數(shù)。綜上所述,Burg法可歸納為以下三個(gè)公式:一般情況下,求出ap(p)后,即可利用levinsBurg法估計(jì)AR(p)模型參數(shù)的具體計(jì)算步驟如下:①確定初始條件②確定k-1階AR參數(shù)(迭代計(jì)算時(shí),k值從1開始選取):｛ak-1,i｝,σk-12,k≤n≤N-1③計(jì)算ak(k)。④計(jì)算｛aki｝⑤計(jì)算ek+(n)和ek-(n)，k≤n≤N-1⑥計(jì)算k階均方誤差,其公式為σk2=(1-ak2(k))σk-12⑦回到步驟②,進(jìn)行下一次迭代。Burg法估計(jì)AR(p)模型參數(shù)的具體計(jì)算步驟如下:一般來說,如果處理的數(shù)據(jù)采自AR過程,那么采用Burg算法可以獲得精確的AR譜估計(jì),但在處理正弦信號(hào)的數(shù)據(jù)時(shí)卻會(huì)遇到某些困難。例如譜線分裂問題,譜峰位置受相位影響很大的問題等。為減小相位的影響,可對(duì)反射系數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行如下修正式中,ωp(n)為適當(dāng)選擇的一個(gè)具有非負(fù)權(quán)值的窗函數(shù)。一般來說,如果處理的數(shù)據(jù)采自AR過程,那么采用BurMATLAB實(shí)現(xiàn)A=LEVINSON(R,ORDER)A=ARYULE(X,ORDER)功能：采用L-D遞推算法來求解AR模型的參數(shù)a1,a2,...,ap及白噪方差。兩者均為定階order求解，但前者輸入?yún)?shù)為序列的自相關(guān)函數(shù)，后者為采樣序列。MATLAB實(shí)現(xiàn)Pyulear函數(shù)功能：利用Yule-Walker方法(自相關(guān)法)進(jìn)行功率譜估計(jì)格式：Pxx=Pyulear(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pyulear函數(shù)Pxx=Pyulear(x,order,nfft)中：

order：指定AR模型的階數(shù)；

nfft：設(shè)定FFT算法的長度，默認(rèn)為256；若nfft為偶數(shù)，則Pxx為nfft/2+1維的列向量；若為奇數(shù)，

Pxx為（nfft+1）/2維的列向量；x為復(fù)數(shù)時(shí)，Pxx的長度為nfft。[Pxx,F]=Pyulear(x,order,nfft,Fs)中，可在F向量得到功率譜估計(jì)的頻率點(diǎn)，F(xiàn)s指定采樣頻率。Pyulear(x,order,nfft,Fs)直接畫出功率譜估計(jì)的曲線圖

