電磁場與電磁波課后習(xí)題答案全-楊儒貴

矢量分析第一章題解1-1已知三個矢量分別為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。試求①SKIPIF1<0；②單位矢量SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解 ① SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0② SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0③ SKIPIF1<0④ SKIPIF1<0⑤ SKIPIF1<0因 SKIPIF1<0則 SKIPIF1<0⑥ SKIPIF1<0SKIPIF1<0。1-2已知SKIPIF1<0平面內(nèi)的位置矢量A與X軸的夾角為，位置矢量B與X軸的夾角為，試證SKIPIF1<0證明由于兩矢量位于SKIPIF1<0平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分別表示為SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<01-3已知空間三角形的頂點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。試問：①該三角形是否是直角三角形；②該三角形的面積是多少？解由題意知，三角形三個頂點的位置矢量分別為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<0那么，由頂點P1指向P2的邊矢量為SKIPIF1<0同理，由頂點P2指向P3的邊矢量由頂點P3指向P1的邊矢量分別為SKIPIF1<0 SKIPIF1<0因兩個邊矢量SKIPIF1<0，意味該兩個邊矢量相互垂直，所以該三角形是直角三角形。因 SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以三角形的面積為SKIPIF1<01-4已知矢量SKIPIF1<0，兩點P1及P2的坐標(biāo)位置分別為SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。若取P1及P2之間的拋物線SKIPIF1<0或直線SKIPIF1<0為積分路徑，試求線積分SKIPIF1<0。解①積分路線為拋物線。已知拋物線方程為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②積分路線為直線。因SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點位于SKIPIF1<0平面內(nèi)，過SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。1-5設(shè)標(biāo)量SKIPIF1<0，矢量SKIPIF1<0，試求標(biāo)量函數(shù)在點SKIPIF1<0處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)。解已知梯度SKIPIF1<0那么，在點SKIPIF1<0處的梯度為SKIPIF1<0因此，標(biāo)量函數(shù)在點SKIPIF1<0處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)為SKIPIF1<01-6試證式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。證明式（1-5-11）為SKIPIF1<0，該式左邊為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即， SKIPIF1<0。根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則同樣可證式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7已知標(biāo)量函數(shù)SKIPIF1<0，試求該標(biāo)量函數(shù)在點P(1,2,3)處的最大變化率及其方向。解標(biāo)量函數(shù)在某點的最大變化率即是函數(shù)在該點的梯度值。已知標(biāo)量函數(shù)的梯度為SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0 SKIPIF1<0將點P(1,2,3)的坐標(biāo)代入，得SKIPIF1<0。那么，在P點的最大變化率為SKIPIF1<0P點最大變化率方向的方向余弦為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<01-8若標(biāo)量函數(shù)為SKIPIF1<0試求在SKIPIF1<0點處的梯度。解已知梯度SKIPIF1<0，將標(biāo)量函數(shù)代入得SKIPIF1<0再將P點的坐標(biāo)代入，求得標(biāo)量函數(shù)在P點處的梯度為 SKIPIF1<01-9試證式（1-6-11）及式（1-6-12）。證明式（1-6-11）為SKIPIF1<0，該式左邊為SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0式（1-6-12）為SKIPIF1<0，該式左邊為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；即 SKIPIF1<01-10試求距離SKIPIF1<0在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)及圓球坐標(biāo)中的表示式。解在直角坐標(biāo)系中SKIPIF1<0在圓柱坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0在球坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0SKIPIF1<01-11已知兩個位置矢量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的終點坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，試證SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的夾角為SKIPIF1<0證明根據(jù)題意，兩個位置矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知兩個矢量的標(biāo)積為SKIPIF1<0，這里為兩個矢量的夾角。因此夾角為SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<01-12試求分別滿足方程式SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解在球坐標(biāo)系中，為了滿足SKIPIF1<0即要求SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0在球坐標(biāo)系中，為了滿足SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即上式恒為零。故SKIPIF1<0可以是r的任意函數(shù)。1-13試證式（1-7-11）及式（1-7-12）。