材料力學(xué)-第12章-應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論課件

第12章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論12.1引言

12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析

12.4廣義胡克定律

12.5彈性應(yīng)變能的概念

12.6強度理論及其應(yīng)用

第12章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論12.1引言

12.2平12.1引言一、概述FNmaxs=sCmaxtTCMmaxsmaxsC截面應(yīng)力強度條件][maxtt≤][maxss≤][maxss≤1.回顧：簡單受力情況下的強度條件的建立12.1引言一、概述FNmaxs=sCmaxtTCMmax12.1引言s強度條件2.問題：復(fù)雜受力情況下的強度條件該如何建立？MF][maxss≤？

][maxtt≤？

t顯然簡單受力情況下的強度條件不能應(yīng)用于復(fù)雜受力情況。12.1引言s強度條件2.問題：復(fù)雜受力情況下的強度條件12.1引言FFmmnnFnnkmmFk二、應(yīng)力狀態(tài)12.1引言FFmmnnFnnkmmFk二、應(yīng)力狀態(tài)12.1引言變性固體內(nèi)一點處所有方向的微面上的應(yīng)力的集合稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。確定受力構(gòu)件內(nèi)危險截面上的危險點的危險方向，為復(fù)雜受力情況下的強度條件的建立打下基礎(chǔ)。三、研究應(yīng)力狀態(tài)的目的四、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法—單元體法1.單元體：無限微小的正六面體。xyzxyxzxyzyxyzzxzy2.單元體的特點12.1引言變性固體內(nèi)一點處所有方向的微面上的應(yīng)力12.1引言微面上應(yīng)力均勻分布；平行微面上應(yīng)力相同。3.空間單元體xyzxyzxyzxyzxyxzxyzyxyzzxzy4.平面單元體xyzxyxyyxxyxy五、應(yīng)力狀態(tài)分類1.主平面：切應(yīng)力為零的平面。12.1引言微面上應(yīng)力均勻分布；3.空間單元體xy12.1引言2.主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。一點的應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列：3.主單元體：三對正交微面都是主平面的單元體。1234.應(yīng)力狀態(tài)分類

（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中，有兩個等于零，一個不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。FF12.1引言2.主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。12.1引言

（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中，有一個等于零，另外兩個不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。ABFxyxxxy

（3）三向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。yxz12.1引言（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中12.1引言六、應(yīng)力狀態(tài)分析舉例例12.1直角折拐，試用單元體表式危險點的應(yīng)力狀態(tài)。FlaABC12.1引言六、應(yīng)力狀態(tài)分析舉例例12.1直角折拐，試12.1引言MeF解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析，確定危險截面MxFlTMex固定端所在的A截面為危險截面。(3)應(yīng)力分析，確定危險點A12.1引言MeF解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析12.1引言xzy4321A截面12.1引言xzy4321A截面12.1引言yxzFsT4321yzFM12.1引言yxzFsT4321yzFM12.1引言yxzFsT4321143134M12.1引言yxzFsT4321143134M12.1引言F例12.2矩形截面簡支梁，試用單元體表式各點的應(yīng)力狀態(tài)。mmCDEbh解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析畫內(nèi)力圖(3)應(yīng)力分析FAFBABMxFl/4FSxF/2F/2st12.1引言F例12.2矩形截面簡支梁，試用單元體表式12.1引言CCDDEFmmCDEFAFBAB12.1引言CCDDEFmmCDEFAFBAB12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、符號規(guī)定xxxyyynyxxyzxyxyyx1.正應(yīng)力：拉為正；2.切應(yīng)力：順剪為正；3.方位角：逆轉(zhuǎn)為正。二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、符號規(guī)定xxxyyy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1.斜截面上的應(yīng)力xxyyxxxyyyntyxyxyxxyyx12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1.斜截面上的應(yīng)力xxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析同理，由得：任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析同理，由12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.3薄壁圓筒受力如圖所示。已知F=20kN，Me=600N?m，橫截面A=314mm2，WP=7854mm3。試用解析法求B點處指定斜微面上的應(yīng)力。Me

