產(chǎn)生的磁通密度為與電流I課件

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)

作業(yè)：6-1,6-26-4，6-76-112013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)作2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)

主要內(nèi)容電磁感應(yīng)定律、自感與互感、磁場能量與力1.電磁感應(yīng)定律2.電感3.磁場能量4.磁場力2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)主產(chǎn)生的磁通密度為與電流I課件2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.電磁感應(yīng)定律

當(dāng)閉合線圈中的磁通隨時間變化時，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e

為

式中電動勢e

的正方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

當(dāng)磁通增加時，感應(yīng)電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

eI穿過曲面S的磁通量定義為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.電磁感應(yīng)定律2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。

感應(yīng)電場強度E沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動勢，即

又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。

eI2013年4月9日星期二電磁場與電磁波感應(yīng)電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波根據(jù)旋度定理，由上式得

該式對于任一回路面積S

均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點磁通密度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中的方程之一。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波根據(jù)旋度定理，由上式得2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2.電感

在線性介質(zhì)中，單個閉合回路電流產(chǎn)生的磁通密度與回路電流I成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H(亨)。

與回路電流

I交鏈的磁通稱為回路電流

I

的磁通鏈，以

表示。令

與I

的比值為L，即電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2.電感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，與回路中電流無關(guān)。

磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。

若交鏈N

次，則磁通鏈增加N

倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭邸Ｒ虼?，與N

匝回路電流I

交鏈的磁通鏈為

=N

。由N

匝回路組成的線圈的電感為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波單個回路的電感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.磁通與磁通鏈3.3.3電感C回路

磁通

磁通鏈CI電流回路特征：回路可以是任意幾何回路與所有電流回路鉸鏈的總磁通特征：回路是電流回路計入電流存在的所有回路每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通I2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.磁通與磁通鏈32013年4月9日星期二電磁場與電磁波n:為磁場鉸鏈的電流與回路電流I之比（不一定為整數(shù)）

單匝線圈

多匝線圈CI細回路

粗導(dǎo)線回路iCIo粗回路

磁鏈計算o:外磁鏈；i

:內(nèi)磁鏈2013年4月9日星期二電磁場與電磁波n:為磁場鉸鏈的電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波稱為導(dǎo)體回路C的自感系數(shù)，簡稱自感。——外自感2.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流和磁鏈的大小無關(guān)。

自感的特點：特征：磁通鏈?zhǔn)荌自已產(chǎn)生的iCIo粗回路2013年4月9日星期二電磁場與電磁波稱為導(dǎo)體回路C的自

約瑟·亨利于1830年在實驗中發(fā)現(xiàn)，一個線圈中的電流不但能夠在另一個線圈中感應(yīng)出另一個電流，而且也能夠在自身線圈中感應(yīng)出電流，線圈中的實際電流是原來的電流與感應(yīng)電流之和。前者表示互感，后者表示自感。邁克爾·法拉第于1834年獨立發(fā)現(xiàn)了自感現(xiàn)象，這次，亨利比法拉第在時間上搶先了一步。射頻集成電路（RFIC）中的電感約瑟·亨利于1830年在實驗中發(fā)現(xiàn)，一個2013年4月9日星期二電磁場與電磁波bcaO

例1

計算載有直流電流的同軸線單位長度內(nèi)的電感。

解設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖示。

在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路。

內(nèi)導(dǎo)體中的電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中的電流歸并為外邊電流。

IrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波bcaO例12013年4月9日星期二電磁場與電磁波同軸線單位長度的電感定義為

式中，I為同軸線中的電流；

是單位長度內(nèi)與電流

I

交鏈的磁通鏈。

該磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通密度Bo

為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波同軸線單位長度的電感定2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。

內(nèi)導(dǎo)體中的磁通密度Bi

為該磁場形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內(nèi)磁通

為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長度內(nèi)的外磁通為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該外磁通與電流I完2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

該部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中部分電流I

交鏈。因此，對于總電流I

來說，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應(yīng)為

求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場對總電流

I

提供的磁通鏈i

為bcaOIrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為(o+i)

