高中數(shù)學(xué)高考2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文數(shù)試題精編版（解析版）

絕密★啟封并使用完畢前試題類型：A注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分?？荚嚂r間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆填寫，用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號對應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑。2．每小題選出答案后，將答題卡上對應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑，黑度以蓋住框內(nèi)字母為準(zhǔn)，修改時用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【2013高考北京文第1題】已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，則A∩B＝()．A．{0}B．{－1,0}C．{0,1}D．{－1,0,1}【答案】B考點(diǎn)定位：本題考查集合運(yùn)算，運(yùn)用集合的交集運(yùn)算定義，求出兩個集合的交集.【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題，集合的運(yùn)算主要有：交集、并集、補(bǔ)集。首先要落實(shí)每個集合所表示元素屬性，是數(shù)集還是點(diǎn)集？如果是數(shù)集，是有限數(shù)集，還是無限數(shù)集？有限數(shù)集運(yùn)算利用韋恩圖作為工具，無限數(shù)集運(yùn)算利用數(shù)軸作為工具.點(diǎn)集運(yùn)算工具為直角坐標(biāo)系.2．【2013高考北京文第2題】設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則()．A．a(chǎn)c＞bcB．C．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)3＞b3【答案】D考點(diǎn)定位：本題考查不等式的性質(zhì)，差值比較法.【名師點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，差值比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較兩個實(shí)數(shù)大小的方法很多，可以利用不等式的性質(zhì)，也可以利用比較法，也可用函數(shù)單調(diào)性等3．【2013高考北京文第3題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()．A．B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|【答案】C【解析】A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)雖為偶函數(shù)但在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性,本題屬于基礎(chǔ)題.利用函數(shù)的奇偶性的定義或圖象可以判斷函數(shù)的奇偶性，但應(yīng)注意要求函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；研究函數(shù)的單調(diào)性可以利用學(xué)過的函數(shù)，如，，在上均為減函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性也可用定義、圖象，也可借助導(dǎo)數(shù).4．【2013高考北京文第4題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2－i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】試題分析：i(2－i)＝1＋2i，其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為(1,2)，該點(diǎn)位于第一象限，故選A.考點(diǎn)定位：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，準(zhǔn)確進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，注意.【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題，數(shù)的概念的擴(kuò)充部分主要知識點(diǎn)有：復(fù)數(shù)的概念、分類，復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算，運(yùn)算時注意，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,近幾年高考主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法，求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的虛部、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的位置等.5．【2013高考北京文第5題】在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，則sinB＝()．A．B．C．D．1【答案】B考點(diǎn)定位：本題考查解三角形有關(guān)的問題，重點(diǎn)考查正弦定理在解三角形時的應(yīng)用.名師點(diǎn)睛：本題考查解三角形有關(guān)的問題，重點(diǎn)考查正弦定理。本題屬于基礎(chǔ)題，是備考時突出訓(xùn)練的題型。這種題學(xué)生很容易入手.近幾年高考大多以考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)圖象變換、三角函數(shù)的和、差、倍角公式的計(jì)算，特別是利用正弦定理、余弦定理解三角形.6．【2013高考北京文第6題】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為()．A．1B．C．D．【答案】C考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為程序框圖，要求會準(zhǔn)確運(yùn)行程序【名師點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的程序運(yùn)行，本題為基礎(chǔ)題，掌握循環(huán)程序的運(yùn)行方法，框圖以賦值框和條件框?yàn)橹?，按照框圖箭線方向和每個框的指令要求運(yùn)行，注意條件框的要求是否滿足，運(yùn)行程序時要準(zhǔn)確.三視圖問題，是進(jìn)年高考熱點(diǎn)，屬于必考題，是高考備考的重點(diǎn)，也是學(xué)生必須掌握需要得滿分的題目，需要加強(qiáng)訓(xùn)練的題型.7．【2013高考北京文第7題】雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是()．A．m＞B．m≥1C．m＞1D．m＞2【答案】C【解析】試題分析：該雙曲線離心率，由已知，故m＞1，故選C.