Me

30°

F

F

B120°解：

B點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，微面上的應(yīng)力：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.3薄壁圓筒受力如圖所示12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

大家可以用解析的方法進一步分析一點處的正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，下面用圖解法可以直觀地得到這些極值結(jié)果。三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為1.應(yīng)力圓12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析大家可以用解析的方12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將第一式移項后兩邊平方12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析得：取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的切應(yīng)力，則上式為一圓方程。xxxyyyntyxr圓心坐標(biāo)為半徑為12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析得：取橫軸為斜截面12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析2.應(yīng)力圓的繪制xxxyyyntyx（1）

由x截面上的應(yīng)力確定Ax（x，xy）點；AxxxyyyxAy（2）

連接Ax、Ay點，交橫軸于C點；（3）

以C點為圓心，CAy為半徑作圓，即得應(yīng)力圓。由y截面上的應(yīng)力確定Ay（y，yx）點；12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析2.應(yīng)力圓的繪制xxxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析3.用應(yīng)力圓求斜截面上的應(yīng)力xxxyyyntyx從Ax點出發(fā)，按照單元體上斜截面方位角的轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)過2得到A點，

A點的橫坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力，

A點的縱坐標(biāo)即為斜截面上的切應(yīng)力。AxxxyyyxAyA（1）方法12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析3.用應(yīng)力圓求斜截面上的應(yīng)力x12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析（2）證明AxxxyyyxAyA同理可以證明：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析（2）證明Axxxyyyx12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析4.應(yīng)力圓的特點xxxyyyntyxAxxxyyyxAyA點面對應(yīng)，夾角2倍，轉(zhuǎn)向相同。

應(yīng)力圓上的一個點對應(yīng)單元體上一個面；應(yīng)力圓上兩點之間的圓心角是單元體上對應(yīng)的兩個面的法線的夾角的兩倍，且轉(zhuǎn)向相同。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析4.應(yīng)力圓的特點xxxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析5.極值正應(yīng)力AAAx(x,xy)Ay(y,yx)A點和A點分別為正應(yīng)力的極大值和極小值點。

顯然A點和A點的極值正應(yīng)力也是主應(yīng)力，另一主應(yīng)力=0

；A點所對應(yīng)的主平面方位角為：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析5.極值正應(yīng)力AA12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析6.極值切應(yīng)力（又稱主切應(yīng)力）Ax(x,xy)Ay(y,yx)B點和B點分別為切應(yīng)力的極大值和極小值點。AABB切應(yīng)力的極大值B點所對應(yīng)的平面方位角為1，從A點到B點正轉(zhuǎn)90，

所以：7.結(jié)論：正交的兩微面上正應(yīng)力之和為常數(shù)。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析6.極值切應(yīng)力（又稱主切應(yīng)力）A12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.4求圖示單元體的主應(yīng)力、主切應(yīng)力、并畫出主單元體。解：已知12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.4求圖示單元體的主應(yīng)力、12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析11330=11.98°1=11.98°主切應(yīng)力：主切應(yīng)力作用面方位角：主切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力：max112.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析11330=11.98°12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.5討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象。Me

Me

B解：在危險點處取單元體如圖，已知45°131引起鑄鐵的失效斷裂。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.5討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析一、三向應(yīng)力圓123133212顯然平行于3的斜截面上的應(yīng)力與3無關(guān)，可由應(yīng)力圓求解。12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析一、三向應(yīng)力圓123112.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析123123123研究表明，任意斜截面上的應(yīng)力可由陰影部分的某點的坐標(biāo)決定。12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析123123112.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析maxmin二、最大應(yīng)力最大切應(yīng)力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45°角。31212.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析maxmin二、最大應(yīng)力12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析例12.6試求圖示應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力和最大正應(yīng)力(應(yīng)力單位MPa)

