與圓的有關的位置

與圓的有關的位置關系——切線的證明與有關的計算（一）切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線叫圓的切線。

（二)切線的性質

圓的切線垂直于過且切點的半徑。

（三)切線的判定

①和圓只有唯一公共點的直線是圓的切線。

②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線。

③經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（四）證明圓的切線規(guī)律總結：

①當直線與圓未說明有公共點時，①證明直線與圓相切，需要過圓心作直線的垂線段，證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，簡單記為“作垂直，證明等”。

②當題中明確指明了直線和圓有公共點時，采用②證明相切，先連接圓心和已知公共點，再證明這條半和直線垂直，簡記為“連半徑，證垂直”。

③要證明是圓的切線的直線與圓有公共點，且存在連接公共點的半徑，此時可直接根據經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線來證明?？谠E是“見半徑證垂直”。練習1、（2010內蒙赤峰）⊙O的圓心到直線L的距離為3cm，⊙O的半徑為1cm，將直線L向右（垂直于l的方向）平移，使L與⊙O相切，則平移的距離是()A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm2、（2010湖南婁底）在平面直角坐標系中，以點（3，2）為圓心、3為半徑的圓，一定（）

A.與x軸相切，與y軸相切

B.與x軸相切，與y軸相

C.與x軸相交，與y軸相切

D.與x軸相交，與y軸相3、（2010浙江義烏）已知直線l與⊙O相切，若圓心O到直線l的距離是5，則⊙O的半徑是_______例題1、（2010湖北武漢）如圖，點O在的平分線∠APB上，⊙O與PA相切于點C．(1)求證：直線PB與⊙O相切；(2)PO的延長線與⊙O交于點E若⊙O的半徑為3，PC=4，求弦CE的長．證明:（1）過點O作OD⊥PB于點D，鏈接OC．∵PA切⊙O于點C，∴OC⊥PA

又∵點O在∠APB的平分線上，∴OC=OD∴PB與⊙O相切(2)解：過點C作CF⊥OP于點F，在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=在Rt△COF中，OF=，∴EF=EO+OF=，∴CE=2、（8分）（2010湖北荊州）如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連結BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連結DF．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=，求EF的長．(1)證明：連結OE∵ED∥OB∴∠1=∠2，∠3=∠OED，又OE=OD∴∠2=∠OED∴∠1=∠3又OB=OBOE=OC∴△BCO≌△BEO（SAS）∴∠BEO=∠BCO=90°即OE⊥AB∴AB是⊙O切線.（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD為⊙O的直徑，∴在Rt△CDE中有：

ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=∴在Rt△CEG中，∴EG=根據垂徑定理得：86102222=-=-=EDCDCE534sin=D=CEEG524853=×548EG2EF==3、（2010黃岡）（6分）如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD＝AB·AE，求證：DE是⊙O的切線.4、（2010江蘇宿遷）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，

P為AB延長線上任意一點，C為半圓ACB的中點，PD切⊙O于點D，連結CD交AB于點E．求證：（1）PD=PE；（2）

PBPAPE?=2PBAEOCD證明：(1)連接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=90°—∠ODE，∠PED=∠CEO=90°—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PDPBAEOCD(2)連接AD、BD∴∠ADB=90°∵∠BDP=90°—∠ODB，∠A=90°—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴△PDB∽△PAD∴∴∴PDPAPBPD=PBPAPD·=2PBPAPE·=25、（2010云南楚雄）已知：如圖，⊙與軸交于C、D兩點，圓心的坐標為（1，0），⊙的半徑為，過點C作⊙的切線交于點B（－4，0）．（1）求切線BC的解析式；（2）若點P是第一象限內⊙上一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP＝120°，求點的坐標；（3）向左移動⊙（圓心始終保持在上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）連接，∵是⊙A的切線，∴∠ACB=90°

．∴．∵，∴，∴．∴△BCO∽△CAO，∴．即，∴CO=2．∴C點坐標是（0，2）．設直線BC的解析式為，∵該直線經過點B（－4，0）與點C（0，2），∴解得∴該直線解析式為．（2）連接AG，過點G作GH⊥AB．由切線長定理知．在中，∵，∴．在中，由勾股定理得 ∴．又∵．∴△BOC∽△BHG，∴，∴．則是點G的縱坐標，∴，解得．∴點G的坐標．

(3)如圖示，當A在點B的右側時∵E、F、在⊙A上，∴．若△AEF是直角三角形，則，且為等腰直角三角形．過點A作AM⊥EF，在中由三角函數可知．又∵△BOC∽△BMA，∴