大學(xué)物理課件：第3章 剛體力學(xué)CX-01

第三章剛體力學(xué)本章教學(xué)要求第三章剛體力學(xué)能用學(xué)過(guò)的物理原理定性地解釋有關(guān)現(xiàn)象（如強(qiáng)烈地震發(fā)生時(shí)地球的轉(zhuǎn)速變快了還是變慢了？再如，2011年3月19日人類看到了19年來(lái)最大的月亮，號(hào)稱“超級(jí)月亮”，此時(shí)月亮的轉(zhuǎn)速與遠(yuǎn)地點(diǎn)轉(zhuǎn)速有何不同？）理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念。掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用。掌握質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒的條件，會(huì)判斷質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒。會(huì)舉出角動(dòng)量守恒的例子并能解釋其原因。會(huì)判斷剛體角動(dòng)量守恒，并會(huì)舉出角動(dòng)量守恒的例子。本章主要內(nèi)容第一部分二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：

剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)。一、剛體的定義:

外力作用下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。3.角速度1.角坐標(biāo)（角位置）（運(yùn)動(dòng)方程）2.角位移4.角加速度三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三大特點(diǎn)1、每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)；2、任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度、角加速度都相同。3、運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)。五、力矩1、剛體受合力為零，合力矩一定等于零嗎？2、合外力矩：等于各外力矩的代數(shù)和。3、內(nèi)力的力矩?zé)o需考慮。4、力的作用線穿過(guò)轉(zhuǎn)軸或力的作用線和轉(zhuǎn)軸平行，兩種情況下，都不改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。六、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律七、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)因素

1.剛體自身的性質(zhì)如質(zhì)量、大小和形狀；2.質(zhì)量的分布(質(zhì)量分布越靠近邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大)；3.轉(zhuǎn)軸的位置（對(duì)不同的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同）。八、力矩的功九、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能十、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理十一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理十二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量十三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理十四、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律恒矢量若如果對(duì)于某一參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。十六、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理十五.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)123456789直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照歸納第二部分實(shí)例分析和討論一飛輪作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，在5s內(nèi)角速度由40prad·s-1減到10prad·s-1，則飛輪在這5s內(nèi)總共轉(zhuǎn)過(guò)了圈，飛輪再經(jīng)圈的時(shí)間才能停止轉(zhuǎn)動(dòng)。62.51.67已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程A、B為常量。求：(1)角速度；(2)角加速度；(3)剛體上距軸為r的一質(zhì)點(diǎn)的加速度。解：

(1)(2)(3)距軸為r的一質(zhì)點(diǎn)加速度（為加速度與速度的夾角）例題PQRSOO′如圖所示，P、Q、R和S是附于剛性輕質(zhì)細(xì)桿上的質(zhì)量分別為4m、3m、2m和m的四個(gè)質(zhì)點(diǎn)，PQ＝QR＝RS＝l，則系統(tǒng)對(duì)OO′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為50ml2討論一長(zhǎng)為l、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞通過(guò)其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始桿與水平方向成某一角度，處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放后，桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M＝________，此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大小

＝________。例題)一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：軸過(guò)中心垂直于棒轉(zhuǎn)軸與棒平行軸過(guò)

點(diǎn)垂直于棒軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒討論有一質(zhì)量為m、半徑R的均勻細(xì)圓環(huán)，轉(zhuǎn)軸通過(guò)圓心并與環(huán)面垂直，求通過(guò)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。一質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心O并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)盤(pán)質(zhì)量面密度為,在盤(pán)上取半徑為r,寬為dr的圓環(huán)解：ROmdmRO繼續(xù)比較比較一質(zhì)量為m、半徑為R、厚度為h的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心O并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：在盤(pán)上取半徑為r、寬為dr、厚度為h的圓環(huán)RO對(duì)于圓柱體也有類似的結(jié)果一質(zhì)量為m、厚度為h、內(nèi)外半徑分別R1和R2為均勻圓筒，求通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。體密度比較h關(guān)于剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，下列說(shuō)法中正確的是：(A)

只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無(wú)關(guān)。

(B)

取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無(wú)關(guān)。(C)