。602040xyz2040xy解：顯然另外兩個主應(yīng)力與60MPa主應(yīng)力無關(guān)，圖示的空間單元體可轉(zhuǎn)化為平面單元體。已知12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析例12.6試求圖示應(yīng)力狀態(tài)12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析12.4廣義胡克定律FF知識回顧′12.4廣義胡克定律FF知識回顧′12.4廣義胡克定律=+x′x″+一、二向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律12.4廣義胡克定律=+x′x″+一、二向應(yīng)力狀態(tài)的12.4廣義胡克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律xyxyzxyxzzyxyzzxzy12.4廣義胡克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律xy12.4廣義胡克定律123例12.7已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點沿30°方向的線應(yīng)變30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°解：1.計算外力2.計算內(nèi)力FAFB12.4廣義胡克定律123例12.7已知E=10G12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507575k30°3.計算應(yīng)力4.應(yīng)力狀態(tài)分析12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507512.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°30°12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507512.4廣義胡克定律F60例12.8已知如圖所示拉桿的橫截面直徑d=20mm，材料的彈性模量E=200GPa、=0.3，現(xiàn)測得與水平線成60°方向的正應(yīng)變60°=410，求F力的大小。B解：B點單元體如圖所示B已知30°-30°60°60°60°12.4廣義胡克定律F60例12.8已知如圖所示拉桿12.5彈性應(yīng)變能的概念一、應(yīng)變能1.應(yīng)變能:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能或變形能，用Vε表式。2.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲存的應(yīng)變能Vε在數(shù)量上與外力所作的功W相等。3.應(yīng)變能的計算ΔF0FΔOFVε＝W12.5彈性應(yīng)變能的概念一、應(yīng)變能1.應(yīng)變能:彈性體在外12.5彈性應(yīng)變能的概念1.應(yīng)變能密度:單位體積的應(yīng)變能，又稱為比能，用vε表式。二、應(yīng)變能密度2.單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度dudx3.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度12.5彈性應(yīng)變能的概念1.應(yīng)變能密度:單位體積的應(yīng)變能12.5彈性應(yīng)變能的概念⒋體積改變能密度與形狀改變能密度123mm1-mm2-m3-m=+v=vV+vd狀態(tài)1受平均正應(yīng)力m作用，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變能密度vV。狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為形狀改變能密度vd，也叫畸變能密度。

12.5彈性應(yīng)變能的概念⒋體積改變能密度與形狀改變能密度12.5彈性應(yīng)變能的概念123mm1-mm2-m3-m=+v=vV+vd12.5彈性應(yīng)變能的概念123mm1-mm12.6強度理論及其應(yīng)用一、材料的強度失效形式1.材料的強度失效形式塑形屈服脆性斷裂12.6強度理論及其應(yīng)用一、材料的強度失效形式1.材料的強12.6強度理論及其應(yīng)用2.材料的強度失效形式與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)塑形屈服FF脆性斷裂脆性斷裂F塑形屈服鋼球鑄鐵板12.6強度理論及其應(yīng)用2.材料的強度失效形式與應(yīng)力狀態(tài)有12.6強度理論及其應(yīng)用二、簡單受力情況下的失效條件和強度條件應(yīng)力狀態(tài)強度條件][maxtt≤][maxss≤][maxss≤失效條件maxtut=maxsus=maxs=su12.6強度理論及其應(yīng)用二、簡單受力情況下的失效條件和強度12.6強度理論及其應(yīng)用簡單受力時危險點的應(yīng)力狀態(tài)和材料的失效條件可通過實驗很容易地建立起來。二、復(fù)雜受力情況下的失效條件和強度條件

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，不能用上述強度條件，也難以用實驗的方法建立強度條件。1.復(fù)雜受力情況下的失效條件和強度條件

