概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-微積分復(fù)習(xí)ch7無(wú)窮級(jí)數(shù)

微積第七章無(wú)窮級(jí)§71無(wú)窮級(jí)數(shù)的概§72無(wú)窮級(jí)數(shù)的基§73正項(xiàng)級(jí)§74§75冪級(jí)§76泰勒公式與泰勒級(jí)§78冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉§7.1給定一個(gè)常數(shù)列u1,u2,u3,,un, u1u2u3un

記為un unu1u2u3un其中第?? 級(jí)數(shù)un的前??項(xiàng)和Snu1u2

如果數(shù)列????有極限??,

limSn則稱(chēng)級(jí)數(shù)un收斂

??= ????=????+????+?+????+

則稱(chēng)級(jí)數(shù) 注:如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)其部分和????是級(jí)數(shù)和??的近似值

RnS un1un2 顯然有l(wèi)imR0,當(dāng)??充分大時(shí),SS 例1討論等比級(jí)數(shù)(又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù)aqnaaqaq2aqn的收斂性其中??叫做級(jí)數(shù)的公比

(a

aaqaq2aqn1a??≠q1時(shí)

limqn0,lim

1q收斂q1時(shí)

limqn

lim

??=

當(dāng)q1時(shí) snna 當(dāng)q1時(shí)

aaaalimsn不存在 n

aqn當(dāng)

時(shí),收斂

當(dāng)

時(shí),發(fā)散

q

首項(xiàng),1公比

q例當(dāng)q1時(shí)qn

1q,(1)nq2n1

1q2例如

1111

S

1 2

232n?12n1122n?1

=2>1例2

1 2 Sn1223 n(n1

n(n11111 2

3

n11 n 所以該級(jí)數(shù)收斂且其和為

n1ln2ln3 lnn1nlnn1nn 練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第2,§7.2

如果級(jí)數(shù)un收斂于

??是一常數(shù)則級(jí)數(shù)aun也收斂

un

且

S

vn

W 則(unvnSW12例1

5n

n1 練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第

n

若un收斂vn發(fā)散,則(unvn發(fā)散

若un,vn均發(fā)散,則(unvn斂散性不確定 u例3設(shè)級(jí)數(shù)un 的部分和Sn2n1的斂散性若級(jí)數(shù)收斂求其和

定理7.4un收斂

(11)(11) 1111 若級(jí)數(shù)un收斂, limun 證設(shè)sun,unsn例4

limunlimsnlim ns (snsns (s

ss n注意通項(xiàng)趨于零的級(jí)數(shù)不一定收斂

lnnn練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第§7.3一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定如果級(jí)數(shù)un中各項(xiàng)均有un(n S1S2

SnSn定理7.6正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是:部分和數(shù)列 二、比較判別 un和vn均為正項(xiàng)級(jí)

若

收斂unkvn(nN

則

若

發(fā)散,且unkvn(nNk0),

例1證明

11

1

1

n1 12131415181213141518

+6+7 +11+11+ +2+2???1+?+ +令

+?+

=??+

+??+

+?

???????= 于是un 根據(jù)比較判別法,

∞

例2??—級(jí)數(shù)1

11

的斂散性(??> 3

1解(1) p

11 np

n1則p級(jí)數(shù)

npnp

(2)當(dāng)??>??時(shí),對(duì)任意??≥??,有??≤????? 于是????≤ ??2???1=1+2??+3??+?+(2???111 111=1

+5??+6??+ 1212???1? +?

2???1≤1

2+

+?

2???1 =1

+?

