點電荷之間的相互作用能

一、點電荷之間的相互作用能以三點電荷為例，相距無窮遠(yuǎn)，則無相互作用q1

不動q2在q1作用下由無窮遠(yuǎn)移至r12

處，做功q3在q1和q2作用下由無窮遠(yuǎn)移至r23

處，做功§3－7電荷間相互作用能靜電場的能量q1

在q2處的電位1/12/20231Ui

為除qi

外，其他電荷在qi

處所產(chǎn)生的電勢推廣：外力做總功：做功的過程對稱性1/12/20232二、連續(xù)帶電體的靜電能連續(xù)帶電體稱為靜電能，U為所有電荷在dq

處的電勢三、電容器的能量例如半徑為R帶電量為Q的電體球，可看成無窮遠(yuǎn)dq聚在一起1/12/20233t=0開始，每次自下極板把微量電荷dq

移至上板，電容器間電場逐漸加大，除第一次外，每次移動，外力都要克服靜電力做功，t

時刻帶電q

，再移dq

，外力做功最后帶電Q，則1/12/20234電容器儲能或四、電場的能量平行板電容器：1/12/20235儲能：定義：為單位體積能量，稱電場能量密度或一般情形：1/12/20236例題9-8如圖所示，在一邊長為d的立方體的每個頂點上放有一個點電荷-e，立方體中心放有一個點電荷+2e。求此帶電系統(tǒng)的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e1/12/20237解一相鄰兩頂點間的距離為d，八個頂點上負(fù)電荷分別與相鄰負(fù)電荷的相互作用能量共有12對，即；面對角線長度為,6個面上12對對角頂點負(fù)電荷間的相互作用能量是；1/12/20238立方體對角線長度為，4對對角頂點負(fù)電荷間的相互作用能量是；立方體中心到每一個頂點的距離是，故中心正電荷與8個負(fù)電荷間的相互作用能量是1/12/20239所以，這個點電荷系統(tǒng)的總相互作用能量為解二任一頂點處的電勢為1/12/202310

在體心處的電勢為按式可得這個點電荷系的總相互作用能為結(jié)果與解一相同1/12/202311例題9求半徑為R

帶電量為Q

的均勻帶電球的靜電能解一：計算定域在電場中的能量球內(nèi)r處電場1/12/202312解二：計算帶電體系的靜電能再聚集這層電荷dq，需做功：而所以球體是一層層電荷逐漸聚集而成，某一層內(nèi)已聚集電荷1/12/202313例題9-10一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為±Q。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為ε0）。板極上帶電±Q時所儲的電能為解（1）兩極板的間距為d和2d時，平行板電容器的電容分別為1/12/202314（2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F，拉開兩極板時所加外力應(yīng)等于F，外力所作的功A=Fd

，所以故兩極板的間距拉開到2d后電容器中電場能量的增量為1/12/202315

例題9-10*平行板電容器帶電Q，間距d

，緩慢拉動至2d

。求：1)電容器能量變化；2)外力做功；3)面板間吸引力。解：1)2)3)1/12/202316例9-11平行板空氣電容器每極板的面積S=3×10-2m2

，板極間的距離d=3×10-3m。今以厚度為d’=1×10-3m的銅板平行地插入電容器內(nèi)。（1）計算此時電容器的電容；（2）銅板離板極的距離對上述結(jié)果是否有影響？（3）使電容器充電到兩極板的電勢差為300V后與電源斷開，再把銅板從電容器中抽出，外界需作功多少功？解（1）銅板未插入前的電容為d1d2dd+-C1C2AB1/12/202317設(shè)平行板電容器兩板極上帶有電荷±q,面密度為±σ=q/S，即σ。在銅板平行地兩表面上將分別產(chǎn)生感應(yīng)電荷，面密度也為±σ，如圖所示，此時空氣中場強不變，銅板中場強為零。兩極板A、B的電勢差為所以銅板插入后的電容C’

為2）由上式可見，C’

的值與d1和d2無關(guān)（d1增大時，d2減小。d1+d2=d-d'不變），所以銅板離極板的距離不影響C’的值1/12/202318（3）銅板未抽出時，電容器被充電到U=300V，此時所帶電荷量Q=C’U，電容器中所儲靜電能為能量的增量W-W’

應(yīng)等于外力所需作的功，即當(dāng)電容器與電源切斷后再抽出銅板，極板上電量不變，電容器所儲的靜電能增為1/12/202319代入已知數(shù)據(jù)，可算得1/12/202320例9-12如圖所示,球形電容器的內(nèi)外半徑分別R1和R2,所帶電荷為+-Q,在兩球殼間充以電容率為的電介質(zhì),問此電容器存儲的電場能量為多少?故球殼內(nèi)的電場能量密度為解:若球形電容器上的電荷是均勻分布的,則球殼間電場也是對稱分布的,由高斯定理可得球殼間的電場強度為:R2R1rdr1/12/202321取半徑為r,厚為dr的球殼,其體積元為dV=4r2dr.所以,在此體積元內(nèi)電場的能量為:電場的能量為:1/12/202322如果R2趨于正無窮,此帶電系統(tǒng)即為一半徑為R1帶電為Q的孤立球形導(dǎo)體,它激發(fā)的電場所儲存的能量為球形電容器的電容為C=4[R1R2/(R1+R2),所以由電容器儲存的電能We=Q2/2C,也能得到同樣的答案.電容器的能量是儲存于電容器的電場之中的1/12/202323例9-13如圖所示的圓柱型電容器,中間是空氣,空氣的擊穿場強是Eb=3×106V.m-1.電容器外半徑R2=10-2m.在空氣不被擊穿的情況下,內(nèi)半徑R1取多大值可使電容器儲存的能量最多?R1R2rBAl1/12/202324從上式可以看出E1/r成正比.故在內(nèi)表面附近,即r=R1處的電場最強.因此,我們設(shè)想此處的電場強度為擊穿場強Eb時圓柱型電容器即可帶電荷最多,又不會使空氣介質(zhì)擊穿,于是有解:由高斯定理可知,兩圓柱面間的電場強度為1/12/202325由電容器的能量公式We=QU/2可知,單位長度圓柱型電容器所儲存的能量為

We=U/2(3)

U為兩極間的電勢差,由電勢差的定義式有由上式可得max=20R1Eb,顯然,max是由R1和Eb,決定的.1/12/202326式(5)表明,在Eb已知時,We僅隨R1而異.顯然,想要圓柱型電容器儲存的能量最多,且空氣介質(zhì)又不被擊穿,內(nèi)半徑為R1的值需滿足dWe/dR1=0的條件.有式(5)得把上式代入(3)式,得把(1)式代入上式,得1/12/202327此時,圓柱型電容器所儲存能量最大,且空氣又不被擊穿.由已知數(shù)據(jù)內(nèi)半徑為R1=10-2/e-2m=6.07×10-3m.我們還可以計算出空氣不被擊穿時,圓柱型電容器兩極間最大電勢差,將式(6)(2)代入(4),得1/12/202328上述計算結(jié)果表明,對以空氣為介質(zhì)的電容器,當(dāng)外半徑為0.01m時其內(nèi)半徑需為6.07×10－3m,才能使所貯存的能量最多。此時，兩極間的最大電壓為9.10×103V。1/12/202329例9-14球形電