圓的性質(zhì)綜合練習(xí)

一、圓的基本知識1、相關(guān)概念：圓、圓心、半徑、弦、直徑、弧、半圓、等圓、等弧。2、垂徑定理：①：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。②：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。還可以表述為：如果一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分優(yōu)弧；（5）平分劣弧中的任意兩個，就可推出其它三個。3、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。還可以表述為：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么所對應(yīng)的其余各組量分別相等。4、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半。5、半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。6、圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。7、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P在圓外<=>d>r點(diǎn)P在圓上<=>d=r點(diǎn)P在圓內(nèi)<=>d<r8、不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。9、三角形外接圓圓心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做外心。10、三角形內(nèi)切圓圓心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)，叫做內(nèi)心。11、直線和圓的位置關(guān)系：直線l和圓相離<=>d>r直線l和圓相切<=>d=r直線l和圓相交<=>d<r12、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

13、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。14、證明一條直線是圓的切線的方法：（1）切點(diǎn)確定，證明直線垂直于半徑；（2）切點(diǎn)不確定，證明圓心到直線的距離等于半徑。15、切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。16、弧長公式：L=nnR/180（n為弧所對圓心角）17、扇形面積公式：S扇形=nnR2/36018、圓錐側(cè)面積公式：S側(cè)面積=nRL（L為母線長）二、圓的基本解題思路：1、角度問題：a.通過弧來找角b.一個等腰、兩個全等、三個直角c.弦切角等于弦所對圓周角（°二0）2.證明兩弧相等或兩弦相等：a.圓周角或圓心角相等b.兩弦相等/兩弧相等c.垂徑定理，即弦心距相等3、求弦長：a.垂徑定理b.弦與直徑構(gòu)成的直角三角形c.弦與兩半徑構(gòu)成的特殊三角形4、證明一條直線是圓的切線的方法:a.切點(diǎn)確定時，證明直線垂直于半徑b.切點(diǎn)不確定，證明圓心到直線的距離等于半徑

圓中輔助線的做法圓是初中重點(diǎn)內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容.關(guān)于圓的大部分題目，常需作輔助線來求解.現(xiàn)對圓中輔助線的作法歸納總結(jié)如下：1、有關(guān)弦的問題，常做其弦心距，構(gòu)造直角三角形cm,貝UEF=cm.如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的。O交于點(diǎn)G、B、Fcm,貝UEF=cm.2、有關(guān)直徑問題，常做直徑所對的圓周角如圖，在4ABC中，NC=90°,以BC上一點(diǎn)0為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N.(1)求證：AB-BM=BC-BN(2)如果CM是。0的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時，求AB的值.A

3、直線與圓相切的問題，常連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周角，找出等角關(guān)系如圖，AB、AC分別是。0的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED分別交。0于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)C的切線交ED的延長線于P.(1)若PC=PF,求證：ABLED.(2)點(diǎn)D在劣弧的什么位置時，才能使AD2=DE-DF,為什么？4、兩圓相切，常做過切點(diǎn)的公切線或連心線，充分利用連心線必過切點(diǎn)等定理如圖，。02與半圓Ol內(nèi)切于點(diǎn)C,與半圓的直徑AB切于D,若AB=6,O02的半徑為1,則NABC的度數(shù)為 : 2圓中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓，是解決數(shù)學(xué)問題的有力武器，是數(shù)學(xué)的靈魂.因此，我們領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是提高數(shù)學(xué)思維水平，提高數(shù)學(xué)能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的有力保證，因此，我們在學(xué)習(xí)中必須重視數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.一、數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維相結(jié)合.通過對圖形的認(rèn)識，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體.例1MN是半圓直徑，點(diǎn)A是的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，P是直徑MN上的一動點(diǎn)，。0的半徑是1,求AP+BP的最小值.二、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換，使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方程，轉(zhuǎn)化思想，能化繁為簡，化難為易，化未知為已知.例2如圖，以0。的直徑BC為一邊作等邊^(qū)ABC,AB、AC交。0于D、E兩點(diǎn)，試說明BD=DE=EC.在同圓或等圓中，經(jīng)常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉(zhuǎn)化，說明其他量.、分類思想