證明①式（1-7-11）為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）令SKIPIF1<0， SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②式（1-7-12）為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若將式（1-7-12）的右邊展開，也可證明。1-14試證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。證明已知在球坐標(biāo)系中，矢量A的旋度為SKIPIF1<0對于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式，且因r與角度，無關(guān)，那么，由上式獲知SKIPIF1<0。對于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0。對于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理獲知SKIPIF1<0。1-15若C為常數(shù)，A及k為常矢量，試證： ①SKIPIF1<0； ②SKIPIF1<0； ③SKIPIF1<0。證明 ①證明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0而SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0。②證明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0再利用①的結(jié)果，則 SKIPIF1<0③證明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0再利用①的結(jié)果，則 SKIPIF1<0。1-16試證SKIPIF1<0，式中k為常數(shù)。證明已知在球坐標(biāo)系中SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即 SKIPIF1<01-17試證SKIPIF1<0證明利用公式SKIPIF1<0令上式中的SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0將上式整理后，即得SKIPIF1<0。1-18已知矢量場F的散度SKIPIF1<0，旋度SKIPIF1<0，試求該矢量場。解根據(jù)亥姆霍茲定理，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。那么因SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0則SKIPIF1<01-19已知某點在圓柱坐標(biāo)系中的位置為SKIPIF1<0，試求該點在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的位置。解已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此，該點在直角坐標(biāo)下的位置為SKIPIF1<0; SKIPIF1<0; z=3同樣，根據(jù)球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0可得該點在球坐標(biāo)下的位置為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<01-20已知直角坐標(biāo)系中的矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解由于SKIPIF1<0的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，故是常矢量。已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0； SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0；SKIPIF1<0； SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0將上述結(jié)果代入，求得SKIPIF1<0即該矢量在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為SKIPIF1<0直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由此求得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為 SKIPIF1<0。1-21已知圓柱坐標(biāo)系中的矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0以及A在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解因為雖然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量er和e均為變矢，所以SKIPIF1<0不是常矢量。已知圓柱坐標(biāo)系中，矢量A的散度為SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入，得 SKIPIF1<0矢量A的旋度為SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0; SKIPIF1<0; SKIPIF1<0SKIPIF1<0; SKIPIF1<0又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為SKIPIF1<0將上述接結(jié)果代入，得SKIPIF1<0即該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為SKIPIF1<0。1-22已知圓球坐標(biāo)系中矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，以及A在直角坐標(biāo)系及圓柱坐標(biāo)系中的表示式。解因為雖然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量er，e，e均為變矢，所以SKIPIF1<0不是常矢量。在球坐標(biāo)系中，矢量A的散度為SKIPIF1<0將矢量A的各個分量代入，求得SKIPIF1<0。矢量A的旋度為SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為SKIPIF1<0利用矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系SKIPIF1<0求得其在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為SKIPIF1<0。