2???1 當(dāng)??>??時(shí),公比 <

于是????≤

????????n n????有界

??—

p

收斂.p

當(dāng)p時(shí) 收斂p級(jí)數(shù)當(dāng)p時(shí) 發(fā)vn是斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn)用于判斷un

重要參考級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù),??-級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù) 1 11

11 n11

3n2 3n2 4n3例5判定級(jí)4n3練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第:(比較判別法的極限形式 設(shè)un與

vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)

如果lim

n當(dāng)0l時(shí)兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性當(dāng)l0時(shí),若vn收斂

則un收斂當(dāng)l時(shí),若vn發(fā)散,則un發(fā)散 例6

ln(11

3n2例判定3n2

4n3例判定級(jí) 4n3練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第三、比值判別定理7.8(達(dá)朗貝爾比值判別法設(shè)un是正項(xiàng)級(jí)數(shù),

lim

(數(shù)或則1時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散注意1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 例如

n1

發(fā)散

(

收斂

例7判定級(jí)數(shù)

x(xxnxn1

limun1limn1 x

nn n當(dāng)0<??<1時(shí),收斂;當(dāng)??>1時(shí) 當(dāng)??=1時(shí)

級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散例8判定級(jí)數(shù)

ncos2

1.適用于un中含有n!或關(guān)于??的若干連乘積(或商)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)????不趨于零練習(xí)練習(xí)P252習(xí)題七(A)第四、根值判別定理7.9(柯西根值判別法設(shè)un是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果limnun(數(shù)或 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散注意1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 例如

n1

發(fā)散,

n1

收斂 例9

n1

(a

n1 P253習(xí)題七(A)第作業(yè)作業(yè)P252習(xí)題七(A)第4(6)(8),5(4)(6)(7)(8),§7.4

(1)n1un或

(其中

定理7.10 (1)n1un滿(mǎn)足條件unun1(n1,2,3,),(2)limun則級(jí)數(shù)收斂,Su1,其余項(xiàng)rn的絕|rn|例1

,

(p

ln

np練習(xí)練習(xí)P253習(xí)題七(A)第

收斂,稱(chēng) un發(fā)散,而un收斂,un條件收斂 ∞?(?1)

當(dāng)??>1時(shí)絕對(duì)收斂0<??≤1時(shí)條件收斂 定理7.11

收斂,則un收斂 令

1(un2

un)(n顯然vn 且vn

un

所以,vn收斂

un

un

所以u(píng)n收斂

un

例2

(

nn!

nn例3判定級(jí)數(shù)

的斂散性.(n例4判定級(jí)數(shù)n

例5判定級(jí)數(shù)nxn1的斂散性練習(xí)練習(xí)P253習(xí)題七(A)第§7.5一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂形如anxx0

a0a1(xx0)an(xx0)n的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱(chēng)為(?????0)的冪級(jí)數(shù) 其中an(n0,1,2,)為常數(shù)

=0anxna0a1xanxn anxna0a1xanxnanan nxx

axn

aax0nn

收斂,x0axn

axn

axn若

0發(fā)散

axn

axnanan1ann若若

lx 如果l

1(l0),

x R時(shí),an ll如果lx

x1l

R時(shí)anxn

如果lx

x1 lnaxnn

--比值判別法失如果l

則lx0 naxnn

x都收斂

x 如果冪級(jí)數(shù)anxn不是僅在??=0一點(diǎn)收斂,當(dāng)|x|R時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)|x|R時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)xR與xR時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散正數(shù)??稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)an (RR稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(R, [R, (R,

[R,規(guī)定:(1)冪級(jí)數(shù)只在??=??處收斂 R 收斂域?yàn)??=冪級(jí)數(shù)對(duì)一切??都收斂 R,收斂域?yàn)?,

n如果冪級(jí)數(shù)axnn

設(shè)n

0l時(shí)

R1;ll0時(shí)Rl時(shí)R例1求級(jí)數(shù)

(1)n1xn

例2求級(jí)數(shù)(1)n1

例3

n1

練習(xí)練習(xí)P254習(xí)題七(A)第 (2xn4求級(jí)數(shù)n

3nx2n例5求級(jí)數(shù)(1)n P254習(xí)題七(A)第二、冪級(jí)數(shù)的性 設(shè)axn和bxn

Rmin{R1, 則當(dāng)??∈(???,

anxn

bnxn

)xnP254習(xí)題七(A第 (2)(anxn)(bnxn)cnxn

其中cna0bna1bn1anb0nn0

axnn則n

sx)的收斂半徑為R(R0),性質(zhì)1和函數(shù) 性質(zhì)2和函數(shù)??(??)在(???,??) s(x)

axn(axnnnn

nanxn1

n xxs(x)dx x

axn)dx

xaxndx

0

nn例6求冪級(jí)數(shù)nx

的和函數(shù)

n1

??

