3第三章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

共40頁1第三章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述3.1脈沖傳遞函數(shù)3.2閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)3.3采樣系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)3.4采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定3.5采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析共40頁2第三章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)通常是由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器和屬于連續(xù)系統(tǒng)范疇的被控對象所組成的“混合”系統(tǒng)。通過采樣，A/D，D/A轉(zhuǎn)換和保持器聯(lián)接起來，以保證信息的暢通。為了能建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常采用兩種方法。一種是將連續(xù)的被控對象離散化，得到它所等效的離散系統(tǒng)模型，然后在離散系統(tǒng)的范疇內(nèi)分析整個閉環(huán)系統(tǒng)。另一種方法是將數(shù)字控制器等效為一個連續(xù)環(huán)節(jié)，然后用連續(xù)系統(tǒng)的方法來分析與設(shè)計(jì)整個控制系統(tǒng)。一般來說，第一種方法采用得較為普遍。本章即采用第一種方法討論計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的建立過程。共40頁33.1脈沖傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義

如圖3.1所示的采樣控制系統(tǒng)，設(shè)其輸入的采樣信號為r(t)，其對應(yīng)的序列為r(kT)，Z變換為R(z)，輸出序列為{y(kT)}，它的Z變換為Y(Z)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，則系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為共40頁4一、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義即脈沖傳遞函數(shù)定義為：在初始條件為零[即k＝0，-1，…,n-2，n-1時，輸入序列r(kT)和輸出序列y(kT)均為零?]的前提下，系統(tǒng)輸出信號的Z變換和系統(tǒng)輸入信號的Z變換之比。類似連續(xù)時間的傳遞函數(shù)，脈沖傳遞函數(shù)通常是一個關(guān)于Z的有理函數(shù)，其分母多項(xiàng)式又稱為它的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。分子多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)。

脈沖傳遞函數(shù)G(z)反映了系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的物理特性。它僅取決于描述該離散時間系統(tǒng)(采樣控制系統(tǒng))的差分方程，而與外部輸入的形式無關(guān)。此外．它僅適用于線性定常系統(tǒng)，而不適用于非線性或時變系統(tǒng)。已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)以后。系統(tǒng)的輸入輸出間的關(guān)系，即可簡單表示為：共40頁5一、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義

可以證明，圖3.1所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)等于連續(xù)系統(tǒng)G(s)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)的采樣函數(shù)的Z變換，即

注意點(diǎn)：G(s)是連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而G(z)則是表示G(s)與采樣開關(guān)兩者組合體的脈沖傳遞函數(shù)。盡管在計(jì)算G(z)時只要知道G(s)，但算出的G(z)卻包含了采樣開關(guān)的性質(zhì)。要是沒有采樣開關(guān)，只有G(s)環(huán)節(jié)，則談不上脈沖傳遞函數(shù)；G(z)與G(s)雖然都使用同一字母G，但G(z)決不是把G(s)中的s換成z得來的，它們之間滿足關(guān)系式(3.3);在圖3.1所示系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸入端有采樣開關(guān)，而在系統(tǒng)的輸出端有沒有采樣開關(guān)不影響系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。因?yàn)槿粝到y(tǒng)輸出沒有真實(shí)的采樣開關(guān)，可以假設(shè)輸出端有一個采樣開關(guān)。即雖然輸出信號是連續(xù)的，但是只考慮t＝kT(k＝0，1．2，…)時刻的輸出數(shù)值，從而得到序列{y(kT)}。如果滿足香農(nóng)采樣定理，則由{y(kT)}可以再現(xiàn)y(t)。共40頁6一、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義共40頁7二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)與連續(xù)系統(tǒng)的相應(yīng)情況相比，顯得略微復(fù)雜一些．因?yàn)橐丛趦蓚€環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)，如圖3.2(a)，圖3.2(b)所示的兩種情況。

對圖3.2(a)所示的中間不帶采樣開關(guān)的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)情況，其脈沖傳遞函數(shù)為

對中間不帶采樣開關(guān)的n個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)情況，其脈沖傳遞函數(shù)的求法與此類似，即共40頁8二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

對于圖3.2(b)所示的串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有一個同步周期采樣開關(guān)情況來講，其脈沖傳遞函數(shù)為：

