《周期變化》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】

第一章三角函數(shù)1.1周期變化教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過生活實例及部分呈周期變化的函數(shù)，得到周期函數(shù)及周期、最小正周期的概念，并能認識三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型．2.對周期變化的函數(shù)有初步的了解與認識，能夠用數(shù)學(xué)刻畫生活中的周期變化，用數(shù)學(xué)的觀點和從數(shù)學(xué)的角度認識實際問題．教學(xué)重難點教學(xué)重難點重點：周期函數(shù)及周期的概念．難點：識別身邊的周期現(xiàn)象，并用周期函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象．教學(xué)過程教學(xué)過程新課導(dǎo)入“日升日落，四季更迭，東去春來，草木榮枯，”這些現(xiàn)象有什么共同特征呢？（重復(fù)出現(xiàn)、循環(huán)往復(fù)；周而復(fù)始，始而復(fù)周的周期變化）二、新知探究問題1：在日常生活或是自然界中，你感受到了哪些周期變化的實例？請舉例說明，并交流周期變化有哪些特征？答案：海水會發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜的時間里，潮水會漲落兩次，這是一種周期變化；鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù)，這也是一種周期變化．周期變化是每隔一段時間就重復(fù)出現(xiàn)的變化．問題２：我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度刻畫周期變化呢？例１：討論函數(shù)f(x)=(-1)[x]的圖象和性質(zhì)．追問１：函數(shù)y=[x]是怎樣的函數(shù)？答案：對于每一個實數(shù)x，其函數(shù)值y=[x]是不超過x的最大整數(shù)，它不是偶數(shù)就是奇數(shù)．追問２：做出函數(shù)f(x)=(-1)[x]的圖象：答案：根據(jù)初中學(xué)習(xí)的幕運算，可以推出：當(dāng)[x]是偶數(shù)時，函數(shù)f(x)=(-1)[x]的值是1；當(dāng)[x]是奇數(shù)時，函數(shù)f(x)=(-1)[x]的值是-1．作出函數(shù)圖象如下：追問３：根據(jù)圖象，討論函數(shù)f(x)=(-1)[x]的性質(zhì)．答案：顯然，對于任意一個實數(shù)x，每增加2的整數(shù)倍，其函數(shù)值保持不變，也就是說，在相同的“間隔”下，這種變化是重復(fù)進行的，所以函數(shù)f(x)=(-1)[x]變化是周期性的．例2：討論函數(shù)f(x)=x-[x]，畫出它的圖象，并觀察其性質(zhì)．追問４：作出函數(shù)f(x)=x-[x]的圖象．答案：函數(shù)f(x)=x-[x]的意思是一個數(shù)減去它的整數(shù)部分，只保留其小數(shù)部分，清楚這個意思，就很容易畫出它的圖象了．追問５：從圖中得到函數(shù)f(x)=x-[x]的哪些性質(zhì)?答案：觀察圖像，可以得到，對任意一個實數(shù)x，每增加1的整數(shù)倍，其函數(shù)值保持不變，也就是說，在相同的“間隔”下，這種變化是重復(fù)進行的，所以該函數(shù)的變化也是一種周期變化．問題３：函數(shù)f(x)=x-[x]與函數(shù)f(x)=(-1)[x]的共同特點是什么？答案：都具有周期變化的特點．（都為周期函數(shù)）【概念提煉】周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)y=f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x+T∈D且滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期．問題４：如何理解概念中的“任意”？答案：周期函數(shù)定義中的“f(x+T)=f(x)”是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x)，不能說T是y=f(x)的周期．追問１：周期函數(shù)的周期是否只有一個?答案：不是，比如對于例1中的函數(shù)f(x)=(-1)[x]來說，任何一個非零偶數(shù)都是它的周期．對于例2中的函數(shù)f(x)=x-[x]來說，任何一個非零整數(shù)都是它的周期．周期函數(shù)定義的實質(zhì)：存在一個非零常數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意x，均有f(x+kT)=f(x)，其中k∈Z，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復(fù)出現(xiàn)一次．追問２：既然周期不唯一，如何選取某一個周期作為代表來表征函數(shù)的周期呢？【概念提煉】最小正周期：如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期．若不加特別說明，本書所指周期均為函數(shù)的最小正周期．【概念辨析】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)若函數(shù)f(x)滿足f(0)=f(5)=f(10)，則它的周期T=5．()(2)若函數(shù)f(x)的周期T=5，則f(-5)=f(0)=f(5)．()(3)若函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=f(x)，則f(2020)=0．()答案(1)×(2)√(3)√應(yīng)用舉例例3.討論函數(shù)y=7+-1n分析：當(dāng)給n∈解：當(dāng)n∈N可見它是周期函數(shù)，且周期T=2．例4.若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x+2019)=-f(x+2020)，求函數(shù)f(x)的周期．分析：周期函數(shù)的代數(shù)特點f(x+T)=f(x)，如何將f(x+2019)=-f(x+2020)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為f(x+b)=f(x)？處理障礙1：負號變正；處理障礙2：找到常數(shù)T．解析：由f(x+2019)=-f(x+2020)得f(x+2019)=-f(x+2019+1)令x+2019=t，即f(t+1)=-f(t)所以f(t+2)=f(t)，即函數(shù)f(x)的周期是2．【變式】若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足fx+2=-1答案：由f(x+2)=1fx，得f設(shè)計意圖：通過例題1和變式訓(xùn)練，進一步熟悉周期函數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)特點，并能從題干所給條件轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)需具備的結(jié)構(gòu).思考總結(jié)：函數(shù)周期性的常用結(jié)論（1）若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)f(x)的周期T（2）若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足fx+a=-f(x)，則函數(shù)f(x)（3）若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=1f(x)，則函數(shù)f(x)（4）若對任意x∈R，函數(shù)f(x)滿足fx+a=-1f(x)答案：四個思考題答案均為T=2a（請三位學(xué)生推導(dǎo)完整過程并板（2）、（3）、（4），最后教師總結(jié)）例５．設(shè)定義在R上的數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)=2x-x2，則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=．解：由f(x+2)=f(x)，得函數(shù)f(x)的周期T=2，又當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)=2x-x2，所以f(0)=0，f(1)=1，所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2018)=0，f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2017)=1．故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009．反思：函數(shù)周期性利用——由局部性質(zhì)得到整體性質(zhì)．【變式】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(3)，且f(x)為偶函數(shù)，若f(1)＜1，f5=2a-3a+1解析：由f(x)為定義在R上的周期為3的偶函數(shù)得f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)．由f(1)＜1，f5得f5解得-1＜a＜4．四、課堂練習(xí)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2，則f(8)-f(4)的值為()．A.-1 B.1 C.-2 D.22.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+2)，當(dāng)x∈(0，2]時，f(x)=2x+log2x則f(2019)=()．A.5 B.-5 C.2 D.-2十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下:1min亮綠燈，接著10s亮黃燈，再接著1min亮紅燈，10s亮黃燈，1min亮綠燈……剛開始亮綠燈時，某人過路口，10min后又回到此路口，此時應(yīng)該亮燈.

已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=2x(1-x)，則f(-2.5)=．參考答案：由于f(x)的周期為5，且為奇函數(shù)，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．答案：A．由f(x)=-f(x+2)，得f(x+4)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2．答案：D．３．紅綠燈的亮滅以140s為一個周期，600=140×4+40，所以是綠燈．答案：綠燈．f(-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5．答案0.5．五、課堂小結(jié)1.周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x+T∈D且滿足f(x+T)