研統(tǒng)計抽樣誤差分布

概念：頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩側基本對稱，靠近均數(shù)兩側頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠，頻數(shù)愈少，形成一個中間多，兩側逐漸減少的對稱分布。是一種連續(xù)型分布。又稱高斯分布。高斯(JohannCarlFriedrichGauss，生于1777年4月30日于不倫瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德國著名數(shù)學家、天文學家、大地測量學家、物理學家。被認為是最重要的數(shù)學家，并有數(shù)學王子的美譽。正態(tài)分布(normaldistribution)正態(tài)分布用N(μ,)表示，其位置與均數(shù)有關，形狀與標準差有關。醫(yī)學現(xiàn)象許多呈正態(tài)分布，或近似正態(tài)分布：如正常人的生理，生化指標變量，等從直方圖到正態(tài)曲線的過渡對稱分布正（右）偏分布負（左）偏分布幾種常見的頻數(shù)分布正態(tài)分布之所以重要,三個主要原因:1.正態(tài)分布在分析上較易處理。2.正態(tài)分布之概率密度函數(shù)（p.d.f.，probabilitydensityfunction）的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),對稱,很適合當做不少事件之機率模式。3.正態(tài)分布可當做不少大樣本的近似分布。正態(tài)分布的密度函數(shù)：式中μ為均數(shù)；σ為標準差；π為圓周率；е為自然對數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅x為變量。標準正態(tài)分布:為了應用方便，常將式進行變量變換，即：u變換.所得到的新變量u的分布即為標準正態(tài)分布。u的含義：變量到均數(shù)間的距離相當于標準差的倍數(shù)。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：u變換換后后，，μ=0，σ=1，使使原原來來的的正正態(tài)態(tài)分分布布變變換換為為標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布（（standardnormaldistribution）亦亦稱稱u分布布。。標準準正正態(tài)態(tài)分分布布N(0,1).正態(tài)態(tài)分分布布的的特特征征和和分分布布規(guī)規(guī)律律：：（1）曲曲線線在在x軸的的上上方方，，與與x軸不不相相交交，，當當x=μμ時，，曲曲線線位位于于最最高高點點。。f(u=0)=0.3989（2）曲曲線線關關于于直直線線x=μμ左右右對對稱稱。。（3）正正態(tài)態(tài)分分布布有有兩兩個個參參數(shù)數(shù):均數(shù)數(shù),標準準差差;標準準正正態(tài)態(tài)的的參參數(shù)數(shù)分分別別為為:0,1（4）正正態(tài)態(tài)分分布布的的面面積積分分布布有有一一定定規(guī)規(guī)律律。。正態(tài)態(tài)曲曲線線下下面面積積的的分分布布規(guī)規(guī)律律正態(tài)態(tài)曲曲線線下下，，橫軸軸上上一一定定區(qū)區(qū)間間的的面面積積,等于于該該區(qū)區(qū)間間的的頻頻數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)生生的的概概率率（（即即所所有有隨隨機機事事件件發(fā)發(fā)生生的的概概率率））。面面積積可可用用積積分分求求得得。。F(x)為正正態(tài)態(tài)變變量量X的累累積積分分布布函函數(shù)數(shù)，，反反映映正正態(tài)態(tài)曲曲線線下下，，自-到x的面面積積，，即即左左側側累累積積面面積積。