(1)單元體上的所有應(yīng)力分量對材料的強度有綜合影響。

(2)應(yīng)力的組合有無窮種，材料的失效條件不可能通過實驗一一測定。

(3)實驗設(shè)備的不足限制了通過實驗建立失效條件。12.6強度理論及其應(yīng)用簡單受力時危險點的12.6強度理論及其應(yīng)用

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下失效條件和強度條件的建立只能依據(jù)有限的實驗結(jié)果，結(jié)合一定的工程失效案例，假設(shè)材料的失效是由于某一種和幾種力學(xué)因素達(dá)到極值所引起的。（1）強度理論：關(guān)于材料發(fā)生強度失效原因的假說。2.強度理論（2）強度理論的特點：只要失效的形式相同，不論應(yīng)力狀態(tài)如何，皆認(rèn)為是同一力學(xué)因素引起的。（3）優(yōu)點：可以利用簡單應(yīng)力狀態(tài)或個別復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強度條件，最后進行實驗驗證，確定理論的適用性。12.6強度理論及其應(yīng)用復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下失效12.6強度理論及其應(yīng)用三、工程中常用的強度理論1、第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）

該理論思想的萌發(fā)始于17世紀(jì)意大利科學(xué)家伽利略對石料拉伸和彎曲強度的研究。19世紀(jì)英國科學(xué)家蘭京（Rankine）提出了這一理論。依據(jù)：鑄鐵、石料等材料單向拉伸時的斷裂面垂直于最大拉應(yīng)力。假說：最大拉應(yīng)力是引起材料破壞的主要因素。失效條件：σmax＝σuσmax＝σ1σu=σbσ1=σb強度條件：σ1≤

[σ

]適用范圍：脆性斷裂，且|σ1|最大。12.6強度理論及其應(yīng)用三、工程中常用的強度理論1、第一強12.6強度理論及其應(yīng)用2、第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）

該理論思想的萌發(fā)始于17世紀(jì)法國科學(xué)家馬里奧特（Mariotte）對木材拉伸強度的研究。19世紀(jì)法國的圣維南（Saint-Venant）提出了這一理論。依據(jù)：石料等材料單向壓縮時的斷裂面垂直于最大拉應(yīng)變方向。假說：最大拉應(yīng)變是引起材料破壞的主要原因。失效條件：強度條件：適用范圍：脆性斷裂，且|σ3|最大。max＝

u12.6強度理論及其應(yīng)用2、第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）12.6強度理論及其應(yīng)用3、第三強度理論（最大切應(yīng)力理論）

1773年法國科學(xué)家?guī)靵觯–oulomb）發(fā)表了土體的最大切應(yīng)力準(zhǔn)則，1864年特雷斯卡（Tresca）提出了金屬的最大切應(yīng)力準(zhǔn)則，1900年英國蓋斯特（Guest）進行了實驗驗證。依據(jù)：低碳鋼等塑性材料單向拉伸屈服時，沿最大切應(yīng)力所在的45°斜面滑移，三向等值拉、壓時不發(fā)生屈服。假說：最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要力學(xué)因素。失效條件：強度條件：適用范圍：塑性屈服，且拉、壓屈服強度相等的材料。max＝

u12.6強度理論及其應(yīng)用3、第三強度理論（最大切應(yīng)力理論）12.6強度理論及其應(yīng)用4、第四強度理論（形狀改變能密度理論）

1885年貝爾特拉密（Beltrami）提出了應(yīng)變能理論，1904年波蘭的胡貝爾(Huber)將其修正為畸變能密度理論。之后，德國的米澤斯（Mises）等人又先后對蓋理論進行了改進和闡述。依據(jù)：體積應(yīng)變能密度不會造成屈服失效，引起材料屈服的主要因素為畸變能密度。假說：形狀改變能密度是引起材料屈服的主要力學(xué)因素。失效條件：vd＝

vd,u12.6強度理論及其應(yīng)用4、第四強度理論（形狀改變能密度理12.6強度理論及其應(yīng)用強度條件：適用范圍：塑性屈服，且拉、壓屈服強度相等的材料。