????? ∞=

??????????

?????????????= ?? ∞

??=

=???

兩端求導(dǎo),得 ??(??)= ,??∈ ???,??.(?????)?? 取?? ,得

n ) n1 nn

設(shè) ????設(shè)?? =??+

????+1則???? =則??+∞ ???? ′

????+

=1?

,?? ?1,1 ???? ?0??? =????? 0= ????=?ln(1?= 1? 又?? =

=?ln1? ,?? nn??=???時(shí)級(jí)數(shù)為

收斂 ?? =

ln1?

,??∈[?1,0)∪??= (1)??(??)在??=??連續(xù)(2)利用?? =??????,

lim??(??)=

?ln1??1

=1?

+3

4+?

+?=ln2練習(xí)練習(xí)P254習(xí)題七(A)第作業(yè)作業(yè)P254習(xí)題七(A)第9(3)(4)(11)(12)§7.6 一、泰勒公定理7.14(泰勒中值定理f(xx0(an1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)x(abf(x)f(x)f(x)(xx)f(x0)(xx)2

(x (x+ (xx)nR(x) f(n1)

(n

(xx0

(

x之間f(x的帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 (1)當(dāng)n=0時(shí),定理結(jié)論f(x)f(x0)f()(xx0----拉格朗日中值定f(2)ff(x)f(0)f(0)x

f(0)x2nn

x

(f(n1)R(x) xn1,(0 (nf(x的麥克勞林公式二、泰勒級(jí)f(x在(ab內(nèi)任意階可導(dǎo)f(n1)limR(x)=lim (xx)n1

(n f(n)(x f(x) (xx

f(x的泰勒級(jí)數(shù)

f(n)x00時(shí)

f(x) f(0)

f(0)x

f

x2

f(n)

xn ----函數(shù) §7.7 一、直接展開(kāi)求an

f(n)(0)

f(n)

n并求出收斂半

x (3討論limRn

f(n)(x)

如lim 0

f(n)(

M

例1將?? =????展開(kāi)成??的冪級(jí)數(shù) f(n)(x)ex f(n)(0)1.(nex~1x1x21xn

其收斂半徑為R

Rn(x)

(n(n(n

xn1

Rn(x)

xn1

e

x(nxxx

xR,e

x(nx

冪級(jí)數(shù)

n!的一般項(xiàng)所以在x 上恒有l(wèi)imRn(x)0n

于是2ex1x2

xn,x

x例2將?? =sin 展開(kāi)成??的冪級(jí)數(shù) f(n)(x)sinxn f(n)(0)sinn22 22 f(2n)(0) f(2n1)(0)(1)n (n f(n)(

sinx

n2

x(,)x2n1sinxx (1)n (2n sinx

(1)

(2n1)!

x例3將?? ??+????(??∈??)展開(kāi)成??的冪級(jí)數(shù)(11x(1)x2(1)(n1)xn 注:x1處收斂性與的取值有.(1)

收斂域?yàn)?

收斂域?yàn)?/p>

收斂域?yàn)楫?dāng)1,1時(shí)211

1xx2x3(1)nxn,x1111

x2

1

x3(1)n(2n3)!!xn 2 24 x1 11x13x2135x3(1)n(2n1)!!xn1 2 24

x二、間接展開(kāi)逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式. cosx(sinsinx

(2n

,xcosx(1)

(2n)!

x 例 1

(1)n

xn xln(1x)

xdx

n01

(1)

,xn例例5將?? =arctan 展開(kāi)為??的冪級(jí)數(shù) (arctanx)

1x2

1

(1)

x

換

arctanx x 01(1)n

2n

x