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為雙曲線的離心率和充要條件的有關(guān)知識.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率和充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題給出雙曲線方程，借助離心率公式表示出離心率，利用離心率大于，求出的范圍，高考試題中經(jīng)?？疾闄E圓、雙曲線、拋物線等有關(guān)知識，涉及圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，考查離心率的居多.8．【2013高考北京文第8題】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點(diǎn)，PA．3個B．4個C．5個D．6個【答案】B故共有4個不同取值，故選B.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為空間兩點(diǎn)間的距離.【名師點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離，本題屬于基礎(chǔ)題，借助空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離；本題也可用傳統(tǒng)方法利用勾股定理求出兩點(diǎn)間的距離.第Ⅱ卷（110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填寫在題中橫線上。9．【2013高考北京文第9題】若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝__________；準(zhǔn)線方程為__________．【答案】2x＝－1考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為拋物線的有關(guān)知識.【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的有關(guān)知識，本題屬于基礎(chǔ)題，本題涉及拋物線的定義和幾何性質(zhì)，特別是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程等，解答時要注意拋物線的開口方向，焦點(diǎn)位置和坐標(biāo)特點(diǎn)，準(zhǔn)線方程的形式，高考試題中經(jīng)?？疾闄E圓、雙曲線、拋物線等有關(guān)知識，涉及圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)等知識點(diǎn).10．【2013高考北京文第10題】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為__________．【答案】3【解析】試題分析：由三視圖知該四棱錐底面為正方形，其邊長為3，四棱錐的高為1，根據(jù)體積公式V＝×3×3×1＝3，故該棱錐的體積為3.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為利用三視圖還原幾何體及求幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及求幾何體的體積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，本題中的幾何體為一個四棱錐，借助三視圖中的數(shù)據(jù)，求出四棱錐的體積，三視圖問題為近年高考熱點(diǎn)，是必考題，是高考備考的重點(diǎn)，近幾年出題難度逐年增加.11．【2013高考北京文第11題】若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝__________；前n項(xiàng)和Sn＝__________.【答案】22n＋1－2考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為等比數(shù)列有關(guān)知識【名師點(diǎn)睛】本題考查等數(shù)比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，利用等數(shù)比列的通項(xiàng)公式，列出方程求出首項(xiàng)和公比.然后利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)和，這類問題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識，大多利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式通過列方程或方程組就可以解出.12．【2013高考北京文第12題】設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為__________．【答案】【解析】試題分析：區(qū)域D表示的平面部分如圖陰影所示：根據(jù)數(shù)形結(jié)合知(1,0)到D的距離最小值為(1,0)到直線2x－y＝0的距離.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為利用線性規(guī)劃的基本方法，求目標(biāo)函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃解題的基本方法，本題屬于基礎(chǔ)題,要求依據(jù)二元一次不等式組準(zhǔn)確畫出可行域，由于求區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值，所以問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(1,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的最小值，問題化為求點(diǎn)(1,0)到直線2x－y＝0的距離，線性規(guī)劃考試題型有兩種，一種是求目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍，但目標(biāo)函數(shù)變化多樣，有截距型、距離型、斜率型等；另一種是線性規(guī)劃逆向思維型，提供目標(biāo)函數(shù)的最值，反求參數(shù)的范圍，本題屬于第二類，對可行域提出相應(yīng)的要求，求參數(shù)的取值范圍.13．【2013高考北京文第13題】函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開_________．【答案】(－∞，2)考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為分段函數(shù)與函數(shù)的值域.【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)與函數(shù)的值域，本題屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)分段函數(shù)分段處理原則，首先研究時，的值域，然后研究時，的值域，并集就是所求函數(shù)的值域。分段函數(shù)問題很多，涉及求函數(shù)值和反求自變量值，解方程和解不等式，函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷，有的還涉及周期性等，是高考命題高頻點(diǎn)。求函數(shù)值域要掌握圖象法、換元法、配方法、分離常數(shù)法、判別式法等基本方法.14．