Pxx=Pyulear(x,order,nfft)中：Pcov函數(shù)功能：利用協(xié)方差法進(jìn)行功率譜估計(jì)格式：Pxx=Pcov(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pcov(x,order,nfft,Fs)Pcov(x,order,nfft,Fs)其格式說明調(diào)用參看PyulearPcov函數(shù)arburg函數(shù)、PBURG函數(shù)功能：分別利用Burg法求解AR模型參數(shù)和功率譜估計(jì)格式：A=ARBURG(X,ORDER)Pxx=Pburg(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg格式說明調(diào)用參看Pyuleararburg函數(shù)、PBURG函數(shù)AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)1、AR譜的平滑特性由于AR模型是ω的多項(xiàng)式的有理分式，因而估計(jì)出的譜要比經(jīng)典法的譜平滑。2、古典法需要的原始數(shù)據(jù)較長，否則估計(jì)誤差就比較大。因?yàn)楣诺浞ㄊ峭ㄟ^DFT得來，DFT是將數(shù)據(jù)看做周期重復(fù)的假設(shè)下得來的。AR譜則是對(duì)延遲p范圍外的自相關(guān)做預(yù)測延伸取得的，因而數(shù)據(jù)的有效范圍寬得多。AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)3、AR譜的分辨率經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率由倆相鄰譜線間的頻率間隔決定：ω’=2π/N，反比于有效信號(hào)的長度，但現(xiàn)代譜估計(jì)的分辨率可以不受此限制。這是因?yàn)椋瑢?duì)給定的N點(diǎn)有限長序列x(n)，雖然其估計(jì)出的自相關(guān)函數(shù)也是有限長的，但現(xiàn)代譜估計(jì)的一些方法隱含這數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，使其可能的長度超過給定的長度，因而AR譜的分辨率較高，參數(shù)譜的頻率分辨率決定于模型極點(diǎn)接近單位圓的程度，越接近，產(chǎn)生的譜峰越突出，因而分辨率越高。3、AR譜的分辨率AR譜估計(jì)的異?，F(xiàn)象及其補(bǔ)救措施在實(shí)際工程應(yīng)用中常會(huì)觀察到AR譜估計(jì)的幾種異?，F(xiàn)象,例如虛假譜峰,譜線分裂,譜峰位置受相位影響,噪聲使譜估計(jì)惡化,等等。人們相應(yīng)地提出了一些措施。虛假譜峰如果自相關(guān)函數(shù)的取樣值或反射系數(shù)值的估計(jì)沒有誤差,那么AR(p)模型參數(shù)的估計(jì)在理論上應(yīng)該為式中,api為AR(p)模型的精確參數(shù)值;等式左邊為其估計(jì)值。但實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)的估計(jì)是有誤差的,這就可能(一般來說是這樣)使對(duì)于大于p的i值有估計(jì)值不等于0,相應(yīng)地將產(chǎn)生n-p個(gè)額外的極點(diǎn)。若這些額外的極點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓附近,會(huì)形成虛假的譜峰。為此,有人建議模型的階不宜選得過高,最高不應(yīng)超過N/2,這里N是數(shù)據(jù)記錄長度AR譜估計(jì)的異?，F(xiàn)象及其補(bǔ)救措施譜線分裂如果要估計(jì)的隨機(jī)過程是由一個(gè)正弦信號(hào)疊加噪聲所構(gòu)成的,那么在實(shí)驗(yàn)中會(huì)觀察到:

AR譜估計(jì)中譜峰出現(xiàn)的位置與正弦信號(hào)的初相位有很密切的關(guān)系。而對(duì)于某些算法,還會(huì)觀察到AR譜估計(jì)中存在兩個(gè)靠得很近的譜峰,似乎在隨機(jī)過程中還存在另一個(gè)正弦信號(hào)。這一現(xiàn)象稱為譜線分裂。譜峰位置對(duì)相位的依賴性隨數(shù)據(jù)記錄長度的增加而減小。對(duì)于不同的AR譜估計(jì)方法,這種相位依賴性的大小是不同的。例如,前向和后向預(yù)測誤差方法對(duì)相位依賴性最小,而Burg算法得到的譜估計(jì),其譜峰位置的移動(dòng)有可能大到原位置的16%。譜線分裂在已知自相關(guān)矩陣的情況下，L-D算法雖是一種很完善的估計(jì)方法，但用于已知數(shù)據(jù)（而不是已知自相關(guān)陣）的情況，需要用自相關(guān)估計(jì)值代替真實(shí)值，即使估計(jì)質(zhì)量變壞，又增加了計(jì)算工作量。有必要尋求一種能繞過相關(guān)估計(jì)，直接由已知數(shù)據(jù)估計(jì)反射系數(shù)的方法。這就需要對(duì)預(yù)測誤差有進(jìn)一步的了解。本節(jié)討論的內(nèi)容就是這一類方法的基礎(chǔ)。格形濾波器在已知自相關(guān)矩陣的情況下，L-D算法雖是一種很完善的前向預(yù)測是由{x(n-1),x(n-2),…,x(n-p)}預(yù)測x(n)由{x(n-p+1),x(n-p+2),…,x(n)}“預(yù)測”x(n-p)稱為后向預(yù)測前向預(yù)測是由{x(n-1),x(n-2),…,x(n-p)}可得：可得：格形濾波器最重要的兩個(gè)性質(zhì)：①各級(jí)參數(shù)(反射系數(shù))的模值小于1,一般情況下可保證濾波器穩(wěn)定;②級(jí)間是“去耦”的,因此,當(dāng)各級(jí)分別調(diào)至最佳時(shí)可以使濾波器達(dá)到全局最佳格形濾波器最重要的兩個(gè)性質(zhì)：yule-walker方法用最小平方時(shí)間平均準(zhǔn)則代替集合平均準(zhǔn)則：或如圖所示的是用自相關(guān)法計(jì)算ep+(n)的原理yule-walker方法或如圖所示的是用自相關(guān)法計(jì)算ep+例