1-23若標(biāo)量函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<01-24若 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0試求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；② SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0；（此處利用了習(xí)題26中的公式）③ SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將矢量SKIPIF1<0的各個坐標(biāo)分量代入上式，求得SKIPIF1<01-25若矢量SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0，式中V為A所在的區(qū)域。解在球坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將矢量SKIPIF1<0的坐標(biāo)分量代入，求得SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<01-26試求SKIPIF1<0，式中S為球心位于原點，半徑為5的球面。解利用高斯定理，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二章靜電場2-1若真空中相距為d的兩個電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當(dāng)點電荷SKIPIF1<0位于q1及q2的連線上時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求SKIPIF1<0的大小及位置。解要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點電荷SKIPIF1<0受到點電荷q1及q2的力應(yīng)該大小相等，方向相反，即SKIPIF1<0。那么，由SKIPIF1<0，同時考慮到SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0可見點電荷SKIPIF1<0可以任意，但應(yīng)位于點電荷q1和q2的連線上，且與點電荷SKIPIF1<0相距SKIPIF1<0。習(xí)題圖習(xí)題圖2-2zxSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0E3E2E12-2已知真空中有三個點電荷，其電量及位置分別為：SKIPIF1<0試求位于SKIPIF1<0點的電場強度。解令SKIPIF1<0分別為三個電電荷的位置SKIPIF1<0到SKIPIF1<0點的距離，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。利用點電荷的場強公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為點電荷q指向場點SKIPIF1<0的單位矢量。那么，SKIPIF1<0在P點的場強大小為SKIPIF1<0，方向為SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在P點的場強大小為SKIPIF1<0，方向為SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在P點的場強大小為SKIPIF1<0，方向為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0點的合成電場強度為SKIPIF1<02-3直接利用式（2-2-14）計算電偶極子的電場強度。解令點電荷SKIPIF1<0位于坐標(biāo)原點，SKIPIF1<0為點電荷SKIPIF1<0至場點P的距離。再令點電荷SKIPIF1<0位于+SKIPIF1<0坐標(biāo)軸上，SKIPIF1<0為點電荷SKIPIF1<0至場點P的距離。兩個點電荷相距為SKIPIF1<0，場點P的坐標(biāo)為（r,SKIPIF1<0,）。根據(jù)疊加原理，電偶極子在場點P產(chǎn)生的電場為SKIPIF1<0考慮到r>>l，SKIPIF1<0=er，SKIPIF1<0，那么上式變?yōu)镾KIPIF1<0式中 SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為變量，并將SKIPIF1<0在零點作泰勒展開。由于SKIPIF1<0，略去高階項后，得SKIPIF1<0利用球坐標(biāo)系中的散度計算公式，求出電場強度為SKIPIF1<02-4已知真空中兩個點電荷的電量均為SKIPIF1<0C，相距為2cm，如習(xí)題圖2-4所示。試求：①P點的電位；②將電量為SKIPIF1<0C的點電荷由無限遠(yuǎn)處緩慢地移至P點時，外力必須作的功。1cmP1cmqq1cmSKIPIF1<0習(xí)題圖2-4解根據(jù)疊加原理，SKIPIF1<0點的合成電位為SKIPIF1<0因此，將電量為SKIPIF1<0的點電荷由無限遠(yuǎn)處緩慢地移到SKIPIF1<0點，外力必須做的功為SKIPIF1<02-5通過電位計算有限長線電荷的電場強度。習(xí)題圖習(xí)題圖2-5r0PzSKIPIF1<0SKIPIF1<0odll12y解建立圓柱坐標(biāo)系。令先電y荷沿z軸放置，由于結(jié)構(gòu)以z軸對稱，場強與SKIPIF1<0無關(guān)。為了簡單起見，令場點位于yz平面。設(shè)線電荷的長度為SKIPIF1<0，密度為SKIPIF1<0，線電荷的中點位于坐標(biāo)原點，場點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0。利用電位疊加原理，求得場點SKIPIF1<0的電位為SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0。故SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，可知電場強度的z分量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0電場強度的r分量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0，那么，合成電強為SKIPIF1<0當(dāng)L時，SKIPIF1<0，則合成電場強度為SKIPIF1<0可見，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完全相同。2-6已知分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度SKIPIF1<0，試求圓心處的電場強度。習(xí)題圖習(xí)題圖2-6ayxoSKIPIF1<0SKIPIF1<0E解建立直角坐標(biāo)，令線電荷位于xy平面，且以y軸為對稱，如習(xí)題圖2-6所示。那么，點電荷SKIPIF1<0在圓心處產(chǎn)生的電場強度具有兩個分量Ex和Ey。由于電荷分布以y軸為對稱，因此，僅需考慮電場強度的SKIPIF1<0分量，即SKIPIF1<0考慮到SKIPIF1<0，代入上式求得合成電場強度為SKIPIF1<02-7已知真空中半徑為a的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為SKIPIF1<0，試求通過圓心的軸線上任一點的電位及電場強度。習(xí)題圖2-7習(xí)題圖2-7xyzProa解建立直角坐標(biāo)，令圓環(huán)位于坐標(biāo)原點，如習(xí)題圖2-7所示。