統(tǒng)計計學學家家已已經(jīng)經(jīng)按按編編成成了了附附表表，，標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線下下的的面面積積。。應應用用時時注注意意：：（1）當總體μ，σ已知時，先計計算u值，再用u值查表，得出出所求區(qū)間面面積占總面積積的比例。如如果未知，常常分別用樣本本均數(shù)和樣本本標準差來估估計。（2）曲線下對稱稱于0的區(qū)間，面積積相等。如：：區(qū)間（-，-2.58）與區(qū)間（2.58，））的面積積相等。（3）曲線下橫軸軸上的總面積積為100%或為1。根據(jù)后兩個特特征，可計算算右側累積面面積。正態(tài)分布標準正態(tài)分布面積(或概率)μ-1σ__μ+1σ-1__+168.27%μ–1.96σ__μ+1.96σ-1.96__+1.9695.00%μ–2.58σ__μ+2.58σ-2.58__+2.5899.00%正態(tài)分布和標標準正態(tài)分布布曲線下面積積分布規(guī)律（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%雙側概率單側概率正態(tài)曲線下面面積的分布規(guī)規(guī)律的應用：：一、確定醫(yī)學學參考值范圍圍意義:是正常人指標標測定值的波波動范圍，可可用于劃分正正常，或異常常。步驟：1、抽樣2、控制測量誤誤差3、取單側或雙雙側4、選定合適的的百分界限5、資料正態(tài)性性檢驗6、進行參考值值估計常用方法：正態(tài)分布法，，對數(shù)正態(tài)分分布法，百分分位數(shù)法95%正常值范圍的的估計適用對象雙側界限單側上界單側下界正態(tài)分布法正態(tài)、近似正態(tài)對數(shù)正態(tài)法對數(shù)正態(tài)、近似正態(tài)百分位數(shù)法偏態(tài)正常值范圍的的上下限單側下限單側上限雙側界限例：用正態(tài)分分布法求血糖糖值95%的參考值范圍圍。解：1、求樣本的均數(shù)4.653、標準差0.401。2、按照雙側95%范圍，確定參參考值范圍為為：3、將樣本的均均數(shù)、標準差差數(shù)值代入計計算，得出范范圍。對數(shù)正態(tài)分布布(lognormaldistribution)：很多醫(yī)學資料料呈偏態(tài)分布布，經(jīng)過對數(shù)數(shù)變換（用原原始數(shù)據(jù)的對對數(shù)值lgx代替x)后，服從正態(tài)態(tài)分布，就說說x服從對數(shù)正態(tài)態(tài)分布。如：環(huán)境中若若干有害物質(zhì)質(zhì)的濃度，食食品中有些農(nóng)農(nóng)藥的殘留量量，某些臨床床檢驗結果，，某些疾病的的潛伏期，醫(yī)醫(yī)院病人的住住院天數(shù)，都都呈偏態(tài)分布布。但對數(shù)轉轉換后，為正正態(tài)分布。按按照正態(tài)分布布規(guī)律處理。。例題某市某年調(diào)查查200例正常人血鉛鉛含量（ug/100g,雙硫腙分光比比色法），試試估計血鉛值值的95%上限。資料服從對數(shù)數(shù)正態(tài)分布，，求血鉛對數(shù)數(shù)值的均數(shù)，，標準差。二、確定概率率分布：例：某市2000年110名7歲男童身高，，已知均數(shù)=119.95厘米，標準差差S=4.72厘米，估計：：該地7歲男童身高在在110厘米以下者占占該地7歲男童總數(shù)的的百分數(shù)。按：求u值，查表：找到-2.1，上方找到0.01，二者相交處處為0.0174，概率為0.0174=1.74%，即該地7歲男童身高在在110厘米以下者，，估計占1.74%，不到2%。三、質(zhì)量控制制：實驗中，常以以作作為上下警戒戒值，以作作為為上下控制值值。