對于n個串聯(lián)環(huán)節(jié)系統(tǒng)來講，若相鄰串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步周期采樣開關(guān)，則其脈沖傳遞函數(shù)為：共40頁9二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)共40頁103.2閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

對于閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)，可采用上一節(jié)所闡述的原則類似地進(jìn)行分析，得到它的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。其分析過程與連續(xù)系統(tǒng)類似，但需注意系統(tǒng)各通道中采樣開關(guān)的位置。采樣開關(guān)的位置不同，所得到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)則不同。有時甚至不能寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能寫出輸出的Z變換表達(dá)式。對于閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，由于閉環(huán)系統(tǒng)的環(huán)節(jié)多，而且同步采樣開關(guān)的位置也不盡相同，因此只能根據(jù)不同情況，分別推導(dǎo)。共40頁11一、采樣開關(guān)在誤差通道的閉環(huán)控制系統(tǒng)共40頁12一、采樣開關(guān)在誤差通道的閉環(huán)控制系統(tǒng)推導(dǎo)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)獨(dú)立環(huán)節(jié)的概念在采樣系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)里，兩個相鄰采樣開關(guān)之間的連續(xù)環(huán)節(jié)(若是幾個連續(xù)環(huán)節(jié)串、并聯(lián)，則可利用連續(xù)環(huán)節(jié)的串、并聯(lián)公式，將它們等效為一個連續(xù)環(huán)節(jié))構(gòu)成一個獨(dú)立環(huán)節(jié)。在此基礎(chǔ)上，利用方框圖化簡的方法，即可求得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(獨(dú)立環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù))。(2)有可能寫不出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)若閉環(huán)系統(tǒng)的輸入信號未被采樣，則整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)將寫不出來。這時只能得到輸出量的z變換式，這與連續(xù)系統(tǒng)是不同的。但是，若輸入信號未被采樣，但誤差信號被采樣(如圖3.3所示，見上一頁)，則認(rèn)為輸入輸出信號都有采樣信號。共40頁13二、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1、控制算法D(z)

控制算法通常是由計(jì)算機(jī)或PLC等部件完成的，它是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的核心部分。控制算法通常是以差分方程形式表示的，本身就為離散時間系統(tǒng)，它的一般形式為共40頁141、控制算法D(z)2、廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)

所謂廣義對象通常是指保持器環(huán)節(jié)和被控對象環(huán)節(jié)串聯(lián)后所構(gòu)成的連續(xù)時間系統(tǒng)。本系統(tǒng)中保持器為零階保持器，因此廣義對象的傳遞函數(shù)為零階保持器傳遞函數(shù)被控對象傳遞函數(shù)共40頁152、廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)

由于廣義對象的輸入為采樣信號，可求得它的脈沖傳遞函數(shù)為共40頁162、廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)共40頁173、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)共40頁183.3采樣系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

對連續(xù)系統(tǒng)，若已知傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置，便可估計(jì)出它對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)形狀。同樣地，對離散系統(tǒng)，若已知脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也可以估計(jì)出它對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)，從而有助于分析系統(tǒng)性能。一、系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析1、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)分析零點(diǎn)極點(diǎn)系統(tǒng)的時間響應(yīng)是系統(tǒng)在各極點(diǎn)時間響應(yīng)的線性疊加為了可實(shí)現(xiàn)，n>m共40頁19二、系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)1、實(shí)軸單極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析不失一般性，分析實(shí)軸單極點(diǎn)P1處的單位脈沖響應(yīng)h(kT)，即假定Ai大于零，則時間響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系如圖3-5所示。不失一般性，研究實(shí)軸單極點(diǎn)和一對共扼極點(diǎn)這兩種情況。共40頁201、實(shí)軸單極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析共40頁212、一對共軛極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析

不失一般性，分析系統(tǒng)在共軛極點(diǎn)P1=a+jb、P2=a-jb處的單位脈沖響應(yīng)h(kT)，即實(shí)系數(shù)有理式理論Bi和Ci由復(fù)數(shù)Ai及其共扼復(fù)數(shù)以及a和b決定。共40頁222、一對共軛極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析