試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。解:(1)自相關(guān)法e1+

(n)按下圖計(jì)算很簡捷例試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},協(xié)方差法用下列時(shí)間平均最小平方準(zhǔn)則代替集合平均的最小平方準(zhǔn)則上式與自相關(guān)法的主要區(qū)別是求和范圍不同?，F(xiàn)在的求和范圍是p~(N-1)。這意味著,并沒有假設(shè)已知數(shù)據(jù)x(n)(0≤n≤N-1)以外的數(shù)據(jù)等于0,或者說,沒有“加數(shù)據(jù)窗”的不合理假設(shè)。這一特點(diǎn)如下圖所示。協(xié)方差法上式與自相關(guān)法的主要區(qū)別是求和范圍不同。現(xiàn)在協(xié)方差法存在著穩(wěn)定性問題,舉例說明如下。設(shè)輸入序列長度為3,對(duì)其進(jìn)行1階線性預(yù)測,誤差產(chǎn)生的過程如下圖所示。可以得出由上式看出,a11的計(jì)算式中分母與x(2)無關(guān),因而若x(2)足夠大,就有可能使|a11|>1,這表明預(yù)測誤差濾波器不是最小相位的,所以不穩(wěn)定。在實(shí)際應(yīng)用協(xié)方差法時(shí)應(yīng)當(dāng)注意這個(gè)問題。協(xié)方差法存在著穩(wěn)定性問題,舉例說明如下。可以得出由上例

試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。解:(2)協(xié)方差法：e1+

(n)按下圖計(jì)算很簡捷例試根據(jù)信號(hào)的四個(gè)取樣值x(n)={2,4,1,3},分別Burg法自相關(guān)法的計(jì)算效率高,且能保證預(yù)測誤差濾波器是最小相位的,但數(shù)據(jù)兩端要附加0取樣值,實(shí)際上等效于數(shù)據(jù)加窗,這將使參數(shù)估計(jì)的精度下降。特別是當(dāng)數(shù)據(jù)段很短時(shí),加窗效應(yīng)更為嚴(yán)重。協(xié)方差法計(jì)算效率也高,但潛在著不穩(wěn)定因素。自相關(guān)法和協(xié)方差法都是直接估計(jì)AR參數(shù)。

Burg法則一方面希望利用已知數(shù)據(jù)段兩端以外的未知數(shù)據(jù)(但它對(duì)這些未知數(shù)據(jù)不作主觀臆測),另一方面又總是設(shè)法保證使預(yù)測誤差濾波器是最小相位的。Burg法與自相關(guān)法和協(xié)方差法不同,它不直接估計(jì)AR參數(shù),而是先估計(jì)反射系數(shù),然后利用

LevinsonDurbin遞推算法由反射系數(shù)求得AR參數(shù)Burg法Burg法首先要估計(jì)反射系數(shù),所使用的準(zhǔn)則是前向和后向預(yù)測誤差功率估計(jì)的平均值最小準(zhǔn)則,預(yù)測誤差功率估計(jì)仍然用時(shí)間平均來代替集合平均。因此,Burg法估計(jì)反射系數(shù)的準(zhǔn)則表示為上式的求和范圍與協(xié)方差法相同。前向和后向預(yù)測誤差濾波器的工作都是在數(shù)據(jù)段上進(jìn)行的(數(shù)據(jù)段兩端不需要補(bǔ)充0),如下圖所示。Burg法首先要估計(jì)反射系數(shù),所使用的準(zhǔn)則是前向和后由上式求ε對(duì)反射系數(shù)ap(p)的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0,解出利用Schwarz不等式可以證明:|ap(p)|<1。這就保證了預(yù)測誤差濾波器具有最小相位性質(zhì)。由上式求ε對(duì)反射系數(shù)ap(p)的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0,解出一般情況下,求出ap(p)后,即可利用