那么，點電荷SKIPIF1<0在z軸上SKIPIF1<0點產(chǎn)生的電位為SKIPIF1<0根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在SKIPIF1<0點產(chǎn)生的合成電位為SKIPIF1<0因電場強度SKIPIF1<0，則圓環(huán)線電荷在SKIPIF1<0點產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<02-8設(shè)寬度為W，面密度為SKIPIF1<0的帶狀電荷位于真空中，試求空間任一點的電場強度。習(xí)題圖習(xí)題圖2-8xyzSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0oryxSKIPIF1<0SKIPIF1<0dxx(a)(b)P(x,y)解建立直角坐標(biāo)，且令帶狀電荷位于xz平面內(nèi)，如習(xí)題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為SKIPIF1<0的無限長線電荷，其線密度為SKIPIF1<0。那么，該無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度與坐標(biāo)變量z無關(guān)，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0SKIPIF1<0得 SKIPIF1<0那么 SKIPIF1<0SKIPIF1<02-9已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a，面電荷密度為SKIPIF1<0，位于z=0平面，且盤心與原點重合，試求圓盤軸線上任一點電場強度SKIPIF1<0。習(xí)題圖習(xí)題圖2-9oxyzrdrP(0,0,z)解如圖2-9所示，在圓盤上取一半徑為SKIPIF1<0，寬度為SKIPIF1<0的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量為SKIPIF1<0。由于對稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點P產(chǎn)生的電場強度僅的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0分量。根據(jù)習(xí)題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場強度的SKIPIF1<0分量為SKIPIF1<0那么，整個圓盤電荷在P產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<02-10已知電荷密度為SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的兩塊無限大面電荷分別位于x=0及x=1平面，試求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0區(qū)域中的電場強度。解無限大平面電荷產(chǎn)生的場強分布一定是均勻的，其電場方向垂直于無限大平面，且分別指向兩側(cè)。因此，位于x=0平面內(nèi)的無限大面電荷SKIPIF1<0，在x<0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度SKIPIF1<0，在x>0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度SKIPIF1<0。位于x=1平面內(nèi)的無限大面電荷SKIPIF1<0，在x<1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度SKIPIF1<0，在x>1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度SKIPIF1<0。由電場強度法向邊界條件獲知，SKIPIF1<0 SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0由此求得 SKIPIF1<0根據(jù)疊加定理，各區(qū)域中的電場強度應(yīng)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02-11若在球坐標(biāo)系中，電荷分布函數(shù)為 SKIPIF1<0試求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0區(qū)域中的電通密度SKIPIF1<0。解作一個半徑為r的球面為高斯面，由對稱性可知SKIPIF1<0式中q為閉合面S包圍的電荷。那么在SKIPIF1<0區(qū)域中，由于q=0，因此D=0。在SKIPIF1<0區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為SKIPIF1<0因此， SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為SKIPIF1<0因此， SKIPIF1<02-12若帶電球的內(nèi)外區(qū)域中的電場強度為 SKIPIF1<0試求球內(nèi)外各點的電位。解在SKIPIF1<0區(qū)域中，電位為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中，SKIPIF1<02-13已知圓球坐標(biāo)系中空間電場分布函數(shù)為SKIPIF1<0試求空間的電荷密度。解利用高斯定理的微分形式SKIPIF1<0，得知在球坐標(biāo)系中SKIPIF1<0那么，在SKIPIF1<0區(qū)域中電荷密度為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中電荷密度為SKIPIF1<02-14已知真空中的電荷分布函數(shù)為SKIPIF1<0式中r為球坐標(biāo)系中的半徑，試求空間各點的電場強度。解由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，取球面為高斯面，那么根據(jù)高斯定理SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中SKIPIF1<0SKIPIF1<02-15已知空間電場強度SKIPIF1<0，試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點間的電位差。解 設(shè)P1點的坐標(biāo)為（0,0,0,）,P2點的坐標(biāo)為（1,1,2,），那么，兩點間的電位差為SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0，因此電位差為SKIPIF1<02-16已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b。若填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)SKIPIF1<0。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內(nèi)外導(dǎo)體半徑之比。解已知若同軸線單位長度內(nèi)的電荷量為q1，則同軸線內(nèi)電場強度SKIPIF1<0。為了使同軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差V不變的情況下，使同軸線內(nèi)最大的電場強度達(dá)到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導(dǎo)體表面SKIPIF1<0處的電場強度達(dá)到最小值。