2005年第4屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克(CGMO)試題(含答案)

2005年女子數(shù)學(xué)奧林匹克第一天2005年8月12日上午800～1200長(zhǎng)春我們進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽的目的，不僅僅是為了數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，其著眼點(diǎn)還是因?yàn)樗且磺锌茖W(xué)的得力助手，因而提高數(shù)學(xué)，也為學(xué)好其他科學(xué)打好基礎(chǔ).——華羅庚1.如圖，設(shè)點(diǎn)P在△ABC的外接圓上，直線(xiàn)CP和AC相交于點(diǎn)E，直線(xiàn)BP和AC相交于點(diǎn)F,邊AC的垂直平分線(xiàn)交邊AB于點(diǎn)J，邊AB的垂直平分線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)K,求證：=.2.求方程組的所有實(shí)數(shù)解.3.是否存在這樣的凸多面體，它共有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱和6個(gè)面，并且其中有4個(gè)面，每?jī)蓚€(gè)面都有公共棱？4.求出所有的正實(shí)數(shù)，使得存在正整數(shù)及個(gè)互不相交的無(wú)限集合，，…，滿(mǎn)足∪∪…∪=Z，而且對(duì)于每個(gè)中的任意兩數(shù)>，都有-≥.2005年女子數(shù)學(xué)奧林匹克第二天2005年8月13日上午800～1200長(zhǎng)春數(shù)學(xué)競(jìng)賽，它對(duì)牢固基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展智力，培養(yǎng)拔尖人才，是一件具有戰(zhàn)略意義的活動(dòng)。——華羅庚5.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足+=x-y,求證：6.設(shè)正整數(shù)n≥3，如果在平面上有n個(gè)格點(diǎn)滿(mǎn)足：當(dāng)和為有理數(shù)時(shí)，存在，使得和均為無(wú)理數(shù);當(dāng)(1)求最小的好數(shù)；為無(wú)理數(shù)時(shí)，存在,使得均為有理數(shù)，那么稱(chēng)n是“好數(shù)”.(2)問(wèn)：2005是否為好數(shù)？7.設(shè)m，n是整數(shù)，m>n≥2,S={1,2,…,m},T={整除S中的任何一個(gè)數(shù)，求證：,…,}是S的一個(gè)子集.已知T中的任兩個(gè)數(shù)都不能同時(shí)8.給定實(shí)數(shù)a,b,a>b>0,將長(zhǎng)為a寬為b的矩形放入一個(gè)正方形內(nèi)(包含邊界)，問(wèn)正方形的邊至少為多長(zhǎng)？【題1】證：如圖，連接BK，CJ.∠E=∠ABP—∠BPE，而由A，B，P，C四點(diǎn)共圓，知∠BPE=∠A，故∠E=ABP—∠A，又由KA=KB，知∠A=∠ABK,故∠E=∠ABP—∠ABK=∠KBF.①同理∠F=∠JCE.②由①，②得△JEC∽△KBF.由此，③④將③，④兩式的左端和右端分別相乘即得結(jié)論.【題2】解法一：①式可化為.③顯然x，y，z同號(hào).首先求正數(shù)解.存在α，β，γ∈(0，π)，使得x=tan，y=tan，z=tan，則sinα=,sinβ=,sinγ=,③即.④②式可化為,即.注意z≠0,xy≠1，因?yàn)棣?，β，γ?0，π)，所以,即α+β+γ=π.從而α，β，γ是某個(gè)三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角.由④和正弦定理知，α,β,γ所對(duì)的邊a，b，c的比是5∶12∶13，所以，.從而x=tan=或5，y=tan，z=tan.將z=1代入②式，易知x和y均小于1.所以是唯一正數(shù)解.故原方程組有兩組解：.解法二：顯然x，y，z同號(hào).由②得x=，代入①得，即5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz),5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).同理整理得12y2z+17yz2=7y+12z,18y2z+13yz2=13y+8z,兩式相加，得30yz(y+z)=20(y+z),∴yz=,代入①解得z=±1.故原方程組有兩組解：【題3】解：存在，如下圖所示。【題4】解：若0<a<2,n充分大時(shí)，>,令1,2，…,n-1,的倍數(shù)}，則該分拆滿(mǎn)足要求。若a≥2,設(shè),,…滿(mǎn)足要求，令M={1，2，…，}，下證≤.設(shè)={.∴m-1<,即m<+1,故m≤.1,2,…,n為M的一個(gè)分拆，故矛盾.∴所求的a為所有小于2的正實(shí)數(shù).【題5】證：由平均不等式,所以從而,.【題6】解：我們斷言最小的好數(shù)為5，且2005是好數(shù).在三點(diǎn)組()中，若為有理數(shù)(或無(wú)理數(shù))，和為無(wú)理數(shù)(或有理數(shù))，我們稱(chēng)()為一個(gè)好組.(1)n=3顯然不是好數(shù).n=4也不是好數(shù).若不然，假設(shè))為一好組.顯然(滿(mǎn)足條件，不妨設(shè)為有理數(shù)及()為一好組，則(不能滿(mǎn)足條件.矛盾!)和()均不是好組.所以n=5是好數(shù).以下五個(gè)格點(diǎn)滿(mǎn)足條件：={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.(2)設(shè)A={(1，0)，(2，0)，…，(669，0)}.B={(1，1)，(2，1)，…，(668，1)}.C={(1，2)，(2，2)，…，(668，2)}..對(duì)任意正整數(shù)n，易證和不是完全平方數(shù).不難證明，對(duì)于集合中任兩點(diǎn)為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)與某一坐標(biāo)軸平行.所以，2005是好數(shù).注：當(dāng)n=6時(shí)，；當(dāng)n=7時(shí)，.則可驗(yàn)證n=6和7均為好數(shù).當(dāng)n≥8時(shí)，可像n=2005那樣排成三行，表明n≥8時(shí)，所有的n都是好數(shù).【題7】證：構(gòu)造則,由于T中任意兩個(gè)數(shù)都不能同時(shí)整除S中的一個(gè)數(shù)，所以當(dāng)i≠j時(shí)，.則≤m.,又因?yàn)樗约?,所以.【題8】解：設(shè)長(zhǎng)方形為ABCD，AB=a,BC=b，中心為O.以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，x軸、y軸分別與正方形的邊平形.情形1：線(xiàn)段BC與坐標(biāo)軸不相交.不妨設(shè)BC在第一象限內(nèi)，∠BOX≤(90°-∠BOC)(圖1).此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)≥BDcos∠BOX≥BDcos=BDcos45°cos∠BOC+BDsin45°sin∠BOC=(a+b).所以此時(shí)所在正方形邊長(zhǎng)至少為(a+b).情形2：線(xiàn)段BC與坐標(biāo)軸相交.不妨設(shè)BC與x軸相交，不妨設(shè)∠