莫爾強度理論并不簡單地假設(shè)材料的破壞是由單一因素（應(yīng)力、應(yīng)變、比能）達(dá)到極限值而引起的，它是以各種應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的試驗結(jié)果為依據(jù)而建立的帶有一定經(jīng)驗性的強度理論。5、莫爾強度理論12.6強度理論及其應(yīng)用強度條件：適用范圍：塑性屈服，且拉12.6強度理論及其應(yīng)用單向壓縮極限應(yīng)力圓純剪切極限應(yīng)力圓單向拉伸極限應(yīng)力圓強度條件：適用范圍：拉、壓強度不同的脆性材料，在以壓為主。失效條件：只要最大應(yīng)力圓與極限應(yīng)力圓包絡(luò)線相切，材料就發(fā)生強度失效。12.6強度理論及其應(yīng)用單向壓縮極限應(yīng)力圓純剪切12.6強度理論及其應(yīng)用四、強度理論的應(yīng)用1、強度理論的統(tǒng)一形式r

稱為相當(dāng)應(yīng)力12.6強度理論及其應(yīng)用四、強度理論的應(yīng)用1、強度理論的統(tǒng)12.6強度理論及其應(yīng)用2、強度理論的應(yīng)用（1）對于塑性材料，通常選用第三、四強度理論；（2）對于拉、壓強度極限不相等的脆性材料，以拉為主時，通常選用第一強度理論；以壓為主時，通常選用莫爾強度理論。ABF例12.8求圖示單元體應(yīng)力狀態(tài)的第三、第四相當(dāng)應(yīng)力。12.6強度理論及其應(yīng)用2、強度理論的應(yīng)用（1）對于塑性材12.6強度理論及其應(yīng)用12.6強度理論及其應(yīng)用12.6強度理論及其應(yīng)用解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例12.9直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖，Me=5kNm，F(xiàn)=100kN,為鑄鐵構(gòu)件，[t]=40MPa，[c]=150MPa，試用強度理論校核桿的強度。故，安全。FFMeMeAA脆性材料，以拉為主。12.6強度理論及其應(yīng)用解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1212.6強度理論及其應(yīng)用例12.10薄壁圓筒形容器，平均直徑D=300mm，壁厚δ=10mm，內(nèi)壓p=3MPa，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa，試校核容器的強度。θx解：危險點應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。Dpδxpx

用橫截面將容器截開，受力如圖所示,根據(jù)平衡方程求得軸向應(yīng)力。12.6強度理論及其應(yīng)用例12.10薄壁圓筒形容器，平12.6強度理論及其應(yīng)用yps

θsθDO用縱截面將容器截開，受力如圖所示，根據(jù)平衡方程求得環(huán)向應(yīng)力。由第三強度理論：求得主應(yīng)力：sθsθpdx12.6強度理論及其應(yīng)用ypsθsθDO用縱截12.6強度理論及其應(yīng)用由第四強度理論：滿足強度條件12.6強度理論及其應(yīng)用由第四強度理論：滿足強度條件第12章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論12.1引言

12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析

12.4廣義胡克定律

12.5彈性應(yīng)變能的概念

12.6強度理論及其應(yīng)用

第12章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論12.1引言

12.2平12.1引言一、概述FNmaxs=sCmaxtTCMmaxsmaxsC截面應(yīng)力強度條件][maxtt≤][maxss≤][maxss≤1.回顧：簡單受力情況下的強度條件的建立12.1引言一、概述FNmaxs=sCmaxtTCMmax12.1引言s強度條件2.問題：復(fù)雜受力情況下的強度條件該如何建立？MF][maxss≤？

][maxtt≤？

t顯然簡單受力情況下的強度條件不能應(yīng)用于復(fù)雜受力情況。12.1引言s強度條件2.問題：復(fù)雜受力情況下的強度條件12.1引言FFmmnnFnnkmmFk二、應(yīng)力狀態(tài)12.1引言FFmmnnFnnkmmFk二、應(yīng)力狀態(tài)12.1引言變性固體內(nèi)一點處所有方向的微面上的應(yīng)力的集合稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。確定受力構(gòu)件內(nèi)危險截面上的危險點的危險方向，為復(fù)雜受力情況下的強度條件的建立打下基礎(chǔ)。三、研究應(yīng)力狀態(tài)的目的四、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法—單元體法1.單元體：無限微小的正六面體。xyzxyxzxyzyxyzzxzy2.單元體的特點12.1引言變性固體內(nèi)一點處所有方向的微面上的應(yīng)力12.1引言微面上應(yīng)力均勻分布；平行微面上應(yīng)力相同。3.空間單元體xyzxyzxyzxyzxyxzxyzyxyzzxzy4.平面單元體xyzxyxyyxxyxy五、應(yīng)力狀態(tài)分類1.主平面：切應(yīng)力為零的平面。12.1引言微面上應(yīng)力均勻分布；3.空間單元體xy12.1引言2.主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。一點的應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列：3.主單元體：三對正交微面都是主平面的單元體。1234.應(yīng)力狀態(tài)分類