取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。(D)

只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無(wú)關(guān)。討論問(wèn)：1）這兩物體的線加速度為多少?水平和鉛直兩段繩索的張力為多少？

2）B下落距離y

時(shí)速率為多少？質(zhì)量為mA的物體A靜止在光滑的水平面上，它和一輕繩索相連接，此繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB的物體B上，繩子不可伸長(zhǎng)，繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例題BCA解：受力分析列方程求解B2）物體B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)CAA：B：C：滑輪可看成質(zhì)量均勻分布的等厚圓盤(pán)，其質(zhì)量為M，半徑為r，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求：一輕繩跨過(guò)一軸承光滑的定滑輪,繩兩邊分別懸有質(zhì)量為

m1

和m2的物體A和B，已知。（1）物體的加速度、滑輪的角加速度和繩的張力；（2）若B物體從靜止開(kāi)始下落，求t時(shí)刻B物體的速度；（3）若B物體從靜止開(kāi)始下落，求下落高度為H時(shí)B物體的速度；例題m1m2rMAB解：受力分析M：m2:m1:m1m2MABm1gm2gFT1FT2NMg規(guī)定正方向（滑輪順時(shí)針為正）FT1FT2(2)若B物體從靜止開(kāi)始下落，求t時(shí)刻B物體的速度(3)B物體從靜止開(kāi)始，下落高度為H時(shí)的速度：思考上題中所給其它條件不變，若滑輪受到的阻力矩為，上題中所列方程有何變化？MFT1FT2NMgm1m2ABm1gm2gFT1FT2m2:m1:M：(滑輪逆時(shí)針為正)(滑輪順時(shí)針為正)討論結(jié)論：規(guī)定一個(gè)統(tǒng)一的正方向即可。m2解：以輪子順時(shí)針為正m2gTm1gNTm1R輪子質(zhì)量m1，半徑R，輪子與軸摩擦不計(jì)，繩子不可伸長(zhǎng)，繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求m2的加速度a；輪子的角加速度β。例題？一長(zhǎng)為l質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定點(diǎn)O相接,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。求細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度。解：細(xì)桿受兩個(gè)力(如圖)m,lmgol/2例題質(zhì)量為m1和m2的兩物體分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端，兩輪半徑分別為R和r，兩輪的質(zhì)量分別為M和m，繩索與輪間的無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求兩物體的加速度和繩的張力。

m1m2ArRB解：（1）確立研究對(duì)象，分別進(jìn)行受力分析Bm2gT2Am1gT1T2T1例題（2）根據(jù)受力特征，結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列方程對(duì)滑輪組：對(duì)物體A：對(duì)物體B：聯(lián)立求解，得：(D)無(wú)法判斷(A)變大(B)不變；(C)變小；F=mg一輕繩繞在具有水平轉(zhuǎn)軸的定滑輪上，繩下端掛一物體，物體的質(zhì)量為m，此時(shí)滑輪的角加速度為，若將物體卸掉，而用大小等于mg

、方向向下的力拉繩子，則滑輪的角加速度將例題RmgR重力作功：一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。由動(dòng)能定理：或機(jī)械能守恒：解：例題)勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能勢(shì)能動(dòng)能X軸沿水平方向，Y軸豎直向下，Z軸垂直板面向里。在t=0時(shí)將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由A處?kù)o止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)O的力矩