。因此，同軸線的單位長度內(nèi)電感為式中第一項稱為外電感；第二項稱為內(nèi)電感。

當(dāng)同軸線傳輸電磁波時，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通均可忽略，同軸線單位長度內(nèi)的電感等于外電感，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，與總電流I交2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

解：由安培環(huán)路定理，得單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波解：由安培環(huán)路例題1設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，求長度為l的螺線管線圈的電感。

設(shè)螺線管由N匝線圈構(gòu)成，單位長度的線圈匝數(shù)為

無限長螺線管產(chǎn)生的磁場為例題1設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，求長度

磁通鏈為

由此可得

考慮到

結(jié)果可得磁通鏈為由此可得例題2設(shè)圓環(huán)線圈的橫截面為矩形，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，高度為d，求該環(huán)形線圈的電感。N匝線圈

匝數(shù)為N的環(huán)形線圈所產(chǎn)生的磁場為例題2設(shè)圓環(huán)線圈的橫截面為矩形，內(nèi)半徑為a，外半徑如果圓環(huán)的半徑很大，可得如下近似結(jié)果圓環(huán)平均半徑圓環(huán)橫截面的面積如果圓環(huán)的半徑很大，可得如下近似結(jié)果圓環(huán)平均半徑圓環(huán)橫截面的電磁場與電磁波求雙線傳輸線長度為l的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距離D>>a,如圖所示解：由得二導(dǎo)線在x處產(chǎn)生的磁場分別為總的磁感應(yīng)強度外自感為內(nèi)自感為總自感為電磁場與電磁波求雙線傳輸線長度為l的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

與I1交鏈的磁通鏈由兩部分磁通形成，其一是I1本身的磁通形成的磁通鏈11

，另一是I2

在回路l1中的磁通形成的磁通鏈12

。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流

l1

交鏈的磁通鏈1為同理，與電流I2交鏈的磁通鏈2為互感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波與I12013年4月9日星期二電磁場與電磁波

在線性介質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路

l2

對

l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。

令2013年4月9日星期二電磁場與電磁波在線性介質(zhì)中，2013年4月9日星期二電磁場與電磁波將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21

代入前式，得可以證明，任意兩個回路之間的互感公式為（見后面推導(dǎo)）

考慮到，由上兩式可見2013年4月9日星期二電磁場與電磁波將上述參數(shù)L11，L2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁通密度B通過某一表面S的通量稱為磁通：（1）矢量磁位：由上兩個公式可以得到（電流I1在回路l2中產(chǎn)生的磁通鏈）：A1為電流I1在回路l2所在處產(chǎn)生的矢量磁位，因此：（3）（2）將公式（3）代入公式（1），得：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁通密度B通過某一表面2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

在電子電路中，若要增強兩個線圈的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個線圈的耦合，則應(yīng)相互垂直。互感可正可負，但電感始終為正值。

若互磁通與原磁通方向相同，則磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若兩者方向相反，則磁通鏈減少，互感為負值。若處處，則互感。若處處，則互感M

最大。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波在2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

例1

計算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍介質(zhì)為真空，如圖所示。abdrrD0I1I2zS2

解建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流

I1一致，則I1產(chǎn)生的磁通密度為

與電流I2交鏈的磁通鏈21

為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波例12013年4月9日星期二電磁場與電磁波求得

若電流I2為逆時針方向時，則B1與dS

反向，

M21

為負。

若電流I2為如圖所示的順時針方向，則dS

與B1方向相同。那么abdrrD0I1I2zS2但在任何線性介質(zhì)中2013年4月9日星期二電磁場與電磁波求得2013年4月9日星期二電磁場與電磁波3.磁場能量

若加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動勢，外源必須作功。

若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在磁場中。

根據(jù)在建立磁場過程中外源作的功即可計算磁場能量。eIB2013年4月9日星期二電磁場與電磁波3.磁場能量2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

設(shè)單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值

I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值

。反電動勢為eIB

為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓。即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波設(shè)單個2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

若時刻t

回路中的電流為i(t)

，則此時刻回路中的瞬時功率為在dt時間內(nèi)外源作的功為

單個回路的磁通鏈與電流的關(guān)系為。

那么，在線性介質(zhì)中，求得dt

時間內(nèi)外源作的功為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若時刻2013年4月9日星期二電磁場與電磁波當(dāng)回路電流增至最終值I時，外源作的總功

