《工程電磁場導(dǎo)論》課件電磁場chap1

第一章靜電場SteadyElectricField基本方程、分界面上的銜接條件邊值問題、惟一性問題鏡像法和電軸法電容和部分電容靜電能量與力靜電場的應(yīng)用電場強度和電位序下頁返回高斯定律1.0序靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場，恒定磁場及時變場。本章要求

深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的各種計算方法。Introduction下頁上頁返回靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結(jié)構(gòu)E

的旋度下頁上頁返回1.1.1庫侖定律(Coulomb’sLow)ElectricFieldIntensityandElectricPotentialN(牛頓)適用條件：庫侖定律1.1電場強度和電位圖1.1.1兩點電荷間的作用力點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)F/m下頁上頁返回N(牛頓)1.1.2電場強度(ElectricIntensity)V/m(N/C)

定義：電場強度E

等于單位正電荷所受的電場力F（a）單個點電荷產(chǎn)生的電場強度V/m圖1.1.2點電荷的電場一般表達(dá)式為下頁上頁返回

（b)

n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加原理)（c)

連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度圖1.1.4體電荷的電場圖1.1.3矢量疊加原理元電荷產(chǎn)生的電場，，下頁上頁返回線電荷分布體電荷分布面電荷分布下頁上頁返回解:軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系。

例1.1.1

真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為,試求P

點的電場。下頁上頁返回圖1.1.5帶電長直導(dǎo)線的電場無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場平行平面場0下頁上頁返回下頁上頁返回采用直角坐標(biāo)系,令導(dǎo)線與y軸重合。2、求元電荷dq（用坐標(biāo)表示）步驟：1、建立合適坐標(biāo)系3、求dE

（用坐標(biāo)表示）下頁上頁返回4、求積分例1-2、1-3RzPodEz電場由點電荷單獨產(chǎn)生故靜電場的環(huán)路定律電場力作的功1.1.3電位(ElectricPotential)下頁上頁返回ABqdlreRrBrAl靜電場的旋度電場力作功與路徑無關(guān)靜電場是保守場，是無旋場。由Stokes’定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量說明即下頁上頁返回負(fù)號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標(biāo)系中矢量恒等式由根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點()

()??下頁上頁返回所以線積分式中把兩點間的電位差定義為此兩點間的電壓U所以下頁上頁返回選定Q作為電位參考點，空間任一點P的電位下頁上頁返回選取無限遠(yuǎn)處為參考點，P的電位例如：點電荷產(chǎn)生的電位：電位參考點的選擇場中任意兩點之間的電位差與參考點無關(guān)。選擇參考點盡可能使電位表達(dá)式比較簡單。電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點。點電荷群連續(xù)分布電荷式中相應(yīng)的積分原域下頁上頁返回1.1.4疊加積分法計算電位解：在球坐標(biāo)系中所以r>>d，得例1.1.2

電偶極子:相距很近的兩個等值異號的電荷圖1.1.5電偶極子下頁上頁返回稱為電偶極子的電偶極矩（dipolemoment)方向由-q指向+q。下頁上頁返回由式（1-14）得：E

線微分方程直角坐標(biāo)系當(dāng)取不同的

C

值時，可得到不同的等位線(面)。等位線(面)方程曲線上任一點的切線方向是該點電場強度E

的方向。電位相等的點連成的曲面稱為等位面。下頁上頁返回1.1.5電力線與等位面（線）1.1.6電力線方程解：由例1-5和式（1-25）得電偶極子等位面方程例1.1.3

畫出電偶極子的等位線和電力線(r>>d)

。下頁上頁返回球坐標(biāo)系中

：式（1-24）轉(zhuǎn)化為：圖1.1.7電偶極子的等位線和電力線對于電偶極子有：積分得：電力線與等位線（面）的性質(zhì)：點電荷與接地導(dǎo)體的電場點電荷與不接地導(dǎo)體的電場E線不能相交,等線不能相交；E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;E線愈密處，場強愈大;E線與等位線（面）正交；下頁上頁返回