因為同軸線單位長度內(nèi)的電容為SKIPIF1<0則同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面SKIPIF1<0處電場強度為 SKIPIF1<0令b不變，以比值SKIPIF1<0為變量，對上式求極值，獲知當(dāng)比值SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，即同軸線獲得最高耐壓。2-17若在一個電荷密度為SKIPIF1<0，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個半徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場強度。習(xí)題圖習(xí)題圖2-17obaPrdr解此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設(shè)半徑為SKIPIF1<0的整個球內(nèi)充滿電荷密度為SKIPIF1<0的電荷，則球內(nèi)SKIPIF1<0點的電場強度為SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由球心o點指向SKIPIF1<0點的位置矢量，再設(shè)半徑為SKIPIF1<0的球腔內(nèi)充滿電荷密度為SKIPIF1<0的電荷，則其在球內(nèi)SKIPIF1<0點的電場強度為SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由腔心SKIPIF1<0點指向SKIPIF1<0點的位置矢量。那么，合成電場強度SKIPIF1<0即是原先空腔內(nèi)任一點的電場強度，即SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由球心o點指向腔心SKIPIF1<0點的位置矢量?？梢姡涨粌?nèi)的電場是均勻的。2-18已知介質(zhì)圓柱體的半徑為a，長度為l，當(dāng)沿軸線方向發(fā)生均勻極化時，極化強度為SKIPIF1<0，試求介質(zhì)中束縛xyzaSKIPIF1<0習(xí)題圖xyzaSKIPIF1<0習(xí)題圖2-18Ply解建立圓柱坐標(biāo)，且令圓柱的下端面位于xy平面。由于是均勻極化，故只考慮面束縛電荷。而且該束縛電荷僅存在圓柱上下端面。已知面束縛電荷密度與極化強度的關(guān)系為SKIPIF1<0式中en為表面的外法線方向上單位矢量。由此求得圓柱體上端面的束縛電荷面密度為SKIPIF1<0，圓柱體下端面的束縛面電荷密度為SKIPIF1<0。由習(xí)題2-9獲知，位于xy平面，面電荷為SKIPIF1<0的圓盤在其軸線上的電場強度為SKIPIF1<0因此，圓柱下端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<0而圓柱上端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<0那么，上下端面束縛電荷在z軸上任一點產(chǎn)生的合成電場強度為SKIPIF1<02-19已知內(nèi)半徑為a，外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為SKIPIF1<0，若在球心放置一個電量為q的點電荷，試求：①介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷；②各區(qū)域中的電場強度。解先求各區(qū)域中的電場強度。根據(jù)介質(zhì)中高斯定理SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中，電場強度為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中，電場強度為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0區(qū)域中，電場強度為SKIPIF1<0再求介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷。由于SKIPIF1<0，則介質(zhì)殼內(nèi)表面上束縛電荷面密度為SKIPIF1<0外表面上束縛電荷面密度為SKIPIF1<02-20將一塊無限大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場SKIPIF1<0中，周圍媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板的介電常數(shù)為SKIPIF1<0，均勻電場SKIPIF1<0的方向與介質(zhì)板法線的夾角為SKIPIF1<0，如習(xí)題圖2-20所示。當(dāng)介質(zhì)板中的電場線方向SKIPIF1<0時，試求角度SKIPIF1<0及介質(zhì)表面的束縛電荷面密度。 EEd112200E習(xí)題圖2-20E2en2en1解根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場強度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。因此可得SKIPIF1<0； SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，那么由上式求得SKIPIF1<0已知介質(zhì)表面的束縛電荷SKIPIF1<0，那么，介質(zhì)左表面上束縛電荷面密度為SKIPIF1<0介質(zhì)右表面上束縛電荷面密度為SKIPIF1<02-21已知兩個導(dǎo)體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為SKIPIF1<0C，相距很遠(yuǎn)。若以導(dǎo)線相連后，試求：①電荷移動的方向及電量；②兩球最終的電位及電量。解設(shè)兩球相距為d，考慮到d>>a,d>>b，兩個帶電球的電位為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0兩球以導(dǎo)線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，即SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，求得兩球最終的電量分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<0可見，電荷由半徑小的導(dǎo)體球轉(zhuǎn)移到半徑大的導(dǎo)體球，移動的電荷量為SKIPIF1<0。兩球最終電位分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<02-22已知兩個導(dǎo)體球的重量分別為m1=5g，m2=10g，電量均為SKIPIF1<0C，以無重量的絕緣線相連。若絕緣線的長度l=1m，且遠(yuǎn)大于兩球的半徑，試求；①絕緣線切斷的瞬時，每球的加速度；②絕緣線切斷很久以后，兩球的速度。