第28課時(shí)直角三角形和勾股定理

第28課時(shí)直角三角形和勾股定理一、知識(shí)鏈接1．直角三角形的概念定義：有一個(gè)角是的三角形叫做直角三角形，其中夾直角的兩邊叫做，另一條邊叫做。2．直角三角形的性質(zhì)〔1〕直角三角形的兩個(gè)銳角；〔2〕直角三角形中，30°的銳角所對(duì)直角邊等于；〔3〕在直角三角形中，如果有一條直角邊等于，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°；〔4〕直角三角形中，斜邊上的中線等于。3．直角三角形的判定〔1〕兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；〔2〕一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。4．勾股定理及逆定理定理：如果直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為，那么。逆定理：如果三角形的三邊長滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。二、基訓(xùn)熱身1．如圖1，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米.2.如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么AP長不可能是〔〕A．B．C．D．7〔〔圖1〕〔圖2〕3．〔2022?衢州〕將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，那么三角板的最大邊的長為〔〕A．3cmB．6cmC．cmD．cm4．如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，假設(shè)以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔〕A．〔2，0〕B．〔〕C．〔〕D．〔〕AABCDM-1012三、中考教練類型一：直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用【例1】〔2022?張家界〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)．假設(shè)BD=2，那么AC的長是〔〕A．4B．C．8D．【點(diǎn)析】解決此題的關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=CD，進(jìn)一步得到∠BCD＝30°，利用含30度角的直角三角形進(jìn)行計(jì)算?！痉磻?yīng)1】在某山區(qū)需要修建一條高速公路，在施工過程中要沿直線AB打通一條隧道，施工前為了測(cè)量隧道BC的長度，施工單位設(shè)計(jì)了如下圖的測(cè)量方案：測(cè)得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=400m。那么根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出隧道BC的長為m．【例2】〔2022?漳州〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AC,垂足為E，假設(shè)DE=2，CD=,那么BE的長為_?！军c(diǎn)析】解決此題的關(guān)鍵是抓住D、E這兩個(gè)中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算?！痉磻?yīng)2】如圖，△ABC中，CD為中線，且AC＝CD＝1㎝，那么三角形ABC的面積為。類型二勾股定理的計(jì)算【例3】〔2022廣州〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，那么點(diǎn)C到AB的距離是〔〕A．B．C．D．【反應(yīng)3】如圖，△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=4，那么BC等于〔〕A．6 B．C．8 D．類型三折疊問題【例4】〔2022·荷澤〕如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8，在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo).【點(diǎn)析】根據(jù)折疊問題及矩形的性質(zhì)，可以利用勾股定理求出線段的長來確定點(diǎn)的坐標(biāo).【反應(yīng)4】〔2022?宜賓〕如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，那么EB′=．類型四最短路徑問題【例5】〔2022?涼山〕如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，那么螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為20cm．【點(diǎn)析】最短路徑問題要通過幾何體的平面展開圖來看，利用兩點(diǎn)之間線段最短并結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算?！痉磻?yīng)5】如圖，圓錐的母線長為４，底面半徑為１，假設(shè)一小蟲Ｐ從點(diǎn)Ａ開始繞著圓錐外表爬行一圈到SA的中點(diǎn)Ｃ，求小蟲爬行的最短距離。四、總分值訓(xùn)練一、選擇題1.〔2022·來賓〕三組數(shù)據(jù)：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長，構(gòu)成直角三角形的有〔〕A．②B．①②C．①③D．②③2.〔2022·河池〕∠B=300〔〕A．1B．8C．5D．3．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，那么tan∠CBE的值是〔〕A．B．C．D．4.如圖，A、B、C分別表示三個(gè)村莊，AB=100米，BC=600米，AC=800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文明活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，那么活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在〔〕A．AB中點(diǎn)B．BC中點(diǎn)C．AC中點(diǎn)D．∠C的平分線與AB的交點(diǎn)5．〔2022?眉山〕如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點(diǎn)D、E為BC邊上的兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，連接EF、BF，那么以下結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正確的有〔〕個(gè)．A．1B．2C．3D．4二、填空題6．〔2022?涼山州〕一個(gè)直角三角形的兩邊的長分別是3和4，那么第三邊長為．7．〔2022?甘肅〕，等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，那么BC邊上的高是cm．8．〔2022?威?！橙鐖D，有一直角三角形紙片ABC，邊BC=6，AB=10，∠ACB=90°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，那么四邊形DBCE的周長為．9．〔2022·陜西〕如圖，從點(diǎn)發(fā)出的一束光，經(jīng)軸反射，過點(diǎn)，那么這束光從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過路徑的長為．AABC(A)DEAOBC·xy〔第8題〕〔第9題〕AABC(A)DE10．〔2022新疆〕如下圖，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積，S2=2π，那么S3是．11．〔2022·菏澤〕如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，∠AEB=45°，BD=2，將△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內(nèi)，假設(shè)點(diǎn)B的落點(diǎn)記為B′，那么DB′的長為．三、解答題12．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求證：AD=AE；〔2〕假設(shè)AD=8，DC=4，求AB的長．13．小汽車在某段道路上行駛速度不得超過km/h。如圖，一輛小汽車在該道路上直線勻速行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方m處，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為m，這輛小汽車超速了嗎？BBA小汽車小汽車C觀測(cè)點(diǎn)14．：如圖，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)．求證：〔1〕；ADBCE〔ADBCE15．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接DE。〔1〕求證：△ABE≌△DFA；〔2〕如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值。一、知識(shí)鏈接1．直角，直角邊，斜邊2．〔1〕互余；〔2〕斜邊的一半；〔3〕斜邊的一半；〔4〕斜邊的一半4．，二、基訓(xùn)熱身1．82．D3．D4．C三、中考教練例1．B；反應(yīng)1．例2．反應(yīng)2．例2．A反應(yīng)3．D例4．解：依題意可知，折痕是四邊形的對(duì)稱軸，∵在中，∴,∴，∴在中，，又由折疊可知,設(shè)那么解得∴，∴反應(yīng)4．例5解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，那么A′B即為最短距離，㎝反應(yīng)5．解：圓錐側(cè)面展開圖如下圖∵，∴AA〔P〕SC四、總分值訓(xùn)練1－5：DACAC6．5或7．88．189．10．11．12．解：〔1〕連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴AD=AE；〔2〕∵△ADC≌△AEC∴AD=AE，DC=EC，設(shè)AB=x，那么BE=，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：解得：x=10，∴AB