（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中，有兩個等于零，一個不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。FF12.1引言2.主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。12.1引言

（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中，有一個等于零，另外兩個不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。ABFxyxxxy

（3）三向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。yxz12.1引言（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中12.1引言六、應(yīng)力狀態(tài)分析舉例例12.1直角折拐，試用單元體表式危險點的應(yīng)力狀態(tài)。FlaABC12.1引言六、應(yīng)力狀態(tài)分析舉例例12.1直角折拐，試12.1引言MeF解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析，確定危險截面MxFlTMex固定端所在的A截面為危險截面。(3)應(yīng)力分析，確定危險點A12.1引言MeF解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析12.1引言xzy4321A截面12.1引言xzy4321A截面12.1引言yxzFsT4321yzFM12.1引言yxzFsT4321yzFM12.1引言yxzFsT4321143134M12.1引言yxzFsT4321143134M12.1引言F例12.2矩形截面簡支梁，試用單元體表式各點的應(yīng)力狀態(tài)。mmCDEbh解：(1)外力分析(2)內(nèi)力分析畫內(nèi)力圖(3)應(yīng)力分析FAFBABMxFl/4FSxF/2F/2st12.1引言F例12.2矩形截面簡支梁，試用單元體表式12.1引言CCDDEFmmCDEFAFBAB12.1引言CCDDEFmmCDEFAFBAB12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、符號規(guī)定xxxyyynyxxyzxyxyyx1.正應(yīng)力：拉為正；2.切應(yīng)力：順剪為正；3.方位角：逆轉(zhuǎn)為正。二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、符號規(guī)定xxxyyy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1.斜截面上的應(yīng)力xxyyxxxyyyntyxyxyxxyyx12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1.斜截面上的應(yīng)力xxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析同理，由得：任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析同理，由12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.3薄壁圓筒受力如圖所示。已知F=20kN，Me=600N?m，橫截面A=314mm2，WP=7854mm3。試用解析法求B點處指定斜微面上的應(yīng)力。Me

Me

30°

F

F

B120°解：

B點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，微面上的應(yīng)力：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.3薄壁圓筒受力如圖所示12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

大家可以用解析的方法進一步分析一點處的正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，下面用圖解法可以直觀地得到這些極值結(jié)果。三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為1.應(yīng)力圓12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析大家可以用解析的方12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將第一式移項后兩邊平方12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析得：取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的切應(yīng)力，則上式為一圓方程。xxxyyyntyxr圓心坐標(biāo)為半徑為12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析得：取橫軸為斜截面12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析2.應(yīng)力圓的繪制xxxyyyntyx（1）

由x截面上的應(yīng)力確定Ax（x，xy）點；AxxxyyyxAy（2）

連接Ax、Ay點，交橫軸于C點；（3）

以C點為圓心，CAy為半徑作圓，即得應(yīng)力圓。由y截面上的應(yīng)力確定Ay（y，yx）點；12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析2.應(yīng)力圓的繪制xxxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析3.用應(yīng)力圓求斜截面上的應(yīng)力xxxyyyntyx從Ax點出發(fā)，按照單元體上斜截面方位角的轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)過2得到A點，

A點的橫坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力，

A點的縱坐標(biāo)即為斜截面上的切應(yīng)力。AxxxyyyxAyA（1）方法12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析3.用應(yīng)力圓求斜截面上的應(yīng)力x12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析（2）證明AxxxyyyxAyA同理可以證明：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析（2）證明Axxxyyyx12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析4.應(yīng)力圓的特點xxxyyyntyxAxxxyyyxAyA點面對應(yīng)，夾角2倍，轉(zhuǎn)向相同。