解① 絕緣線切斷的瞬時，每球受到的力為SKIPIF1<0因此，兩球獲得的加速度分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<0②當(dāng)兩球相距為l時，兩球的電位分別為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0此時，系統(tǒng)的電場能量為 SKIPIF1<0絕緣線切斷很久以后，兩球相距很遠(yuǎn)(l>>a,l>>b)，那么，兩球的電位分別為SKIPIF1<0; SKIPIF1<0由此可見，絕緣線切斷很久的前后，系統(tǒng)電場能量的變化為SKIPIF1<0這部分電場能量的變化轉(zhuǎn)變?yōu)閮汕虻膭幽?，根?jù)能量守恒原理及動量守恒定理可得下列方程：SKIPIF1<0， SKIPIF1<0由此即可求出絕緣線切斷很久以后兩球的速度v1和v2：SKIPIF1<0； SKIPIF1<02-23如習(xí)題圖2-23所示，半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個較小的球形空腔。若在空腔中心分別放置兩個點電荷q1及q2，在距離SKIPIF1<0處放置另一個點電荷q3，試求三個點電荷受到的電場力。qq1q2rq3a習(xí)題圖2-23解根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導(dǎo)體空腔具有靜電屏蔽特性。因此，q1與q2之間沒有作用力，q3對于q1及q2也沒有作用力。但是q1及q2在導(dǎo)體外表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷-q1及-q2，對于q3有作用力?？紤]到r>>a，根據(jù)庫侖定律獲知該作用力為SKIPIF1<02-24證明位于無源區(qū)中任一球面上電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布特性無關(guān)。解已知電位與電場強度的關(guān)系為SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，由此獲知電位滿足下列泊松方程SKIPIF1<0利用格林函數(shù)求得泊松方程的解為SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0?？紤]到SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0若閉合面SKIPIF1<0內(nèi)為無源區(qū)，即SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0若閉合面S為一個球面，其半徑為a，球心為場點，則SKIPIF1<0，那么上式變?yōu)镾KIPIF1<0考慮到差矢量SKIPIF1<0的方向為該球面的半徑方向，即與SKIPIF1<0的方向恰好相反，又SKIPIF1<0,則上式變?yōu)镾KIPIF1<0由于在SKIPIF1<0面內(nèi)無電荷，則SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0由此式可見，位于無源區(qū)中任一球面上的電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布無關(guān)。2-25已知可變電容器的最大電容量SKIPIF1<0，最小電容量SKIPIF1<0，外加直流電壓為300V，試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中外力必須作的功。解在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶鰞δ艿脑隽?，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，外力必須作的功為SKIPIF1<02-26若使兩個電容器均為C的真空電容器充以電壓V后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿介電常數(shù)為SKIPIF1<0的理想介質(zhì)，試求：①兩個電容器的最終電位；②轉(zhuǎn)移的電量。解兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對介電常數(shù)為SKIPIF1<0理想介質(zhì)后，兩電容器的電容量分別為SKIPIF1<0兩電容器的電量分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0由于兩個電容器的電壓相等，因此SKIPIF1<0聯(lián)立上述兩式，求得SKIPIF1<0， SKIPIF1<0因此，兩電容器的最終電位為SKIPIF1<0考慮到SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)移的電量為SKIPIF1<02a2a1b習(xí)題圖2-27半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其內(nèi)一半填充介電常數(shù)為SKIPIF1<0的介質(zhì)，另一半填充介質(zhì)的介電常數(shù)為SKIPIF1<0，如習(xí)題圖2-27所示。當(dāng)外加電壓為V時，試求：①電容器中的電場強度；②各邊界上的電荷密度；③電容及儲能。解① 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的外表面上單位長度的電量為SKIPIF1<0，外導(dǎo)體的內(nèi)表面上單位長度的電量為SKIPIF1<0。取內(nèi)外導(dǎo)體之間一個同軸的單位長度圓柱面作為高斯面，由高斯定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，在兩種介質(zhì)的分界面上電場強度的切向分量必須連續(xù)，即SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差為SKIPIF1<0即單位長度內(nèi)的電荷量為 SKIPIF1<0故同軸電容器中的電場強度為 SKIPIF1<0由于電場強度在兩種介質(zhì)的分界面上無法向分量，故此邊界上的電荷密度為零。內(nèi)導(dǎo)體的外表面上的電荷面密度為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0外導(dǎo)體的內(nèi)表面上的電荷面密度為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0③單位長度的電容為SKIPIF1<0電容器中的儲能密度為SKIPIF1<02-28一平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-28所示，間距為d，極板面積為SKIPIF1<0。試求：①接上電壓V時，移去介質(zhì)前后電容器中的電場強度、電通密度、各邊界上的電荷密度、電容及儲能；②斷開電源后，再計算介質(zhì)移去前后以上各個參數(shù)。ddl/2KVl/20習(xí)題圖2-28解 ①接上電源，介質(zhì)存在時，介質(zhì)邊界上電場強度切向分量必須連續(xù)，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場強度SKIPIF1<0是相等的，即電場強度為SKIPIF1<0。但是介質(zhì)內(nèi)外的電通密度不等，介質(zhì)內(nèi)SKIPIF1<0，介質(zhì)外SKIPIF1<0。