【2013高考北京文第14題】已知點(diǎn)A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面區(qū)域D由所有滿足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為__________．【答案】3考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為平面向量與線性規(guī)劃有關(guān)知識.【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量與線性規(guī)劃有關(guān)知識,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出變量間的關(guān)系，利用題目提供的的范圍求出變量所滿足的要求，問題轉(zhuǎn)化為畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問題，最后求出面積。本題是平面向量與線性規(guī)劃綜合題，近年高考試題，喜歡在兩個或幾個知識交匯點(diǎn)命題，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識，靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．【2013高考北京文第15題】(本小題共13分)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為三角恒等變形及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用三角函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，包括周期、最值、單調(diào)性等．【名師點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，先把函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，熟練使用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)式化為標(biāo)準(zhǔn)的的形式，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等，但要注意求最值要給出自變量的取值.三角函數(shù)問題考查可分三類，一為三角函數(shù)和、差、倍角公式及恒等變形的考查，二是三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考查，三是利用正、余弦定理及面積公式解三角形方面的考查.16．【2013高考北京文第16題】(本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；(2)求此人在該市停留時間只有1天空氣重度污染的概率；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)果不要求證明)考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為列舉法求古典概率問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率問題，本題屬于中檔題，本題前兩步考查等可能事件的概率求法，第三步考查學(xué)生對方差定義本質(zhì)的理解，要求學(xué)生對文字和圖形閱讀理解準(zhǔn)確。概率問題為近幾年高考必考問題，分為古典概型、幾何概型兩種，計(jì)算古典概型時，首先利用列舉法或列表法列舉所有基本事件，求出基本事件種數(shù)，再找出符合條件要求的基本事件種數(shù)，利用等可能事件概率公式求出概率.幾何概型要分清是線段型（一維），面積型（二維），體積型（三維），然后按幾何概型概率公式求出概率.17．【2013高考北京文第17題】(本小題共14分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.所以平面BEF⊥平面PCD.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為線面平行、線面垂直、面面垂直的證明，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的證明，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.本題屬于中檔題，要求學(xué)生掌握空間線線、線面、面面的平行與線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)，證明線面平行方法有兩種，一是從線線平行推出線面平行（判定定理），二是從面面平行推出線面平行，無論哪種方法，都要尋求線線平行，所以證明時注意利用中點(diǎn)-中位線，平行四邊形等；證明線面垂直方法有兩種，一是利用線面垂直的判定定理，二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；證明面面垂直時，運(yùn)用面面垂直的判定定理，尋求線面垂直，注意線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化；空間直線與平面問題既是高考必考問題，也是考生容易得分問題，備考時應(yīng)高度重視.18．【2013高考北京文第18題】已知函數(shù).(Ⅰ)若曲線在點(diǎn))處與直線相切,求與的值.(Ⅱ)若曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn),求的取值范圍.由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào),所以當(dāng)時曲線與直線有且只有兩個不同交點(diǎn).綜上可知,如果曲線與直線有且只有兩個不同交點(diǎn),那么的取值范圍是.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，函數(shù)圖象交點(diǎn)等問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)，涉及導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，函數(shù)圖象交點(diǎn)等問題.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的銳利工具，借助導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值和最值，研究函數(shù)的零點(diǎn)，研究函數(shù)圖像的位置等.由于導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，所以成為高考命題的熱點(diǎn)，每年必考，花樣繁新.19．【2013高考北京文第19題】(本小題共14分)直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形．考點(diǎn)：橢圓離心率，橢圓方程考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為直線與橢圓相關(guān)知識【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相關(guān)知識，屬于中偏難題目，解決直線與圓錐曲線問題，首先要把問題分析清楚，如本題的第一步，由于四邊形OABC為菱形，B為橢圓短軸端點(diǎn)，利用菱形對角線互相垂直平分，所以巧設(shè)A是解題的關(guān)鍵，其次解決直線與圓錐曲線問題，要求學(xué)生要學(xué)會設(shè)