由一對共軛極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)，可得如下結(jié)論：當(dāng)r>1時，h(kT)為發(fā)散振蕩序列，且r越大，發(fā)散越快;當(dāng)r＝1時，h(kT)為等幅振蕩序列;當(dāng)r<1時，h(kT)為衰減振蕩序列，且r越小，衰減越快;當(dāng)q角越大，輸出振蕩頻率越高，當(dāng)q=180度時，系統(tǒng)振蕩頻率最高，為采樣頻率的一半。

由以上討論可見，極點(diǎn)Pi在[z]平面上的位置與單位脈沖響應(yīng)有密切的對應(yīng)關(guān)系。在[z]平面上，以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑，構(gòu)造了一個圓，稱為單位圓。當(dāng)極點(diǎn)Pi位于單位圓內(nèi)(即Pi的模小于1)時，單位脈沖響應(yīng)序列呈衰減趨勢；當(dāng)極點(diǎn)Pi位于單位圓上(即Pi的模等于1)時，單位脈沖響應(yīng)序列為等幅的；當(dāng)極點(diǎn)Pi位于單位圓外(即Pi的模大于1)時，單位脈沖響應(yīng)序列呈發(fā)散趨勢。另外，當(dāng)極點(diǎn)Pi位于左半平面時，單位脈沖響應(yīng)序共40頁232、一對共軛極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析列將呈現(xiàn)強(qiáng)烈的振蕩，最高時其振蕩頻率等于采樣頻率的一半。特別是當(dāng)Pi越接近負(fù)實(shí)軸時，這種現(xiàn)象越明顯。因此，設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)時，要注意盡量避免閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，尤其不要靠近負(fù)實(shí)軸。

雖然以上只分析了單個實(shí)極點(diǎn)和復(fù)共短極點(diǎn)的情況，由式(3.32)可知，整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)實(shí)際是這些項(xiàng)脈沖響應(yīng)之和。因此，采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在[z]平面上的位置．決定了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度。其中極點(diǎn)的模，即極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離r決定了系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列是發(fā)散的還是衰減的。也就是說，決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)的模都小于1，或者說系統(tǒng)所有的極點(diǎn)都位于[z]平面上的以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的單位圓內(nèi)，則式(3.32)中各項(xiàng)都對應(yīng)著衰減的脈沖響應(yīng)序列，隨著k→∞，各項(xiàng)都趨向于零。因此，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)中有模大于1的極點(diǎn)，則當(dāng)k→∞共40頁242、一對共軛極點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)分析時，即使式(3.32)中的其他項(xiàng)都趨向于零，但是由于相應(yīng)于模大干1的極點(diǎn)的那一項(xiàng)的時間響應(yīng)趨向于無窮大，造成系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)也趨向于無窮大，因此系統(tǒng)為不穩(wěn)定。結(jié)論：計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，且盡量位于[z]平面的右邊。共40頁253.4采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定在控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中，穩(wěn)定性是一個首要問題，它是系統(tǒng)能夠正常工作的先決條件。系統(tǒng)在擾動作用下，會偏離原來平衡工作狀態(tài)。所謂穩(wěn)定性，是指當(dāng)擾動作用消失以后，系統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動作用消失以后，再也不能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，對于線性定常系統(tǒng)，它僅與系統(tǒng)的極點(diǎn)有關(guān)。

閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為其中，分母多項(xiàng)式稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。方程A(z)＝0稱為特征方程，特征方程的n個根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)或稱為系統(tǒng)的特征根。根據(jù)上一節(jié)的關(guān)于極點(diǎn)位置與系共40頁263.4采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系和穩(wěn)定性的分析，知道線性定常系統(tǒng)式(3.36)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根(系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn))都位于[z]平面的單位圓內(nèi)。因此，判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題就變成了判定特征方程根相應(yīng)于[z]平面上單位圓的分布問題。最簡單的方法是直接求解特征方程的根，看它們在[z]平面上的分布。但是，當(dāng)特征多項(xiàng)式階次較高時，直接求解特征方程比較困難。一、域變換法