W

為

因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌龅哪芰?。若以Wm

表示磁場能量，那么上式又可改寫為利用此式計算電感十分方便。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波當(dāng)回路電流增至最終值2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

考慮到，則單個回路電流的磁場能量又可表示為式中，

為與電流

I

交鏈的磁通鏈。

對于N個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢地增加到最終值。

已知各回路磁通鏈與其電流之間的關(guān)系是線性的，第j

個回路的磁通鏈j

為式中Ij

為電流最終值。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波考慮到2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第j個回路在時刻t

的電流為在dt

時間內(nèi)，外源在

N

個回路中作的功為那么，在同一時刻該回路的磁通鏈為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第j個回路在時刻2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，具有最終值電流的N

個回路產(chǎn)生的磁場能量為

當(dāng)各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功

W

為

若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算N個回路共同產(chǎn)生的磁場能量。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，具有最終值電流的2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

已知回路磁通可用矢量磁位

A表示為，因此第

j

個回路的磁通鏈可用矢量磁位A表示為那么，N個回路的磁場能量又可用矢量磁位表示為式中A

為周圍回路電流在第j

個回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

若電流分布在體積V中，電流密度為J，已知，則上式變?yōu)轶w積分，此時磁場能量可以表示為式中V

為體電流所占據(jù)的體積。對于面電流，則產(chǎn)生的磁場能量為式中S

為面電流所在的面積。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁能密度

利用矢量恒等式，上式又可寫為若將積分區(qū)域擴大到無限遠處，上式仍然成立。已知，代入，得式中，V

為電流所在的區(qū)域。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁能密度2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

令S

為半徑無限大的球面，則由散度定理知，上式第一項的當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時，，，因此考慮到，求得上式中的被積函數(shù)即是磁場密度。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波令S2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若以小寫字母wm

表示磁能密度，則

已知各向同性的線性介質(zhì)，，因此磁場能量密度又可表示為

可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量不符合疊加原理。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若以小寫字母wm表2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場和電場的能量計算方法單個回路：N

個回路：分布電流：磁能密度：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場和電場的能量計算方2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

例設(shè)同軸線中通過的恒定電流為I，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。計算該同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。

解已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為

baOI02013年4月9日星期二電磁場與電磁波例2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度為

也可通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁場強度Ho

為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度2013年4月9日星期二電磁場與電磁波所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為此結(jié)果與前式完全相同。單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應(yīng)為，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長例2設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，導(dǎo)線匝數(shù)為N，請利用磁場能量公式計算長度為l的螺線管線圈的電感。N匝線圈例2設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，導(dǎo)線匝數(shù)2013年4月9日星期二電磁場與電磁波4.磁場力

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2

–r1r2r1已知式中的磁通密度B1為因此，B1對于整個回路l2的作用力F21為那么，由回路電流I1

產(chǎn)生的磁場B1對于電流元I2dl

的作用力dF21為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波4.磁場力dl2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

同理，回路電流I2產(chǎn)生的磁場B2對于整個回路l1的作用力F12

為上述兩式稱為安培定律。根據(jù)牛頓定律得知，應(yīng)該。如果回路形狀復(fù)雜，上述積分計算非常困難。

磁場力的計算也可采用虛位移方法，通過能量關(guān)系可以導(dǎo)出計算磁場力的公式。

直接利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計算磁場力的一般公式。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波同理2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場廣義力

F

的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為dWm

。下面分為兩種情況分別導(dǎo)出磁場力的計算公式。

兩個回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波設(shè)在電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

第一，若電流I1和I2

不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則磁場能量的增量為

兩個回路中外源作的功分別為

兩個回路中的外源作的總功dW為即求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F

為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第一，若電流2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為

由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不會產(chǎn)生新的電動勢，因而外源作的功為零，即磁場力的應(yīng)用比電場力更為廣泛，而且力量更強。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第二，若各回路2013年4月9日星期二電磁場與電磁波靜電場恒定磁場物理量介質(zhì)特性場方程式邊界條件能量密度力無旋無散有散有旋電場強度E磁通密度B電通密度D磁場強度H介電常數(shù)

磁導(dǎo)率

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波靜電場恒定磁場物理2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