介質(zhì)球在均勻電場中導(dǎo)體球在均勻電場中點電荷位于無限大介質(zhì)上方點電荷位于無限大導(dǎo)板上方下頁上頁返回沒有外加電場導(dǎo)體內(nèi)存在大量可自由移動的電子；宏觀上呈現(xiàn)電中性1.2.1靜電場中的導(dǎo)體1.2高斯定律Gauss’sTheorem下頁上頁返回E+++++附加場達(dá)到新的靜電平衡狀態(tài)靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)電荷分布在導(dǎo)體表面。導(dǎo)體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；導(dǎo)體表面電場強度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；E無極性分子圖1.2.1電介質(zhì)的極化電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷(polarizedcharge)；極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。下頁上頁返回1.2.2靜電場中的電介質(zhì)有極性分子下頁上頁返回電介質(zhì)的極化引入由矢量恒等式：下頁上頁返回令極化電荷體密度極化電荷面密度下頁上頁返回電極化強度P(polarizationintensity

)表示電介質(zhì)的極化程度，單位為C/m2(庫/米2)。實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中電極化強度P與電場強度E成正比，即

—電介質(zhì)的極化率真空中的高斯定律(Gauss’sTheoreminVacuum)1.2.3高斯定律(Gauss’sTheorem)下頁上頁返回圖1.2.2閉合曲面的電通量圖1.2.3閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。

E的通量等于閉合面S

包圍的凈電荷的1/ε0。電介質(zhì)中的高斯定律定義

—電位移矢量（displacementvector）所以高斯定律的微分形式取體積分有高斯定律的積分形式下頁上頁返回在各向同性介質(zhì)中—介電常數(shù)F/m其中—相對介電常數(shù)，無量綱量。構(gòu)成方程下頁上頁返回計算技巧：a）分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使

中的D可作為常數(shù)提出積分號外。高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性的場才有解析解。高斯定律的應(yīng)用例1.2.1平板電容器中有一塊介質(zhì),D、E

和P線分布。圖1.2.4D、E與P

三者之間的關(guān)系D線E線P線思考D

線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負(fù)的自由電荷；E

線由正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷；P

線由負(fù)的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。電介質(zhì)內(nèi)部的電場強度是否減少了？下頁上頁返回例1.2.2

若點電荷±q

分別置于金屬球殼內(nèi)外，問（1)

穿過閉合面（金屬球殼）的D

通量是多少？（2)閉合面上的D

與－q有關(guān)嗎？（3)

若在金屬球殼外放置電介質(zhì)，重問1)，閉合面上的D

與電介質(zhì)有關(guān)嗎？下頁上頁返回圖1.2.5點電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外D

的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。例1.2.3

試求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解:

分析場分布,取圓柱坐標(biāo)系由得下頁上頁返回圖1.2.6無限長均勻帶電體球殼內(nèi)的電場球殼外的電場例1.2.4

哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？下頁上頁返回圖1.2.8±q分別在金屬球內(nèi)外圖1.2.7q在金屬球殼內(nèi)1.3基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition靜電場的基本方程為微分形式積分形式構(gòu)成方程下頁上頁返回包圍點P作高斯面()。1.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.D的銜接條件則有根據(jù)圖1.3.1介質(zhì)分界面當(dāng)時，

D

的法向分量連續(xù)。下頁上頁返回當(dāng)時，

D

的法向分量不連續(xù)。2.E的銜接條件圍繞點P作一矩形回路()。

E的切向分量連續(xù)。根據(jù)則有3.折射定理當(dāng)交界面上時，折射定律下頁上頁返回圖1.3.2介質(zhì)分界面4、的銜接條件設(shè)P1與P2位于分界面兩側(cè)，

因此電位連續(xù)得電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)由，其中圖1.3.3電位的銜接條件下頁上頁返回說明（1）導(dǎo)體表面是等位面，E線與導(dǎo)體表面垂直；圖1.3.4導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面例1.3.2

試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。

解:

分界面銜接條件導(dǎo)體中E＝0，分界面介質(zhì)側(cè)（2）導(dǎo)體表面上任一點的D

等于該點的。下頁上頁返回解：忽略邊緣效應(yīng)圖(a)圖(b)例1.3.3

試求兩個平行板電容器的電場強度。下頁上頁返回圖1.3.5平行板電容器1.4邊值問題、惟一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)泊松方程—拉普拉斯算子BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem拉普拉斯方程當(dāng)r=0時下頁上頁返回1.4.2邊值問題（BoundaryProblem)邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件(待講）分界面銜接條件

強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值泊松方程拉普拉斯方程下頁上頁返回場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上導(dǎo)體的電位已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線)下頁上頁返回有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計算法實驗法解析法數(shù)值法實測法模擬法邊值問題下頁上頁返回例1.4.2

試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區(qū)域）下頁上頁返回圖1.4.1纜心為正方形的同軸電纜通解例1.4.3

試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。解：采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程邊界條件參考電位下頁上頁返回圖1.4.2體電荷分布的球體電場強度（球坐標(biāo)梯度公式）：得到圖1.4.3隨r變化曲線下頁上頁返回答案:（C

）1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)例1.4.4

圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？惟一性定理

：

在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。下頁上頁返回圖1.4.4平板電容器外加電源U01.7鏡像法與電軸法1.7.1

鏡像法（ImageMethod)1.平面導(dǎo)體的鏡像圖1.7.1平面導(dǎo)體的鏡像

ImageMethodandElectricAxisMethod方程相同，邊界條件相同，解惟一。下頁上頁返回空氣中除點電荷外，a上半場域除點電荷外b地面上感應(yīng)電荷的總量為（方向指向地面）例

試求空氣中點電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布。解：設(shè)點電荷q

鏡像后圖1.7.2地面電荷分布下頁上頁返回2.球面導(dǎo)體的鏡像點電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問題（除q點外的空間)設(shè)鏡像電荷如圖，球面電位下頁上頁返回圖1.7.3點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像將r1,r2代入方程聯(lián)立求解得到鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁返回得球外任一點P的電位與電場為球外的電場分布鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場域外。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷總量。球外的電場計算下頁上頁返回例

不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。解：邊值問題（除q點外的空間)電荷為零（大小相等）球面等位（位置？）思路圖1.7.4不接地金屬球的鏡像下頁上頁返回位于球心

用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置。圖1.7.5點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖任一點電位球面電位思考下頁上頁返回圖1.7.8點電荷對導(dǎo)體球面的鏡像3.不同介質(zhì)分界面的鏡像根據(jù)惟一性定理點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和解得下頁上頁返回試確定下圖鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。思考題：中的電場由q與q’共同產(chǎn)生，q’等效替代極化電荷的影響。

中的電場由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。圖1.7.11點電荷q1

與q2

分別置于與區(qū)域中下頁上頁返回提示1.7.2電軸法（ElectricAxisMethod）(導(dǎo)線以外的空間)能否用高斯定律求解？思考邊值問題下頁上頁返回1.7.12長直平行雙傳輸線1.兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電位以y軸為參考電位，C=0，則令：C，等位線方程兩根帶電細(xì)導(dǎo)線下頁上頁返回K取不同值時，得到一族偏心圓。整理后，等位線方程圓心坐標(biāo)圓半徑兩根細(xì)導(dǎo)線的等位線下頁上頁返回2.電軸法下頁上頁返回(導(dǎo)線以外的空間)邊值問題長直平行雙傳輸線a、h、b滿足關(guān)系(以y軸為參考電位)例

試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。b)圓柱導(dǎo)線間的電場與電位a)取圓柱坐標(biāo)系電軸位置下頁上頁返回圖1.7.16平行傳輸線電場的計算例