所謂分類思想，就是當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類必須遵循一定的原則：（1）每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）不重、不漏、最簡.例3。0的直徑AB=2cm,過點(diǎn)A的兩條弦AC=、acm,AD=<3cm,求NCAD所夾的圓內(nèi)部分的面積.在圓中有許多分類討論的題目，希望同學(xué)們做題時，要全面、縝密，杜絕“會而不對，對而不全”的現(xiàn)象.四、方程思想通過對問題的觀察、分析、判斷，將問題化歸為方程問題，利用方程的性質(zhì)和實(shí)際問題與方程的互相轉(zhuǎn)化達(dá)到解決問題的目的.例4如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，弦CDLAB,垂足為E,且PC是。O的切線，若OE:EA=1:2,PA=6,求。0的半徑.五、函數(shù)思想例5如圖，Rt^ABC中，NACB=90°,AC=4,BA=5,點(diǎn)P是AC上的動點(diǎn)（P不與A、C重合），設(shè)PC=x，點(diǎn)P到AB的距離為y.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；⑵試討論以P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關(guān)系，并指出相應(yīng)的x的取值范圍.例6如圖，從。0外一點(diǎn)A作。0的切線AB、AC,切點(diǎn)分別為B、C,且。0直徑BD=6,連結(jié)CD、AO.(1)求證：CD〃AO；(2)設(shè)CD=x,AO=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)若AO+CD=11,求AB的長.提升練習(xí)1、如圖，直線PB切。O于點(diǎn)B,PO交。O于點(diǎn)C,若PB=2..3,PC=2,則NBAC為( )

A.20°B.30°C.40°D.60°2、如圖，。01與。O2相交于A,B兩點(diǎn)，直線PQ與。O1相切于點(diǎn)P,與。O2相切于點(diǎn)Q,AB的延長線交PQ于C,連接PA,PB.下歹IJ結(jié)論:①PC=CQ；②FB〉BQ；③NPBC=NAPC.其中錯誤的結(jié)論有( )A.3個B.2個C.1個D.0個3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0)、B(0,4),OO的半徑為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作。O的一條切線PQ,Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為一.4、如圖，在△ABC中，BC=3cm,NBAC=60°,那么△ABC能被半徑至少為cm的圓形紙片所覆蓋.

5、如圖，梃ABC中，NC=90°,NBAC的平分線AD交BC于D,過點(diǎn)D作DELAD交AB于E,以AE為直徑作。O.(1)求證：點(diǎn)D在。O上；(2)求證：BC是。O的切線；(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面積.6、已知A,B,C,D是。O上的四個點(diǎn).(1)如圖1,若NADC=NBCD=90°,AD=CD,求證：AC±BD；(2)如圖2,若ACLBD,垂足為E,AB=2,DC=4,求。O的半徑.

7、已知，如圖，直線MN交。O于A,B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分NCAM交。O于D,過D作DELMN于E.(1)求證：DE是。O的切線；(2)若DE=6cm，AE=3cm,求。O的半徑.8、如圖，在。O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P,AC=|aB,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(不與A、B兩點(diǎn)重合)，過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn).(1)如圖1,求證：△PCD^AABC；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PCD/△ABC?請在圖2中畫出△PCD并說明理由;(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CPXAB時，求NBCD的度數(shù).9、已知：在^ABC中，以AC邊為直徑的。O交BC于點(diǎn)D,在劣弧AD上取一點(diǎn)E使NEBC=NDEC,延長BE依次交AC于點(diǎn)G,交。O于H.(1)求證：AC±BH；(2)若NABC=45°,0O的直徑等于10,BD=8,求CE的長.課后作業(yè)1、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AB為。O的直徑，CM切。O于點(diǎn)C,NBCM=60°,則NB的正切值是( )A.2、如圖，四邊形ABCD的對角線CA平分NBCD且AD=AB,AE±CB于E,^O為四邊形ABCD的外接圓的圓心，下列結(jié)論：(1)OAXDB；(2)CD+CB=2CE；(3)ZCBA-ZDAC=ZACB；(4)若N