例1

計算無限長的載流導(dǎo)線與矩形電流環(huán)之間的作用力。電流環(huán)的尺寸及位置如圖所示。abD0I1I2

解設(shè)位移過程中電流不變，則導(dǎo)線與電流環(huán)之間的相互作用力為式中又知得2013年4月9日星期二電磁場與電磁波例12013年4月9日星期二電磁場與電磁波

取廣義坐標(biāo)l

為間距D

，因L11

及L22

與D

無關(guān)，得又知互感M

為

求得式中的負號表明作用力的實際方向為間距D減小方向，即F

為吸引力。

若兩個電流之一的方向與圖示方向相反，則M為負，F(xiàn)>0，表明F

為排斥力。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波取廣義2013年4月9日星期二電磁場與電磁波例2

計算電磁鐵的吸引力。B0SIl

解鐵心可以當(dāng)作理想導(dǎo)磁體，鐵心中的磁場強度為零。氣隙中的磁通，得

可見，為了計算電磁鐵的吸引力，將系統(tǒng)當(dāng)作常磁通系統(tǒng)較為簡便。

磁場能量僅分布在兩個氣隙中，因此總磁能Wm

為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波例2計算電磁鐵的吸2013年4月9日星期二電磁場與電磁波最后求得式中的負號表明F

為吸引力。

可見，電磁鐵的吸力與磁鐵的橫截面面積及氣隙中磁通密度的平方成正比。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波最后求得式中的負號表明2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

磁場計算：假設(shè)非理想導(dǎo)磁體邊界條件：B=Bg2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場計2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)

作業(yè)：6-1,6-26-4，6-76-112013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)作2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)

主要內(nèi)容電磁感應(yīng)定律、自感與互感、磁場能量與力1.電磁感應(yīng)定律2.電感3.磁場能量4.磁場力2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章電磁感應(yīng)主產(chǎn)生的磁通密度為與電流I課件2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.電磁感應(yīng)定律

當(dāng)閉合線圈中的磁通隨時間變化時，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e

為

式中電動勢e

的正方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

當(dāng)磁通增加時，感應(yīng)電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

eI穿過曲面S的磁通量定義為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.電磁感應(yīng)定律2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。

感應(yīng)電場強度E沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動勢，即

又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。

eI2013年4月9日星期二電磁場與電磁波感應(yīng)電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波根據(jù)旋度定理，由上式得

該式對于任一回路面積S

均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點磁通密度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中的方程之一。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波根據(jù)旋度定理，由上式得2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2.電感

在線性介質(zhì)中，單個閉合回路電流產(chǎn)生的磁通密度與回路電流I成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H(亨)。

與回路電流

I交鏈的磁通稱為回路電流

I

的磁通鏈，以

表示。令

與I

的比值為L，即電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2.電感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，與回路中電流無關(guān)。

磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。

若交鏈N

次，則磁通鏈增加N

倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭邸Ｒ虼?，與N

匝回路電流I

交鏈的磁通鏈為

=N

。由N

匝回路組成的線圈的電感為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波單個回路的電感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.磁通與磁通鏈3.3.3電感C回路

磁通

磁通鏈CI電流回路特征：回路可以是任意幾何回路與所有電流回路鉸鏈的總磁通特征：回路是電流回路計入電流存在的所有回路每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通I2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1.磁通與磁通鏈32013年4月9日星期二電磁場與電磁波n:為磁場鉸鏈的電流與回路電流I之比（不一定為整數(shù)）

單匝線圈

多匝線圈CI細回路

粗導(dǎo)線回路iCIo粗回路

磁鏈計算o:外磁鏈；i

:內(nèi)磁鏈2013年4月9日星期二電磁場與電磁波n:為磁場鉸鏈的電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波稱為導(dǎo)體回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流和磁鏈的大小無關(guān)。