=在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量

=。大?。捍笮。憾x：定義：例題yxoAbt

時(shí)刻角動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量守恒定律一樣，是自然界的一條最基本、最普遍的定律。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律恒矢量若（L2=L1）有心力如質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),合力指向圓心,故其合力矩為零。在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的對(duì)力心的角動(dòng)量均守恒，例如：太陽(yáng)系中的行星討論一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)A．它的動(dòng)量不變，對(duì)圓心的角動(dòng)量也不變B．它的動(dòng)量不變，對(duì)圓心的角動(dòng)量不斷改變C．它的動(dòng)量不斷改變，對(duì)圓心的角動(dòng)量不變D．它的動(dòng)量不斷改變，對(duì)圓心的角動(dòng)量也不斷改變v大小不變，但方向在變故：動(dòng)量變化例題角動(dòng)量守恒例子I：跳水運(yùn)動(dòng)員在空中如何提高轉(zhuǎn)速？II：花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員如何提高轉(zhuǎn)速？討論剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)：剛體上距轉(zhuǎn)軸為r的任一點(diǎn)的(A)切向、法向加速度的大小均隨時(shí)間變化(B)切向、法向加速度的大小均保持恒定(C)切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小變化(D)切向加速度的大小變化，法向加速度的大小恒定勻變速恒量質(zhì)點(diǎn)作勻速和變速圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒嗎？變化變化勻速變速不變不變變化變化例題思考題解：以兩圓盤(pán)為系統(tǒng)，盡管在銜接過(guò)程中有重力、軸對(duì)圓盤(pán)支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤(pán)間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。A、B兩圓盤(pán)繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為。已知兩圓盤(pán)半徑和質(zhì)量分別為RA,RB,mA,mB。

試求兩圓盤(pán)對(duì)心銜接后的角速度。

例題如圖，一勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過(guò)上端與桿垂直的水平光滑軸O旋轉(zhuǎn)，初始狀態(tài)為靜止懸掛?，F(xiàn)有一個(gè)小球自左方水平打擊細(xì)桿。設(shè)小球與細(xì)桿之間為非彈性碰撞，則在碰撞過(guò)程中對(duì)細(xì)桿與小球這一系統(tǒng)：(A)只有機(jī)械能守恒(B)只有動(dòng)量守恒(C)只有對(duì)轉(zhuǎn)軸O的角動(dòng)量守恒(D)機(jī)械能、動(dòng)量和角動(dòng)量均守恒例題O守恒條件：小球與細(xì)桿之間為非彈性碰撞在碰撞過(guò)程中，O點(diǎn)拉力及重力的力矩為零在碰撞過(guò)程中有外力作用：O點(diǎn)拉力長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過(guò)桿一端O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ml2/3，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示。有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入桿上A點(diǎn)，并嵌在桿中，OA＝2l/3，則子彈在射入后瞬間桿的角速度OA角動(dòng)量守恒射入前角動(dòng)量：射入后角動(dòng)量：＝子彈＝子彈+桿例題質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的棒，可繞通過(guò)棒中心且與棒垂直的豎直光滑固定軸O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝ml2/12)。開(kāi)始時(shí)棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是m，在水平面內(nèi)以速度v0垂直射入棒端并嵌在其中。則子彈嵌入后棒的角速度w＝Omml俯視圖3v/2l角動(dòng)量守恒射入前角動(dòng)量＝射入后角動(dòng)量＝＝子彈＝子彈+桿例題如圖所示，一個(gè)小物體，位于光滑的水平桌面上，與一繩的一端相連結(jié)，繩的另一端穿過(guò)桌面中心的小孔O，該物體原以角速度

在半徑為R的圓周上繞O旋轉(zhuǎn)。今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體(A)動(dòng)能不變，動(dòng)量改變(B)動(dòng)量不變，動(dòng)能改變(C)角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變(D)角動(dòng)量改變，動(dòng)量改變(E)角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變

O緩慢不變變短物體受到向心力力矩為零角動(dòng)量守恒不守恒例題花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞通過(guò)自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)兩臂伸開(kāi)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為，然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為，這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)?D)(A)(B)(C)∵角動(dòng)量守恒∴伸臂前角動(dòng)量＝收臂后角動(dòng)量伸臂前角動(dòng)量＝收臂后角動(dòng)量=例題光滑的水平桌面上，有一長(zhǎng)為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

，起初桿靜止。桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對(duì)著桿的一端，以相同速率v相向運(yùn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)兩小球同時(shí)與桿的兩個(gè)端點(diǎn)發(fā)生完全非彈性碰撞后，就與桿粘在一起轉(zhuǎn)動(dòng)，則這一系統(tǒng)碰撞后的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度應(yīng)為(A)(B)(C)(D)(E)∵角動(dòng)量守恒∴碰撞前角動(dòng)量＝碰撞后角動(dòng)量