正態(tài)分布是很很多統(tǒng)計方法法的理論基礎礎均數(shù)的抽樣誤誤差，t分布，參數(shù)估估計Samplingerrorofmean，t-distribution，parameters’’estimation一、均數(shù)的抽抽樣誤差和標標準誤均數(shù)的抽樣誤誤差samplingerrorofmean由于總體中存存在個體變異異，抽樣研究究中所抽取的的樣本，只包包含總體中一一部分個體，，因而樣本均均數(shù)（或率））往往不等于于總體均數(shù)（（或率），樣樣本均數(shù)之間間也互不相等等，這種由抽樣引引起的差異稱稱為均數(shù)的抽抽樣誤差的體體現(xiàn)。即：如何估計抽樣樣誤差？標準誤standarderror，SE以樣本均數(shù)為為例：SE越大，均數(shù)的的抽樣誤差越越大，樣本均均數(shù)與總體均均數(shù)間的差異異越大。當樣本例數(shù)一一定時，樣本本均數(shù)的標準準誤與原始數(shù)數(shù)據(jù)的標準差差成正比；當當標準差一定定時，標準誤誤與樣本含量量n的平方根成反反比。增加樣樣本含量可以以減小抽樣誤誤差。與標準差的區(qū)區(qū)別：標準差：表示示一般個體值值的離散程度度；標準誤：特別別說明統(tǒng)計量量的離散程度度。標準誤的應用用1、用來衡量抽抽樣誤差的大大小:標準誤越小，，樣本均數(shù)與與總體均數(shù)越越接近，樣本本均數(shù)的可信信度越高；2、結合標準正正態(tài)分布與t分布曲線下的的面積規(guī)律，，估計總體均均數(shù)的置信區(qū)區(qū)間。3、用于假設檢檢驗。假定2003年汕頭市15歲女學生的身身高服從均數(shù)數(shù)155.4cm、標準差5.3cm的正態(tài)分布。。用計算機做做抽樣模擬試試驗，從N(155.4,5.32)的總體中，每每次抽出10個數(shù)字（樣本本含量為10），組成一個個樣本，求出出樣本均數(shù)、、樣本本標準差S。再再求得得此100個樣本本均數(shù)數(shù)的均均數(shù)、、樣本本均數(shù)數(shù)的標標準差差。抽樣分分布樣本均均數(shù)的的標準準差是是什么么？……..標準誤誤100個樣本本均數(shù)數(shù)構成成一個個新的的分布布，也也是正態(tài)分分布。。即使原原分布布為偏偏態(tài)分分布，，當樣樣本含含量足足夠大大時，，新分分布也也近似正正態(tài)分分布）。新新分布布的集集中趨趨勢用用均數(shù)的的均數(shù)數(shù)來表示示，離離散趨趨勢用用標準誤誤表示N(,)。各樣本本均數(shù)數(shù)的均均數(shù)等等于總總體均均數(shù)。正態(tài)總總體中中抽樣樣（樣樣本量量5）正態(tài)總總體中中抽樣樣（樣樣本量量10）正態(tài)總總體中中抽樣樣（樣樣本量量30）抽樣時時樣本本量大大小決決定了了樣本本均數(shù)數(shù)分布布的形形狀，，當樣樣本量量足夠夠大時時，均均數(shù)分分布趨趨向正正態(tài)分分布。。二、t分布（（t-distribution)還記得得嗎？？u轉換將將正態(tài)態(tài)分布布轉換換為標標準正正態(tài),N(0,1)。同理：：將樣樣本均均數(shù)的的分布布也可可以轉轉換為為標準準正態(tài)態(tài)分布布。。即：實際工工作中中，總總體標標準差差往往往未知知，常常用S代替σ計算標標準誤誤，因因此：：為了了和u分布區(qū)區(qū)別，，就變變?yōu)椋海壕鶖?shù)的的分布布也是是這樣樣如果我我們采采用另另一個個正態(tài)態(tài)變量量:于是，，均數(shù)數(shù)的分分布變變成了了標準準正態(tài)態(tài)分布布:但是，，條件件發(fā)生生了變變化我們通通常用用代代替替然而，，隨著樣樣本量量的變變化而而變化化，所所以，，我們們稱之之為t-分布，，雖然然它是是正態(tài)態(tài)分布布，但但只有有當樣樣本量量（自自由度度）無無窮大大的時時候，，它才才是標標準正正態(tài)分分布，，此時時，u=tt分布曲曲線t分布是是一簇簇對稱于于0的單峰峰分布布曲線線。自由度度越小?。ㄏ嘞喈斢谟跇藴蕼什畲蟠螅?