自感的特點：特征：磁通鏈?zhǔn)荌自已產(chǎn)生的iCIo粗回路2013年4月9日星期二電磁場與電磁波稱為導(dǎo)體回路C的自

約瑟·亨利于1830年在實驗中發(fā)現(xiàn)，一個線圈中的電流不但能夠在另一個線圈中感應(yīng)出另一個電流，而且也能夠在自身線圈中感應(yīng)出電流，線圈中的實際電流是原來的電流與感應(yīng)電流之和。前者表示互感，后者表示自感。邁克爾·法拉第于1834年獨立發(fā)現(xiàn)了自感現(xiàn)象，這次，亨利比法拉第在時間上搶先了一步。射頻集成電路（RFIC）中的電感約瑟·亨利于1830年在實驗中發(fā)現(xiàn)，一個2013年4月9日星期二電磁場與電磁波bcaO

例1

計算載有直流電流的同軸線單位長度內(nèi)的電感。

解設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖示。

在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路。

內(nèi)導(dǎo)體中的電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中的電流歸并為外邊電流。

IrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波bcaO例12013年4月9日星期二電磁場與電磁波同軸線單位長度的電感定義為

式中，I為同軸線中的電流；

是單位長度內(nèi)與電流

I

交鏈的磁通鏈。

該磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通密度Bo

為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波同軸線單位長度的電感定2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。

內(nèi)導(dǎo)體中的磁通密度Bi

為該磁場形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內(nèi)磁通

為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長度內(nèi)的外磁通為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該外磁通與電流I完2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

該部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中部分電流I

交鏈。因此，對于總電流I

來說，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應(yīng)為

求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場對總電流

I

提供的磁通鏈i

為bcaOIrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為(o+i)

。因此，同軸線的單位長度內(nèi)電感為式中第一項稱為外電感；第二項稱為內(nèi)電感。

當(dāng)同軸線傳輸電磁波時，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通均可忽略，同軸線單位長度內(nèi)的電感等于外電感，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，與總電流I交2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

解：由安培環(huán)路定理，得單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波解：由安培環(huán)路例題1設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，求長度為l的螺線管線圈的電感。

設(shè)螺線管由N匝線圈構(gòu)成，單位長度的線圈匝數(shù)為

無限長螺線管產(chǎn)生的磁場為例題1設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，求長度

磁通鏈為

由此可得

考慮到

結(jié)果可得磁通鏈為由此可得例題2設(shè)圓環(huán)線圈的橫截面為矩形，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，高度為d，求該環(huán)形線圈的電感。N匝線圈

匝數(shù)為N的環(huán)形線圈所產(chǎn)生的磁場為例題2設(shè)圓環(huán)線圈的橫截面為矩形，內(nèi)半徑為a，外半徑如果圓環(huán)的半徑很大，可得如下近似結(jié)果圓環(huán)平均半徑圓環(huán)橫截面的面積如果圓環(huán)的半徑很大，可得如下近似結(jié)果圓環(huán)平均半徑圓環(huán)橫截面的電磁場與電磁波求雙線傳輸線長度為l的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距離D>>a,如圖所示解：由得二導(dǎo)線在x處產(chǎn)生的磁場分別為總的磁感應(yīng)強度外自感為內(nèi)自感為總自感為電磁場與電磁波求雙線傳輸線長度為l的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

與I1交鏈的磁通鏈由兩部分磁通形成，其一是I1本身的磁通形成的磁通鏈11

，另一是I2

在回路l1中的磁通形成的磁通鏈12

。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流

l1

交鏈的磁通鏈1為同理，與電流I2交鏈的磁通鏈2為互感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波與I12013年4月9日星期二電磁場與電磁波

在線性介質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路

l2

對

l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。

令2013年4月9日星期二電磁場與電磁波在線性介質(zhì)中，2013年4月9日星期二電磁場與電磁波將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21

代入前式，得可以證明，任意兩個回路之間的互感公式為（見后面推導(dǎo)）

考慮到，由上兩式可見2013年4月9日星期二電磁場與電磁波將上述參數(shù)L11，L2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁通密度B通過某一表面S的通量稱為磁通：（1）矢量磁位：由上兩個公式可以得到（電流I1在回路l2中產(chǎn)生的磁通鏈）：A1為電流I1在回路l2所在處產(chǎn)生的矢量磁位，因此：（3）（2）將公式（3）代入公式（1），得：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁通密度B通過某一表面2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

在電子電路中，若要增強兩個線圈的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個線圈的耦合，則應(yīng)相互垂直?；ジ锌烧韶?，但電感始終為正值。