在連續(xù)系統(tǒng)分析中，采用勞斯判據(jù)可以在不求解特征方程的前提下，判定特征方程的根是否都在復(fù)平面[s]平面的左半平面。并以此判定連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然．在采樣系統(tǒng)中無法用此判據(jù)，只能根據(jù)持征根的模是否小于1來判定采樣系統(tǒng)是否穩(wěn)定性。為了能利用勞斯判據(jù)，可以采用W變換，把[z]平共40頁27一、域變換法面上的單位圓變成[w]平面上的虛軸，把單位圓的外部變成[w]右半平面，把單位圓的內(nèi)部變成[w]左半平面。這樣就可以通過勞斯判據(jù)，判定位于[w]右半平面的特征根的個數(shù)來間接判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。共40頁28一、域變換法由式(3-42)可知，雙線性變換滿足以上要求。共40頁29一、域變換法共40頁30一、域變換法共40頁31一、域變換法共40頁32一、域變換法共40頁33一、域變換法

從上述例子，可以看到利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。并且可以利用勞斯判據(jù)，分析系統(tǒng)參數(shù)如放大倍數(shù)K，采樣周期T，對象特性等對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。另外，從上述例子也可以看到，控制系統(tǒng)中加入零階保持器以后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞，而且在其它參數(shù)固定的情況下，采樣周期T越長，穩(wěn)定共40頁34一、域變換法性越差，臨界放大倍數(shù)Kc越小。反之，減小采樣周期T，可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。放大倍數(shù)及對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響與連續(xù)系統(tǒng)類似，放大倍數(shù)K加大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。二、朱利-阿斯特隆姆判據(jù)域變換法通過w變換把一個判定特征方程的根是否位于[z]平面上單位圓內(nèi)的問題變成一個判定根是否在[w]平面上的左半平面內(nèi)的問題，從而可以應(yīng)用勞斯判據(jù)。然而當(dāng)特征方程的階次較高時，這一方法的計(jì)算工作量很大。為此，人們得到了一系列直接判定特征方程的根是否位于平面[z]上單位圓內(nèi)的代數(shù)判據(jù)。朱利-阿斯特隆姆判據(jù)便是其中之一。對給定的特征方程F(z)＝0，應(yīng)用朱利-阿斯持隆姆判據(jù)時，首先要根據(jù)F(z)的系數(shù)建一個表。假設(shè)系統(tǒng)的特征方程共40頁35二、朱利—阿斯特區(qū)姆判據(jù)不失一般性，假定式(3-43)中的an>0。根據(jù)式(3.43)中特征多項(xiàng)式的系數(shù)，可以給出如表3.1所示的朱利表，此表有(2n十1)行，(n+1)列。共40頁36二、朱利—阿斯特區(qū)姆判據(jù)

根據(jù)表3.1所得到的各系數(shù)，可以得到朱利-阿斯持隆姆穩(wěn)定判據(jù)為：若an>0，則只有當(dāng)朱利表中所有奇數(shù)行第一列系數(shù)均大于零時，特征方程F(z)＝0的全部特征根位于單位圓內(nèi)。否則就有根落在單位圓上或外，且個數(shù)等于奇數(shù)行第一列小于零的個數(shù)。若第一列出現(xiàn)零或全零行，則要特殊處理，可參見有關(guān)代數(shù)方程理論或控制理論專著。共40頁37二、朱利—阿斯特區(qū)姆判據(jù)共40頁383.5采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析與連續(xù)系統(tǒng)一樣，采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一方面與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，另一方面與外作用特性有關(guān)。利用z變換的終值定理，可以對穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行分析?？紤]圖3.8所示的單位反饋系統(tǒng)，其中G(s)為廣義對象。討論它在典型輸入信號下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。共40頁39根據(jù)G(z)中包含有z＝1的極點(diǎn)個數(shù)，可以將系統(tǒng)分成0型(沒有z＝1的極點(diǎn))、1型(1個z＝1的極點(diǎn))、2型(2個z＝1的極點(diǎn))等。根據(jù)式(2.12b)，z＝1的極點(diǎn)，對應(yīng)于s平面上s=0的極點(diǎn)，稱為數(shù)字積分環(huán)節(jié)。因此，0型系統(tǒng)無數(shù)字積分環(huán)節(jié)，1型系統(tǒng)有一個數(shù)字積分環(huán)節(jié)，余可類推。一、單位階躍輸入

對于0型系統(tǒng)，Kp為有限值，系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。對于1型或高于1型的系統(tǒng)，Kp=∞，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差。

對于圖3.8所示單位反饋系統(tǒng)，若輸入為階躍信號時，采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是系統(tǒng)正向通道中至少含