，，曲線線的中中間越越低，，兩邊邊越高高；隨隨自由由度增增大，，t分布曲曲線逐逐漸逼逼近于于標準準正態(tài)態(tài)分布布曲線線。當自由由度無無窮大大時，，t分布就就是標標準正正態(tài)分分布曲曲線。。每一條條t分布曲曲線，，都對對應于于相應應的自自由度度。t分布模模擬試試驗t分布曲曲線下下的面面積規(guī)規(guī)律與標準準正態(tài)態(tài)曲線線下的的面積積規(guī)律律相似似：在某一一個自自由度度下，，兩側側外部部總面面積為為5%的界限限的t值稱為為t0.05/2(υ),把兩側側外部部總面面積為為1%的界限限的t值稱為為t0.01/2(υ)。因此，，中部部占95%面積的的t值范圍圍：t0.05/2(υ)--t0.05/2(υ),中部占占99%面積的的t值范圍圍：-t0.01/2(υ)--t0.01/2(υ)。當自由由度確確定時時，占占一定定面積積的t界限值值，可可以查查表得得出。。例如：：查當當自由由度=20，兩側側概率率之和和為0.05時，對對應的的t值：t0.05/2（20）=±2.086，單側概概率為為0.05時，對對應的的t值：t0.05（20）=1.725，一般，，t0.05/2（v）≥1.96，t0.01/2（v）≥2.58自由由度度越越小小，，曲曲線線越越低低平平，，t比1.96，2.58大的的多多；；自自由由度度變變大大，，t接近近于于1.96，2.58；自自由由度度無無窮窮大大，，t=1.96，2.58使用用t值表表注注意意：：同一一自自由由度度下下,P越小小，，t值越越大大；；P值相相同同時時，，自自由由度度越越大大，，t越小小；；當當自自由由度度無無窮窮大大時時，，t值與與u值相相等等。。這這也也是是u分布布與與t分布布的的區(qū)區(qū)別別。。t分布布的的主主要要應應用用：：總體體均均數(shù)數(shù)置置信信區(qū)區(qū)間間估估計計；；t檢驗驗；；三、、總總體體均均數(shù)數(shù)置置信信區(qū)區(qū)間間的的估估計計統(tǒng)計計推推斷斷：：參參數(shù)數(shù)估估計計，，假假設設檢檢驗驗參數(shù)數(shù)估估計計：：點估估計計（（pointestimation):用樣樣本本統(tǒng)統(tǒng)計計量量作作為為對對總總體體參參數(shù)數(shù)的的估估計計值值(μμ)。比比如如均均數(shù)數(shù)的的估估計計。。區(qū)間間估估計計(intervalestimation)：根根據(jù)據(jù)選選定定的的置置信信度度估估計計總總體體均均數(shù)數(shù)所所在在的的區(qū)區(qū)間間（（a<μμ<b).a,b為置置信信限限（（可可信信限限））。。置信信度度（（confidencelevel):在估估計計總總體體均均數(shù)數(shù)的的置置信信區(qū)區(qū)間間時時，，如如果果可可能能估估計計錯錯誤誤的的概概率率為為α，那那么么估估計計正正確確的的概概率率為為1-αα,即為為置置信信度度.常用用:95%,99%.置信信區(qū)區(qū)間間（（confidenceinterval,CI)根據(jù)據(jù)置置信信度度估估計計得得到到的的區(qū)區(qū)間間，，稱稱為為置置信信區(qū)區(qū)間間。。為何何要要進進行行區(qū)區(qū)間間估估計計？？點估估計計，，即即用用樣樣本本均均數(shù)數(shù)來來估估計計總總體體均均數(shù)數(shù)，，簡簡單單易易行行，，但但未未考考慮慮抽抽樣樣誤誤差差，，而而后后者者又又是是不不可可避避免免的的。。故故常常按按照照一一定定的的概概率率估估計計總總體體均均數(shù)數(shù)在在哪哪個個范范圍圍。。如何何進進行行區(qū)區(qū)間間估估計計？？1、總總體體標標準準差差已已知知參照照u分布布，，95%置信信區(qū)區(qū)間間：：99%置信信區(qū)區(qū)間間：：2、總總體體標標準準差差未未知知，，樣樣本本例例數(shù)數(shù)(>50)足夠夠大大也可可參參考考u分布布進進行行95%置信信區(qū)區(qū)間間：：99%置信信區(qū)區(qū)