高數(shù)1-5章1-2節(jié) 《定積分的概念與性質(zhì)微積分基本公式》 課件

第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)

第五章一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n

個(gè)小段過(guò)的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分定義(P226)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論2.證:即7.

設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

積分中值定理對(duì)因例4.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算思考與練習(xí)1.

用定積分表示下述極限:解:或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束微積分基本公式

第五章一、引例在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.

若說(shuō)明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

求解:原式說(shuō)明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得（p243例8)例3.證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(p243例7）

三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù),則例5.

計(jì)算解:例6.

計(jì)算正弦曲線的面積（p241例4）.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(p241例2）例7.

汽車(chē)以每小時(shí)36

km的速度行駛,速停車(chē),解:

設(shè)開(kāi)始剎車(chē)時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車(chē)速度剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛,其速度為當(dāng)汽車(chē)停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)所走的距離為剎車(chē),問(wèn)從開(kāi)始剎到某處需要減設(shè)汽車(chē)以等加速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束車(chē)到停車(chē)走了多少距離?（p242例5）內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.求解：的遞推公式(n為正整數(shù)).由于