已知平行傳輸線之間電壓為U0,試求電位分布。解：確定電軸的位置所以設(shè)電軸線電荷，任一點電位下頁上頁返回圖1.7.19電壓為U0的傳輸線

例

試決定圖示不同半徑平行長直導(dǎo)線的電軸位置。圖1.7.17不同半徑傳輸線的電軸位置解：下頁上頁返回1）參考電位的位置；2）有效區(qū)域。解：確定例

試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：圖1.7.18偏心電纜電軸位置下頁上頁返回鏡像法（電軸法）小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是：鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是：鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。

用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：下頁上頁返回1.8.1電容器的電容（CapacitanceofCapacitor)CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容及部分電容定義：單位：電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容的計算思路：設(shè)下頁上頁返回解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時（孤立導(dǎo)體球的電容）

例1.8.1

試求同心球殼電容器的電容。下頁上頁返回圖1.8.1同心球殼電容器1.8.2部分（分布）電容（DistributedCapacitance)1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)圖1.8.2三導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng)靜電獨立系統(tǒng)部分電容基本概念下頁上頁返回導(dǎo)體的電位與電荷的關(guān)系為下頁上頁返回導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；

ai

i

—自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷對

a—電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；

ai

j—互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j

上的電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；下頁上頁返回矩陣形式2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)

b—靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；

bii—自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體i電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)；

bij—互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。矩陣形式：下頁上頁返回3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容矩陣形式部分電容的性質(zhì)靜電獨立系統(tǒng)中n＋1個導(dǎo)體有個部分電容Ci

j均為正值，下頁上頁返回

例

試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知d>>a,且a<<h。解：

部分電容個數(shù)由對稱性，得(1)圖1.8.4兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)下頁上頁返回電容與帶電量無關(guān)，故則利用鏡像法，兩導(dǎo)體的電位代入式（2），得(2)下頁上頁返回圖1.8.5兩線輸電線對大地的鏡像聯(lián)立解得兩線間的等效電容：下頁上頁返回所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.6靜電屏蔽

三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為：

4.靜電屏蔽當(dāng)時，說明1號與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。下頁上頁返回1.9靜電能量與力1.9.1靜電能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce用場源表示靜電能量q3從移到c點，所需能量q2從移到b點，需克服q1的電場力做功，q1從移到a點不受力，所需能量W1=0，下頁上頁返回圖1.9.1點電荷的能量總能量推廣1：若有n個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為單位：J（焦耳）推廣2：若是連續(xù)分布的電荷，下頁上頁返回用場量表示靜電能量矢量恒等式能量密度因當(dāng)時，面積分為零，故能量下頁上頁返回1.9.2靜電能量的分布及其密度例

真空中半徑為a、體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。解法一

由場量求靜電能量下頁上頁返回解法二

由場源求靜電能量球內(nèi)任一點的電位代入式（1）(1)下頁上頁返回

例

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負(fù)電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。解：例1.9.1中當(dāng)時下頁上頁返回圖1.9.2原子結(jié)構(gòu)模型1.9.3靜電力(ElectrostaticForce)1.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)功=廣義力×廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm廣義力f：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。廣義坐標(biāo)g：距離、面積、體積、角度。下頁上頁返回力的方向：f的正方向為g增加的方向。（1）常電荷系統(tǒng)（K斷開）表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,其功能關(guān)系為外源提供能量

=

靜電能量增量+

電場力所作功即圖1.9.3多導(dǎo)體系統(tǒng)(K斷開)下頁上頁返回外源提供能量的增量

說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。（2）常電位系統(tǒng)（K閉合）廣義力是代數(shù)量，根據(jù)f的“±”號判斷力的方向。圖1.9.4多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)下頁上頁返回解法一：常電位系統(tǒng)例

試求圖示平行板電容器極板的電場力。圖1.9.5平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對位置坐標(biāo)）負(fù)號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回解法二：常電荷系統(tǒng)負(fù)號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回例

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a

，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。解：取體積為廣義坐標(biāo)f的方向是廣義坐標(biāo)V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2下頁上頁返回圖1.9.6球形薄膜2.法拉第觀點（Farade’sreview）法拉第認(rèn)為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向受到側(cè)壓力，其大小為圖1.9.9根椐場