線面垂直的判定定理證明VIP

線面垂直的判定定理證明線面垂直的判定定理證明：判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。注意關(guān)鍵詞“相交”，如果是平行直線，那么無法判定線面垂直。線面垂直的判定定理證明1線面垂直的判定定理證明判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。注意關(guān)鍵詞“相交”，如果是平行直線，那么無法判定線面垂直。需要相交的原因見下文。反證法：設(shè)有一直線I與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直，那么I，面S假設(shè)|不垂直于面S,那么要么l〃S,要么斜交于S且夾角不等于90o當(dāng)l〃S時，那么I不可能與AB和CD都垂直。這是因為當(dāng)1±AB時，過I任意作一個平面R與S交于m,那么由線面平行的性質(zhì)可知m〃lm±AB又???m_LCD，AB〃CD,與條件矛盾。當(dāng)I斜交S時，過交點在S內(nèi)作一直線n±l,那么n和I構(gòu)成一個新的平面T,且T和S斜交（假設(shè)TLS,那么n是兩平面交線。由面面垂直的性質(zhì)可知吐S,與I斜交S矛盾）。VI1ABVI±CD???CD〃n???AB〃CD,與條件矛盾。綜上，l_LS代數(shù)法：如圖，I與a內(nèi)兩條相交直線a,b都垂直，求證：IJLa證明：與a或b平行的直線必垂直I,因此接下來的討論圍繞與a,b不平行的直線進行。先將a,b,I平移至相交于。點，過。作任意一條直線g,在g上取異于0的點G,過G作GB〃a交b于B,過G作GA/7b^a^Ao連接AB,設(shè)AB與0G交點為C???OA〃GBQB〃GA???四邊形OAGB是平行四邊形???C是AB中點由中線定理，在I上取異于。的點D,連接DA,DB,由中線定理兩式相減可得又注意至I」OD±OA,OD±OB???得AOD±OC由g的任意性可知，I與a內(nèi)任意直線都垂直Al±a向量法：設(shè)直線I是與a內(nèi)相交直線a,b都垂直的直線，求證：I，a證明：設(shè)a,b,I的方向向量為a,b,I■與b相交，即a,b不共線???由平面向量基本定理可知，a內(nèi)任意一個向量c都可以寫成c二人a+ub的形式Vl±a,l±b/?I?a=0,I?b=0l?c=l?（入a+ub）=、l?a+uI?b=0+0=0???l_Lc設(shè)c是a內(nèi)任一直線c的方向向量，那么有l(wèi)，c根據(jù)c的任意性，I與a內(nèi)任一直線都垂直Al±a2線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。性質(zhì)定理2：經(jīng)過空間內(nèi)一點，有且只有一條直線垂直平面。性質(zhì)定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。性質(zhì)定理4：垂直于同一平面的兩條直線平行。推論：空間內(nèi)如果