應(yīng)力圓上的一個點對應(yīng)單元體上一個面；應(yīng)力圓上兩點之間的圓心角是單元體上對應(yīng)的兩個面的法線的夾角的兩倍，且轉(zhuǎn)向相同。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析4.應(yīng)力圓的特點xxxy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析5.極值正應(yīng)力AAAx(x,xy)Ay(y,yx)A點和A點分別為正應(yīng)力的極大值和極小值點。

顯然A點和A點的極值正應(yīng)力也是主應(yīng)力，另一主應(yīng)力=0

；A點所對應(yīng)的主平面方位角為：12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析5.極值正應(yīng)力AA12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析6.極值切應(yīng)力（又稱主切應(yīng)力）Ax(x,xy)Ay(y,yx)B點和B點分別為切應(yīng)力的極大值和極小值點。AABB切應(yīng)力的極大值B點所對應(yīng)的平面方位角為1，從A點到B點正轉(zhuǎn)90，

所以：7.結(jié)論：正交的兩微面上正應(yīng)力之和為常數(shù)。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析6.極值切應(yīng)力（又稱主切應(yīng)力）A12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.4求圖示單元體的主應(yīng)力、主切應(yīng)力、并畫出主單元體。解：已知12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.4求圖示單元體的主應(yīng)力、12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析11330=11.98°1=11.98°主切應(yīng)力：主切應(yīng)力作用面方位角：主切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力：max112.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析11330=11.98°12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.5討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象。Me

Me

B解：在危險點處取單元體如圖，已知45°131引起鑄鐵的失效斷裂。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12.5討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析一、三向應(yīng)力圓123133212顯然平行于3的斜截面上的應(yīng)力與3無關(guān)，可由應(yīng)力圓求解。12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析一、三向應(yīng)力圓123112.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析123123123研究表明，任意斜截面上的應(yīng)力可由陰影部分的某點的坐標(biāo)決定。12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析123123112.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析maxmin二、最大應(yīng)力最大切應(yīng)力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45°角。31212.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析maxmin二、最大應(yīng)力12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析例12.6試求圖示應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力和最大正應(yīng)力(應(yīng)力單位MPa)

。602040xyz2040xy解：顯然另外兩個主應(yīng)力與60MPa主應(yīng)力無關(guān)，圖示的空間單元體可轉(zhuǎn)化為平面單元體。已知12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析例12.6試求圖示應(yīng)力狀態(tài)12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析12.3特殊三向應(yīng)力狀態(tài)分析12.4廣義胡克定律FF知識回顧′12.4廣義胡克定律FF知識回顧′12.4廣義胡克定律=+x′x″+一、二向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律12.4廣義胡克定律=+x′x″+一、二向應(yīng)力狀態(tài)的12.4廣義胡克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律xyxyzxyxzzyxyzzxzy12.4廣義胡克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律xy12.4廣義胡克定律123例12.7已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點沿30°方向的線應(yīng)變30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°解：1.計算外力2.計算內(nèi)力FAFB12.4廣義胡克定律123例12.7已知E=10G12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507575k30°3.計算應(yīng)力4.應(yīng)力狀態(tài)分析12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507512.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°30°12.4廣義胡克定律nnk1m1m2mAB2001507512.4廣義胡克定律F60例12.8已知如圖所示拉桿的橫截面直徑d=20mm，材料的彈性模量E=200GPa、=0.3，現(xiàn)測得與水平線成60°方向的正應(yīng)變60°=410，求F力的大小。B解：B點單元體如圖所示B已知30°-30°60°60°60°12.4廣義胡克定律F60例12.8已知如圖所示拉桿12.5彈性應(yīng)變能的概念一、應(yīng)變能1.應(yīng)變能:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能或變形能，用Vε表式。2.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲存的應(yīng)變能Vε在數(shù)量上與外力所作的功W相等。3.應(yīng)變能的計算ΔF0FΔOFVε＝W12.5彈性應(yīng)變能的概念一、應(yīng)變能1.應(yīng)變能:彈性體在外12.5彈性應(yīng)變能的概念1.應(yīng)變能密度:單位體積的應(yīng)變能，又稱為比能，用vε表式。二、應(yīng)變能密度2.單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度dudx3.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度12.5彈性應(yīng)變能的概念1.應(yīng)變能密度:單位體積的應(yīng)變能12.5彈性應(yīng)變能的概念⒋體積改變能密度與形狀改變能密度123mm1-mm2-m3-m=+v=vV+vd狀態(tài)1受平均正應(yīng)力m作用，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變能密度vV。狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為形狀改變能密度vd，也叫畸變能密度。