兩部分極板表面自由電荷面密度分別為SKIPIF1<0， SKIPIF1<0電容器的電量 SKIPIF1<0電容量為 SKIPIF1<0電容器儲能為 SKIPIF1<0若接上電壓時，移去介質(zhì)，那么電容器中的電場強度為 SKIPIF1<0電通密度為 極板表面自由電荷面密度為SKIPIF1<0電容器的電量為 SKIPIF1<0電容量為 SKIPIF1<0電容器的儲能為 SKIPIF1<0②斷開電源后，移去介質(zhì)前，各個參數(shù)不變。但是若移去介質(zhì)，由于極板上的電量SKIPIF1<0不變，電場強度為SKIPIF1<0電通密度為 SKIPIF1<0極板表面自由電荷面密度為 SKIPIF1<0兩極板之間的電位差為 SKIPIF1<0電容量為 SKIPIF1<0電容器的儲能為SKIPIF1<02-29若平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-29所示，尺寸同上題，計算上題中各種情況下的參數(shù)。d/d/2d/2l0習(xí)題圖2-29解①接上電壓，介質(zhì)存在時，介質(zhì)內(nèi)外的電通密度均為SKIPIF1<0，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場強度分別為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0兩極板之間的電位差為SKIPIF1<0。則SKIPIF1<0則電位移矢量為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0極板表面自由電荷面密度為SKIPIF1<0； SKIPIF1<0介電常數(shù)為SKIPIF1<0的介質(zhì)在靠近極板一側(cè)表面上束縛電荷面密度為SKIPIF1<0介電常數(shù)為SKIPIF1<0與介電常數(shù)為SKIPIF1<0的兩種介質(zhì)邊界上的束縛電荷面密度為SKIPIF1<0此電容器的電量SKIPIF1<0則電容量為SKIPIF1<0電容器的儲能為SKIPIF1<0接上電壓時，移去介質(zhì)后：電場強度為SKIPIF1<0電位移矢量為SKIPIF1<0極板表面自由電荷面密度為SKIPIF1<0電容器的電量SKIPIF1<0電容量為SKIPIF1<0電容器的儲能為SKIPIF1<0(2)斷開電源后，介質(zhì)存在時，各個參數(shù)與接上電源時完全相同。但是，移去介質(zhì)后，由于極板上的電量SKIPIF1<0不變，電容器中電場強度為SKIPIF1<0，電通密度為SKIPIF1<0極板表面自由電荷面密度為 SKIPIF1<0兩極板之間的電位差為 SKIPIF1<0電容量為 SKIPIF1<0電容器的儲能為 SKIPIF1<02-30已知兩個電容器C1及C2的電量分別為q1及q2，試求兩者并聯(lián)后的總儲能。若要求并聯(lián)前后的總儲能不變，則兩個電容器的電容及電量應(yīng)滿足什么條件？解并聯(lián)前兩個電容器總儲能為SKIPIF1<0并聯(lián)后總電容為SKIPIF1<0，總電量為SKIPIF1<0，則總儲能為SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0，即要求SKIPIF1<0方程兩邊同乘SKIPIF1<0，整理后得SKIPIF1<0方程兩邊再同乘SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0由此獲知兩個電容器的電容量及電荷量應(yīng)該滿足的條件為SKIPIF1<02-31若平板電容器中介電(x)AdX0 習(xí)題圖2-31ASKIPIF1<0平板面積為A，間距為d，如習(xí)題2-31所示。試求平板電容器的電容。解 設(shè)極板上的電荷密度分別為SKIPIF1<0，則由高斯定理，可得電通密度SKIPIF1<0，因此電場強度為SKIPIF1<0 SKIPIF1<0那么，兩極板的電位差為SKIPIF1<0則電容量為SKIPIF1<0dVtdVt00習(xí)題圖2-32A電壓為V，極板面積為A，間距為d，如習(xí)題圖2-32所示。若將一塊厚度為SKIPIF1<0的導(dǎo)體板平行地插入該平板電容器中，試求外力必須作的功。解未插入導(dǎo)體板之前，電容量SKIPIF1<0。插入導(dǎo)體板后，可看作兩個電容串聯(lián)，其中一個電容器的電容SKIPIF1<0，另一個電容器的電容SKIPIF1<0，那么總電容量為SKIPIF1<0根據(jù)能量守恒原理，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿艿脑隽?，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0則 SKIPIF1<02-33已知線密度SKIPIF1<0的無限長線電荷位于（1,0,z）處，另一面密度SKIPIF1<0的無限大面電荷分布在x=0平面。試求位于SKIPIF1<0處電量SKIPIF1<0的點電荷受到的電場力。xz1PSKIPIF1<0xz1PSKIPIF1<0oSKIPIF1<00.55y習(xí)題圖2-33SKIPIF1<0無限長線電荷在P點產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<0因此，P點的總電場強度為SKIPIF1<0所以位于P點的點電荷受到的電場力為SKIPIF1<02-34已知平板電容器的極板尺寸為SKIPIF1<0，間距為d，兩板間插入介質(zhì)塊的介電常數(shù)為SKIPIF1<0，如習(xí)題圖2-34所示。試求：①當(dāng)接上電壓V時，插入介質(zhì)塊受的力；②電源斷開后，再插入介質(zhì)時，介質(zhì)塊的受力。ddabSU0習(xí)題圖2-34解①此時為常電位系統(tǒng)，因此介質(zhì)塊受到的電場力為 SKIPIF1<0式中x為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。介質(zhì)塊插入后，引起電容改變。設(shè)插入深度x，則電容器的電容為SKIPIF1<0電容器的電場能量可表示為SKIPIF1<0那么介質(zhì)塊受到的x方向的電場力為 SKIPIF1<0②此時為常電荷系統(tǒng)，因此介質(zhì)塊受到的電場力為SKIPIF1<0式中x為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。介質(zhì)塊插入后，極板電量不變，只有電容改變。此時電容器的電場能量可表示為SKIPIF1<0因此介質(zhì)塊受到的x方向的電場力為SKIPIF1<0第三章靜電場3-1已知在直角坐標(biāo)系中四個點電荷分布如習(xí)題圖3-1所示，試求電位為零的平面。-q3cmYX+q-q3cmYX+q+q-q1cm習(xí)題圖3-1SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么，圖中4個點電荷共同產(chǎn)生的電位應(yīng)為 SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得 SKIPIF1<0由4個點電荷的分布位置可見，對于x=1.5cm的平面上任一點，SKIPIF1<0，因此合成電位為零。同理，對于x=0.5cm的平面上任一點，SKIPIF1<0，因此合成電位也為零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm兩個平面的電位為零。xqP(r,z)hhSKIPIF1<0xqP(r,z)hhSKIPIF1<0SKIPIF1<0-qz習(xí)題圖3-2證明建立圓柱坐標(biāo)，令導(dǎo)體表面位于xy平面，點電荷距離導(dǎo)體表面的高度為SKIPIF1<0，如圖3-2所示。