高數(shù)1-7章 1-2節(jié) 《微分方程的基本概念可分離變量的微分方程》 課件

*微分方程第七章—積分問題—微分方程問題

推廣*一、微分方程的發(fā)展歷史

方程對(duì)于學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)等式，然后去求方程的解。

*在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式－－即求解微分方程。*

牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。

常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時(shí)，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。*二、微分方程的研究方法

研究微分方程一般有五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的方程是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問題。3、微分方程解析理論

由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn)特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了微分方程解析理論。*5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論1900年，希爾伯特提出的23個(gè)問題中的第16個(gè)問題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法二、微分方程的研究方法*微分方程的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題

第七章*引例1.一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:設(shè)列車在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*1.微分方程---凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。*

附注：一個(gè)關(guān)系式要成為微分方程，要求該關(guān)系式中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，但其中的自變量或未知函數(shù)可以不顯含.如果一個(gè)關(guān)系式中不顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，則這樣的關(guān)系式就不能成為微分方程，例如就不是微分方程.實(shí)際上，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道，它是一個(gè)函數(shù)方程.*

本課程主要研究常微分方程.同時(shí)把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程.2微分方程的分類2.1常微分方程與偏微分方程偏微分方程___

如果自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程，如就是偏微分方程.常微分方程___如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程，如上面例1以及例2中的

就是常微分方程.

*2.2微分方程的階

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).是一階微分方程；是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.是一階微分方程.在上面例中，*(n

階顯式微分方程)一般地,n

階常微分方程的形式是或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*引例2—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例1.

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.

是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*求所滿足的微分方程.例2.已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束*轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程

第七章*1變量分離方程的概念先看例子：*定義1：如果一階微分方程中的可以寫成的形式，即則稱這樣的微分方程為變量（可）分離的微分方程。特點(diǎn)：右端是只含的函數(shù)和只含的函數(shù)的乘積。分別為的連續(xù)函數(shù)。一般假設(shè)*當(dāng)時(shí)，它可以寫成且稱這樣的微分方程為變量(已)分離的微分方程。的函數(shù)，左端是只含的函數(shù)。特點(diǎn)：右端是只含

變量（可）分離的微分方程和變量已分離的微分方程統(tǒng)稱變量分離方程。*分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時(shí),說明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時(shí),上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例4：*例5：*例6：此題結(jié)論對(duì)以后求線性方程有用,希望大家能記?。?！*例7：**例8：*例9.子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)瓩C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例10.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*例11.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h

隨時(shí)間

t

的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由

h

降到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*對(duì)應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*兩端積分,得利用初始條件,得因此容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間

t

有下列關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*變量分離方程的一般解題步驟*

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系