12.5彈性應(yīng)變能的概念⒋體積改變能密度與形狀改變能密度12.5彈性應(yīng)變能的概念123mm1-mm2-m3-m=+v=vV+vd12.5彈性應(yīng)變能的概念123mm1-mm12.6強度理論及其應(yīng)用一、材料的強度失效形式1.材料的強度失效形式塑形屈服脆性斷裂12.6強度理論及其應(yīng)用一、材料的強度失效形式1.材料的強12.6強度理論及其應(yīng)用2.材料的強度失效形式與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)塑形屈服FF脆性斷裂脆性斷裂F塑形屈服鋼球鑄鐵板12.6強度理論及其應(yīng)用2.材料的強度失效形式與應(yīng)力狀態(tài)有12.6強度理論及其應(yīng)用二、簡單受力情況下的失效條件和強度條件應(yīng)力狀態(tài)強度條件][maxtt≤][maxss≤][maxss≤失效條件maxtut=maxsus=maxs=su12.6強度理論及其應(yīng)用二、簡單受力情況下的失效條件和強度12.6強度理論及其應(yīng)用簡單受力時危險點的應(yīng)力狀態(tài)和材料的失效條件可通過實驗很容易地建立起來。二、復(fù)雜受力情況下的失效條件和強度條件

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，不能用上述強度條件，也難以用實驗的方法建立強度條件。1.復(fù)雜受力情況下的失效條件和強度條件

(1)單元體上的所有應(yīng)力分量對材料的強度有綜合影響。

(2)應(yīng)力的組合有無窮種，材料的失效條件不可能通過實驗一一測定。

(3)實驗設(shè)備的不足限制了通過實驗建立失效條件。12.6強度理論及其應(yīng)用簡單受力時危險點的12.6強度理論及其應(yīng)用

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下失效條件和強度條件的建立只能依據(jù)有限的實驗結(jié)果，結(jié)合一定的工程失效案例，假設(shè)材料的失效是由于某一種和幾種力學(xué)因素達(dá)到極值所引起的。（1）強度理論：關(guān)于材料發(fā)生強度失效原因的假說。2.強度理論（2）強度理論的特點：只要失效的形式相同，不論應(yīng)力狀態(tài)如何，皆認(rèn)為是同一力學(xué)因素引起的。（3）優(yōu)點：可以利用簡單應(yīng)力狀態(tài)或個別復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強度條件，最后進行實驗驗證，確定理論的適用性。12.6強度理論及其應(yīng)用復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下失效12.6強度理論及其應(yīng)用三、工程中常用的強度理論1、第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）

該理論思想的萌發(fā)始于17世紀(jì)意大利科學(xué)家伽利略對石料拉伸和彎曲強度的研究。19世紀(jì)英國科學(xué)家蘭京（Rankine）提出了這一理論。依據(jù)：鑄鐵、石料等材料單向拉伸時的斷裂面垂直于最大拉應(yīng)力。假說：最大拉應(yīng)力是引起材料破壞的主要因素。失效條件：σmax＝σuσmax＝σ1σu=σbσ1=σb強度條件：σ1≤

[σ

]適用范圍：脆性斷裂，且|σ1|最大。12.6強度理論及其應(yīng)用三、工程中常用的強度理論1、第一強12.6強度理論及其應(yīng)用2、第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）

該理論思想的