那么，根據(jù)鏡像法，上半空間的電場強度為SKIPIF1<0電通密度為 SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0； SKIPIF1<0那么，SKIPIF1<0已知導(dǎo)體表面上電荷的面密度SKIPIF1<0，所以導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷為SKIPIF1<0則總的感應(yīng)電荷為SKIPIF1<03-3根據(jù)鏡像法，說明為什么只有當(dāng)劈形導(dǎo)體的夾角為的整數(shù)分之一時，鏡像法才是有效的？當(dāng)點電荷位于兩塊無限大平行導(dǎo)體板之間時，是否也可采用鏡像法求解。答根據(jù)鏡像法，如果劈形導(dǎo)體的夾角不為SKIPIF1<0的整數(shù)分之一時，則鏡像電荷不能最終和原電荷重合，這樣將會產(chǎn)生無限多個鏡像電荷，每個鏡像電荷都會產(chǎn)生一定的電位，導(dǎo)致合成電位無限大，因而無解。當(dāng)點電荷位于兩塊無限大導(dǎo)體板之間時，可采用鏡像法求解。此時雖然也會產(chǎn)生無限多個鏡像電荷，但是遠(yuǎn)處的鏡像電荷對于兩板之間的場點貢獻(xiàn)越來越小，因此可以獲得一個有限的解。rlh導(dǎo)體習(xí)題圖3-4xy3-4一根無限長的線電荷平行放置在一塊無限大的導(dǎo)體平面附近，如習(xí)題圖3-4所示。已知線電荷密度SKIPIF1<0，離開平面的高度SKIPIF1<0m，空間媒質(zhì)的相對介電常數(shù)SKIPIF1<0。試求：①空間任一點場強及能量密度；②導(dǎo)體表面的電荷密度；③當(dāng)線電荷的高度增加一倍時，外力對單位長度內(nèi)的線電荷應(yīng)作的功。rlh導(dǎo)體習(xí)題圖3-4xy解①建立圓柱坐標(biāo)，令導(dǎo)體表面位于xz平面，導(dǎo)體上方場強應(yīng)與變量z無關(guān)。根據(jù)鏡像法，上半空間中任一點SKIPIF1<0的場強為SKIPIF1<0電場能量密度為SKIPIF1<0已知導(dǎo)體表面的電荷面密度SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0單位長度內(nèi)線電荷受到的電場力可等效為其鏡像線電荷對它的作用力，即SKIPIF1<0可見，線電荷受到的是吸引力。所以，當(dāng)線電荷的高度SKIPIF1<0增加一倍時，外力必須做的功為SKIPIF1<0（J）。3-5在無限大的導(dǎo)體平面上空平行放置一根半徑為a的圓柱導(dǎo)線。已知圓柱導(dǎo)線的軸線離開平面的距離為h，試求單位長度圓柱導(dǎo)線與導(dǎo)體平面之間的電容。解根據(jù)鏡像法可知，無限大的導(dǎo)體平面與無限長圓柱導(dǎo)線之間的場分布與兩根無限長平行圓柱導(dǎo)線之間的一半空間的場分布完全相同。因此，圓柱導(dǎo)線與導(dǎo)體平面之間的單位長度內(nèi)的電容是兩根平行圓柱導(dǎo)線的單位長度內(nèi)的電容一倍。由教材3-3節(jié)獲知兩根平行圓柱導(dǎo)線的單位長度內(nèi)的電容為SKIPIF1<0式中D為兩根圓柱導(dǎo)線軸線之間的距離，a為圓柱導(dǎo)線的半徑。因此，對于本題的圓柱導(dǎo)線與導(dǎo)體平面之間的單位長度內(nèi)的電容為SKIPIF1<0若高度h>>a，上式還可進(jìn)一步簡化為SKIPIF1<060h60hlh習(xí)題圖3-6(a)在夾角60的導(dǎo)電劈的中央部位，離開兩壁的距離為h，如習(xí)題圖3-6(a)所示。若線電荷的線密度為SKIPIF1<0，試求其電位分布函數(shù)。l60l-ll-l-lPr0r1r2r3r4r5習(xí)題圖3-6(b)rxyo解根據(jù)鏡像法，正如原書3-3節(jié)所述，需要引入5個鏡像電荷，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們離場點P的距離分別為r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如習(xí)題圖3-6(b)所示。已知，無限長的線電荷產(chǎn)生的電場強度為SKIPIF1<0可見，空間某點r對于任一參考點r0的電位為SKIPIF1<0對于本題，若取坐標(biāo)原點作為電位參考點，因為原線電荷SKIPIF1<0離坐標(biāo)原點的距離為2h，離場點P的距離為r0，那么該線電荷在P點產(chǎn)生的電位為SKIPIF1<0因為全部鏡像電荷離坐標(biāo)原點的距離均為2h，那么，劈間任一點P以坐標(biāo)原點作為電位參考點的電位為SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0dd/3q習(xí)題圖dd/3q習(xí)題圖3-7無限大的接地的平行導(dǎo)體板之間，如習(xí)題圖3-7所示。兩板間距為d，點電荷位于SKIPIF1<0處，試求兩板間的電位分布。解選用圓柱坐標(biāo)系，令下底板位于z=0平面，點電荷q位于SKIPIF1<0軸，則導(dǎo)體板之間任一點電位與角度無關(guān)。根據(jù)鏡像法，必須在SKIPIF1<0軸上引入無限多個鏡像電荷，zSKIPIF1<0zSKIPIF1<0q-q-qqqrx正SKIPIF1<0軸上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．．．負(fù)SKIPIF1<0軸上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．．．則兩板之間任一點SKIPIF1<0的電位為：SKIPIF1<0SKIPIF1<03-8試證位于無限大導(dǎo)體平面上半球形導(dǎo)體上空的點電荷q受到的力的大小為SKIPIF1<0式中a為球半徑，d為電荷與球心的間距，SKIPIF1<0為真空介電常數(shù)，如習(xí)題圖3-8(a)所示。qqqq″q′0dd-qd′d″0習(xí)題圖3-8(b)q0ad習(xí)題圖3-8(a)證明應(yīng)用鏡像法，將半球變?yōu)橐粋€整球。那么，為了保證無限大導(dǎo)體平面和球面形成的邊界電位為零，必須引入三個鏡像電荷：q，q，q，其中q和q，以及q和q保證無限大平面邊界的電位為零，q和q，以及q和q保證球面邊界的電位為零。那么，根據(jù)鏡像法，求得鏡像電荷q和q分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其位置分別位于SKIPIF1<0及SKIPIF1<0處。因此，點電荷SKIPIF1<0所受到的力應(yīng)為三個鏡像電荷產(chǎn)生的電場力的矢量和。由于三種電場力的方向均位于一條垂線上，矢量和變?yōu)闃?biāo)量和，即SKIPIF1<0將上式整理后，即得 SKIPIF1<0SKIPIF1<03-9當(dāng)孤立的不帶電的導(dǎo)體球位于均勻電場SKIPIF1<0中，使用鏡像法求出導(dǎo)體球表面的電荷分布。（提示：利用點電荷與導(dǎo)體球之間的鏡像關(guān)系。）解當(dāng)導(dǎo)體球和點電荷之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其半徑時，可以認(rèn)為該導(dǎo)體球附近的電場是均勻的，設(shè)SKIPIF1<0由點電荷SKIPIF1<0產(chǎn)生，SKIPIF1<0到球心的距離為SKIPIF1<0，球半徑為a