中考數(shù)學(xué)壓軸題隱形圓及最值問(wèn)題

專題18隱形圓及最值問(wèn)題本文主要從以下四個(gè)方面去介紹：一、從圓的定義構(gòu)造圓（折疊類問(wèn)題）二、定邊對(duì)直角三、定邊對(duì)定角四、四點(diǎn)共圓一、從圓的定義構(gòu)造圓（折疊類問(wèn)題）圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．構(gòu)造思路：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓?。?、幾個(gè)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)距離相等可用圓（定點(diǎn)為圓心，相等距離為半徑）例：如圖，若AB＝OA＝OB＝OC，則∠ACB的大小是_______例：如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為__________2、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離保持不變的可用圓（先確定定點(diǎn)，定點(diǎn)為圓心，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑）例：木桿AB斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)．下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)P隨之下落的路線，其中正確的是（）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是．二、定邊對(duì)直角知識(shí)回顧：直徑所對(duì)的圓周角是直角．構(gòu)造思路：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。畧D形釋義：例：若AB是一條定線段，且∠APB=90°，則P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過(guò)程中，線段的最小值是（）A．1 B． C．2 D．例：如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A．π B．π C．π D．2π三、定邊對(duì)定角在“定邊對(duì)直角”問(wèn)題中，依據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，關(guān)鍵性在于尋找定邊、直角，而根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相．定邊必不可少，而直角則可一般為定角．例如，AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．例：（2018?日照）如圖，已知點(diǎn)，，在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點(diǎn)，使面積為1；（3）在軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．四、四點(diǎn)共圓若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D在以AD中點(diǎn)E為圓心、EA長(zhǎng)為半徑的圓上（可證）．若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D在以AC中點(diǎn)E為圓心、EA為半徑的圓上（可證）．若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證明條件：線段同側(cè)張角相等．若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證明條件：1．四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2．四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角．兩條線段被一點(diǎn)分成（內(nèi)分或外分）兩段長(zhǎng)的乘積相等，則這兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)共圓．四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于H，若，則四點(diǎn)共圓.四邊形ABCD的對(duì)邊BA、CD的延長(zhǎng)線交于P，若，則四點(diǎn)共圓.如圖1，在四邊形ABCD中，，，，，則______________．（2）如圖2，在的邊AB、AC上分別取點(diǎn)Q、P，使得．求證：．圖1圖2例：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（）A．2 B．π C．2π D．π圓中最值問(wèn)題方法總結(jié)：圓中求最值的方法：(在圓中，注意圓的半徑長(zhǎng)為定值，要圍繞半徑構(gòu)造模型解題)

①結(jié)合半徑，利用垂線段最短直接構(gòu)造直角三角形求解，如T1，T2；②根據(jù)圓的對(duì)稱性，將線段轉(zhuǎn)換到一起，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求解，如T3，T10；

③利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦求解，如T5；

④尋找隱含條件(如中位線、直角三角形斜邊上的中線等)，構(gòu)造直角三角形或隱圓解題，如T6，T9.

1．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2，的半徑為1，是上的動(dòng)點(diǎn)，與相切于，的最小值是A．1 B． C． D．22．如圖，在中，弦，點(diǎn)在上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的最大值為．3．如圖點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)這一側(cè)），點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若半徑為3，則的最小值為．4．如圖，是的內(nèi)接三角形，且是的直徑，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且，的半徑為6，則點(diǎn)到距離的最大值是．5．如圖，是的弦，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的最大值是．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以點(diǎn)為圓心的圓與軸相切．點(diǎn)、在軸上，且．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，，則長(zhǎng)度的最大值為．7．已知點(diǎn)是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)且半徑為3的圓上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的面積的最大值為．8．如圖，已知的半徑為，點(diǎn)為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)任作一直線，若上總存在點(diǎn)，使過(guò)所作的的兩切線互相垂直，則的最大值等