levinson-durbin遞推算法中式子由p-1階AR參數(shù)計(jì)算出p階AR參數(shù)。綜上所述,Burg法可歸納為以下三個(gè)公式:一般情況下,求出ap(p)后,即可利用levinsBurg法估計(jì)AR(p)模型參數(shù)的具體計(jì)算步驟如下:①確定初始條件②確定k-1階AR參數(shù)(迭代計(jì)算時(shí),k值從1開始選取):｛ak-1,i｝,σk-12,k≤n≤N-1③計(jì)算ak(k)。④計(jì)算｛aki｝⑤計(jì)算ek+(n)和ek-(n)，k≤n≤N-1⑥計(jì)算k階均方誤差,其公式為σk2=(1-ak2(k))σk-12⑦回到步驟②,進(jìn)行下一次迭代。Burg法估計(jì)AR(p)模型參數(shù)的具體計(jì)算步驟如下:一般來說,如果處理的數(shù)據(jù)采自AR過程,那么采用Burg算法可以獲得精確的AR譜估計(jì),但在處理正弦信號(hào)的數(shù)據(jù)時(shí)卻會(huì)遇到某些困難。例如譜線分裂問題,譜峰位置受相位影響很大的問題等。為減小相位的影響,可對(duì)反射系數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行如下修正式中,ωp(n)為適當(dāng)選擇的一個(gè)具有非負(fù)權(quán)值的窗函數(shù)。一般來說,如果處理的數(shù)據(jù)采自AR過程,那么采用BurMATLAB實(shí)現(xiàn)A=LEVINSON(R,ORDER)A=ARYULE(X,ORDER)功能：采用L-D遞推算法來求解AR模型的參數(shù)a1,a2,...,ap及白噪方差。兩者均為定階order求解，但前者輸入?yún)?shù)為序列的自相關(guān)函數(shù)，后者為采樣序列。MATLAB實(shí)現(xiàn)Pyulear函數(shù)功能：利用Yule-Walker方法(自相關(guān)法)進(jìn)行功率譜估計(jì)格式：Pxx=Pyulear(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pyulear函數(shù)Pxx=Pyulear(x,order,nfft)中：

order：指定AR模型的階數(shù)；

nfft：設(shè)定FFT算法的長度，默認(rèn)為256；若nfft為偶數(shù)，則Pxx為nfft/2+1維的列向量；若為奇數(shù)，

Pxx為（nfft+1）/2維的列向量；x為復(fù)數(shù)時(shí)，Pxx的長度為nfft。[Pxx,F]=Pyulear(x,order,nfft,Fs)中，可在F向量得到功率譜估計(jì)的頻率點(diǎn)，F(xiàn)s指定采樣頻率。Pyulear(x,order,nfft,Fs)直接畫出功率譜估計(jì)的曲線圖

Pxx=Pyulear(x,order,nfft)中：Pcov函數(shù)功能：利用協(xié)方差法進(jìn)行功率譜估計(jì)格式：Pxx=Pcov(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pcov(x,order,nfft,Fs)Pcov(x,order,nfft,Fs)其格式說明調(diào)用參看PyulearPcov函數(shù)arburg函數(shù)、PBURG函數(shù)功能：分別利用Burg法求解AR模型參數(shù)和功率譜估計(jì)格式：A=ARBURG(X,ORDER)Pxx=Pburg(x,order,nfft)[Pxx,F]=Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg格式說明調(diào)用參看Pyuleararburg函數(shù)、PBURG函數(shù)AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)1、AR譜的平滑特性由于AR模型是ω的多項(xiàng)式的有理分式，因而估計(jì)出的譜要比經(jīng)典法的譜平滑。2、古典法需要的原始數(shù)據(jù)較長，否則估計(jì)誤差就比較大。因?yàn)楣诺浞ㄊ峭ㄟ^DFT得來，DFT是將數(shù)據(jù)看做周期重復(fù)的假設(shè)下得來的。AR譜則是對(duì)延遲p范圍外的自相關(guān)做預(yù)測延伸取得的，因而數(shù)據(jù)的有效范圍寬得多。AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)3、AR譜的分辨率