若互磁通與原磁通方向相同，則磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若兩者方向相反，則磁通鏈減少，互感為負值。若處處，則互感。若處處，則互感M

最大。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波在2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

例1

計算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍介質(zhì)為真空，如圖所示。abdrrD0I1I2zS2

解建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流

I1一致，則I1產(chǎn)生的磁通密度為

與電流I2交鏈的磁通鏈21

為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波例12013年4月9日星期二電磁場與電磁波求得

若電流I2為逆時針方向時，則B1與dS

反向，

M21

為負。

若電流I2為如圖所示的順時針方向，則dS

與B1方向相同。那么abdrrD0I1I2zS2但在任何線性介質(zhì)中2013年4月9日星期二電磁場與電磁波求得2013年4月9日星期二電磁場與電磁波3.磁場能量

若加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動勢，外源必須作功。

若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在磁場中。

根據(jù)在建立磁場過程中外源作的功即可計算磁場能量。eIB2013年4月9日星期二電磁場與電磁波3.磁場能量2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

設(shè)單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值

I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值

。反電動勢為eIB

為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓。即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波設(shè)單個2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

若時刻t

回路中的電流為i(t)

，則此時刻回路中的瞬時功率為在dt時間內(nèi)外源作的功為

單個回路的磁通鏈與電流的關(guān)系為。

那么，在線性介質(zhì)中，求得dt

時間內(nèi)外源作的功為

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若時刻2013年4月9日星期二電磁場與電磁波當(dāng)回路電流增至最終值I時，外源作的總功

W

為

因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌龅哪芰?。若以Wm

表示磁場能量，那么上式又可改寫為利用此式計算電感十分方便。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波當(dāng)回路電流增至最終值2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

考慮到，則單個回路電流的磁場能量又可表示為式中，

為與電流

I

交鏈的磁通鏈。

對于N個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢地增加到最終值。

已知各回路磁通鏈與其電流之間的關(guān)系是線性的，第j

個回路的磁通鏈j

為式中Ij

為電流最終值。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波考慮到2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第j個回路在時刻t

的電流為在dt

時間內(nèi)，外源在

N

個回路中作的功為那么，在同一時刻該回路的磁通鏈為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第j個回路在時刻2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，具有最終值電流的N

個回路產(chǎn)生的磁場能量為

當(dāng)各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功

W

為

若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算N個回路共同產(chǎn)生的磁場能量。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，具有最終值電流的2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

已知回路磁通可用矢量磁位

A表示為，因此第

j

個回路的磁通鏈可用矢量磁位A表示為那么，N個回路的磁場能量又可用矢量磁位表示為式中A

為周圍回路電流在第j

個回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

若電流分布在體積V中，電流密度為J，已知，則上式變?yōu)轶w積分，此時磁場能量可以表示為式中V

為體電流所占據(jù)的體積。對于面電流，則產(chǎn)生的磁場能量為式中S

為面電流所在的面積。

2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若電2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁能密度

利用矢量恒等式，上式又可寫為若將積分區(qū)域擴大到無限遠處，上式仍然成立。已知，代入，得式中，V

為電流所在的區(qū)域。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁能密度2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

令S

為半徑無限大的球面，則由散度定理知，上式第一項的當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時，，，因此考慮到，求得上式中的被積函數(shù)即是磁場密度。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波令S2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若以小寫字母wm

表示磁能密度，則

已知各向同性的線性介質(zhì)，，因此磁場能量密度又可表示為

可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量不符合疊加原理。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若以小寫字母wm表2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場和電場的能量計算方法單個回路：N

個回路：分布電流：磁能密度：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場和電場的能量計算方2013年4月9日星期二電磁場與電磁波

例設(shè)同軸線中通過的恒定電流為I，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。計算該同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。

解已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為

baOI02013年4月9日星期二電磁場與電磁波例2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度為

也可通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁場強度Ho

為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度2013年4月9日星期二電磁場與電磁波所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為此結(jié)果與前式完全相同。單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應(yīng)為，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長例2設(shè)螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應(yīng)，導(dǎo)線匝數(shù)為N，請利用磁場能量公式計算長度為l的螺線管線圈的電