曲線的凹凸性和漸近線

關(guān)于曲線的凹凸性和漸近線第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1*:第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日對(duì)于曲線的彎曲方向，我們換一個(gè)角度來看曲線上任一點(diǎn)的切線位于曲線的上方曲線上任一點(diǎn)的切線位于曲線的下方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束我們可以證明：定義1和定義2是等價(jià)的。第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日定理1（凹凸性的充分條件）：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1：用定義1證第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。證明2：用定義2證第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日推論：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例1：解：注意到,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例2解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日二、曲線的拐點(diǎn)1、定義注意:

拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線。2、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3：解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日注意:例4：解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)的步驟：注意：例第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日定理4證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日例5：解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日三、漸近線定義:1.鉛直漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例如有鉛直漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日證明：由漸近線的定義，有要使此時(shí)成立，必須機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6解第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日例7：

確定常數(shù)a,b,

使解:由條件知，第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日四、函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束步驟：第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第五步第四步

求曲線的漸近線；第七步第六步

作圖。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例8解非奇非偶函數(shù),且無對(duì)稱性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日作圖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例9解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)沒有漸近線。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日拐點(diǎn)極大值極小值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1、凹凸性的定義：兩種定義；

用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的凹凸性，再由凹凸性的改變判別拐點(diǎn);2、凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法：3、漸近線的求法：水平漸近線和斜漸近線；機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束五、小結(jié)4、函數(shù)作圖。第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題3-4(P188)1(3)(6)；2(2)；3；5；

7(2)(6)；8；11(2)；12

第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：例機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

;

.的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

曲線第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日5.求證曲線有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日6、解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共五十四頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日備用題求笛卡兒葉形線的漸近線.解:

令

y=t

x

,代入原方程得曲線的參數(shù)方程: