2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題(湖南卷含解析)

2015年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)文試題（湖南卷，含分析）一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的.1、已知(1i)2=1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=()zA、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i【答案】D【分析】試題分析：.由題依據(jù)所給復(fù)數(shù)式子進行化簡即可獲得復(fù)數(shù)z的代數(shù)式；由題(1i)21i,z(1i)22i2i(1i)1i，應(yīng)選D.z1i1i2考點：復(fù)數(shù)的運算2、在一次馬拉松競賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）如圖I所示;若將運動員按成績由好到差編為上的運動員人數(shù)為( )A、3B、4

1~35

號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取C、5D

7人，則此中成績在區(qū)間、6

[139,151]【答案】

B考點：莖葉圖3、設(shè)

x

R，則“x>1”是“

x2>1”的（

）A、充分不用要條件C、充要條件

D

B

、必需不充分條件、既不充分也不用要條件【答案】

C【分析】試題分析：.由題依據(jù)明日的關(guān)系進行發(fā)現(xiàn)即可獲得所給兩個明日的關(guān)系；由題易知“x>1”可以推得“x2>1”，“x2>1”可以獲得“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”的充要條件，應(yīng)選C.考點：命題與條件xy14、若變量x、y滿足拘束條件yx1，則z=2x-y的最小值為()x1A、-1B、0C、1D、2【答案】A考點：簡單的線性規(guī)劃5、執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，假如輸入n=3，中輸入的S=( )A、6B、3C、8D、47799【答案】B考點：程序框圖6、若雙曲線x2y21的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），則此雙曲線的離心率為a2b2A、7B、5C、4D、53433【答案】D【分析】試題分析：由題利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點，獲得a、b關(guān)系式，而后求出雙曲線的離心率即可．由于雙曲線x2y21的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），3b2216a）2c5．a(chǎn)2b24a，9（cae，a=3應(yīng)選D.考點：雙曲線的簡單性質(zhì)7、若實數(shù)a，b滿足A、2B

12)aab，則ab的最小值為(b、2C、22D、4【答案】C考點：基本不等式8、設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），則f（x）是( )A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【分析】試題分析：求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果即可．函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函數(shù)的定義域為（-1，1），函數(shù)f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)．f'x111，已知在（0,1）上f'x0，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞加，應(yīng)選A.x1x1x21考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)9、已知點A,B,C在圓x2y21上運動，且ABBC，若點P的坐標為（2，0），則PAPBPC的最大值為A、6B、7C、8D、9【答案】B【分析】試題分析：由題依據(jù)所給條件不難獲得該圓x2y21是一AC位直徑的圓，而后依據(jù)所給條件聯(lián)合向量的幾何關(guān)系不難獲得PAPBPC2POPB4PB，易知當B為（-1，0）時獲得最大值.由題意，AC為直徑，所以PAPBPC2POPB4PB,已知B為（-1，0）時，4PB獲得最大值7，應(yīng)選B.考點：直線與圓的地點關(guān)系、平面向量的運算性質(zhì)10、某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作經(jīng)過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工作的一個面內(nèi)，則原工件資料的利用率為（資料利用率=新工件的體積/原工件的體積）A、8B、8C、24(21)2D、8(21)2927【答案】A考點：三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長方體二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分.11、已知會集U=1,2,3,4，A=1,3,B=1,3,4,則A(eUB)=_____.【答案】{1，2，3}.考點：會集的運算12、在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為2sin，則曲線C的直角坐標方程為_____.【答案】x2（y21）1【分析】試題分析：將極坐標化為直角坐標，求解即可．曲線C的極坐標方程為

2sn，22sn，它的直角坐標方程為x2y22y，x2（y22（y21）1．故答案為：x1）1．考點：圓的極坐標方程13.若直線3x-4y+5=0與圓x2y2r2r0訂交于A,B兩點，且AOB120o（O為坐標原點），則r=_____.【答案】【分析】試題分析：直線3x-4y+5=0與圓x2y22＞0）交于A、B兩點，∠AOB=120°，則△AOB為頂角為120°r（r的等腰三角形，極點（圓心）到直線3x-4y+5=0的距離為1r，代入點到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方2程，解方程可得答案．如圖直線3x-4y+5=0與圓x2y22r（r＞0）交于A、B兩點，O為坐標原點，且∠AOB=120°，則圓心（0，0）到直線3x-4y+5=0的距離為1r，51r，r=2.故答案為2.232422考點：直線與圓的地點關(guān)系14、若函數(shù)

f（x）=|

2x-2|-b

有兩個零點，則實數(shù)

b的取值范圍是

_____.【答案】

0＜b＜2考點：函數(shù)零點15、已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為23，則=_____.【答案】2考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（本小題滿分12分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買必定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，不然不中獎。I）用球的標號列出全部可能的摸出結(jié)果；II）有人以為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你以為正確嗎？請說明原由?！敬鸢浮浚↖）{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2},(II)說法不正確；【分析】試題分析：（I）利用列舉法列出全部可能的結(jié)果即可；(II)在（I）中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概率公式計算即可獲得其對應(yīng)的概率，什么鎮(zhèn)江概率大于不中獎概率是錯誤的；試題分析：（I）全部可能的摸出結(jié)果是：{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2},（II）不正確，原由以下：由（I）知，全部可能的摸出結(jié)果共12種，此中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4種，所以中獎的概率為41，不中獎的概率為1121，故123333這類說法不正確?？键c：概率統(tǒng)計17.（本小題滿分12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,abtanA。（I）證明：sinBcosA；(II)若sinCsinAcosB3，且B為銳角，求A,B,C。4【答案】（I）略；(II)A30,B120,C30.【分析】試題分析：（I）由題依據(jù)正弦定理聯(lián)合所給已知條件可得sinAsinAcosA；(II)依據(jù)cosA，所以sinBsinB兩角和公式化簡所給條件可得sinCsinAcosBcosAsinB3，可得sin2B3，聯(lián)合所給角B的范44圍可得角B,從而可得角A,由三角形內(nèi)角和可得角C.試題分析：（I）由abtanA及正弦定理，得sinAasinA，所以sinBcosA。cosAbsinB（II）由于sinCsinAcosBsin[180(AB)]sinAcosBsin(AB)sinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinBcosAsinB34有（Ｉ）知sinBcosA，所以sin2B3，又Ｂ為鈍角，所以sinB3，423故B120，由cosAsinB知A30，從而C180(AB)30，2綜上所述，A30,B120,C30,考點：正弦定理及其運用18.（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E,F分別是BC,CC1的中點。（I）證明：平面AEF平面B1BCC1；（II）若直線1與平面11所成的角為45，求三棱錐FAEC的體積。ACAABB【答案】（I）略；

(II)

6

.12【分析】試題分析：（I）第一證明

AE

BB1，AE

BC，獲得

AE

平面

B1BCC1，利用面面垂直的判斷與性質(zhì)定理可得平面

AEF

平面

B1BCC1；

(II)

設(shè)AB的中點為

D,證明直線

CA1D直線

A1C與平面

A1ABB1所成的角，由題設(shè)知

CA1D

45

，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積

.試題分析：（I）如圖，由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以

AE

BB1，又

E是正三角形

ABC

的邊

BC的中點，所以

AE

BC，所以

AE

平面

B1BCC1，而

AE

平面

AEF，所以平面

AEF

平面

B1BCC1。（II

）設(shè)

AB的中點為

D，連接

A1D,CD

，由于

ABC是正三角形，所以

CD

AB，又三棱柱

ABC

A1B1C1是直三棱柱，所以

CD

AA1，所以

CD

平面

A1AB1B，于是

CA1D直線

A1C與平面

A1ABB1所成的角，由題設(shè)知CA1D45，所以A1DCD3AB3，3在RtAA1D中，AA1A1D2AD2312，所以FC1AA1222故三棱錐FAEC的體積V1SAECFC1326。332212考點：柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判斷與性質(zhì)19.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a11,a22，且an13SnSn13,(nN*)，（I）證明：an23an；（II）求Sn。3n2N*)(5321),(n2k1,k【答案】（I）略；(II)Sn23nN*)(321),(n2k,k2【分析】試題分析：（I）當nN*,n2時，由題可得an23SnSn13,(nN*)，an13Sn1Sn3,(nN*)，兩式子相減可得an2an13anan1，即an23an,(n2)，而后考據(jù)當n=1時，命題建馬上可；(II)經(jīng)過求解數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項的和即可獲得其對應(yīng)前n項和的通項公式.試題分析：（I）由條件，對任意nN*，有an23SnSn13,(nN*)，因此對任意nN*,n2，有an13Sn1Sn3,(nN*)，兩式相減，得an2an13anan1，即an23an,(n2)，又a11,a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故對全部nN*，an23an。（II）由（I）知，anan23，于是數(shù)列{a}是首項a11，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{a}0，所以2nan2n1是首項a12，公比為3的等比數(shù)列，所以a2n13n1,a2n23n1，于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(13n1)2(133n1)3(133n1)3(3n1)32從而S2n1S2na2n3(3n1)n13n21)，2232(533(5n2N*)321),(n2k1,k綜上所述，Sn2。3n2k,kN*)(321),(n2考點：數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列乞降2220.（本小題滿分13分）已知拋物線C1:x24y的焦點F也是橢圓C2:y2x21ab(ab0)的一個焦點，C1與C2的公共弦長為26，過點F的直線l與C1訂交于A,B兩點，與C2訂交于C,D兩點，且AC與BD同向。（I）求C2的方程；（II）若ACBD，求直線l的斜率?！敬鸢浮浚↖）y2x21；(II)6.984【分析】試題分析：（I）由題經(jīng)過F的坐標為(0,1)，由于F也是橢圓C2的一個焦點，可得a2b21，依據(jù)C1與C2的公共弦長為26，C1與C2都關(guān)于y軸對稱可得961，而后獲得對應(yīng)曲線方程即可；(II)設(shè)4a2b2A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),依據(jù)ACBD，可得(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1，聯(lián)立直線與拋物線方程、直線與橢圓方程、利用韋達定理進行計算即可獲得結(jié)果.試題分析：（I）由C1:x24y知其焦點F的坐標為(0,1)，由于F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b21①；又C1與C2的公共弦長為26，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為C1:x24y，由此易知C1與C2的公共點的坐標為(6,3)，961②，24a2b2聯(lián)立①②得a29,b28，故C2的方程為y2x21。98（II）如圖，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因AC與BD同向，且ACBD，所以ACBD，從而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2③設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1，ykx14kx40，由x1,x2是這個方程的兩根，x1x24k,x1x24④由得x2x24yykx1由x2y2得(98k2)x216kx640，而x3,x4是這個方程的兩根，891x3x416k,x3x464，⑤98k298k2將④、⑤代入③，得16(k21)162k3464。即16(k21)1629(k21)(98k2)298k2(98k2)2所以(98k2)2169，解得k6，即直線l的斜率為644考點：直線與圓錐曲線的地點關(guān)系；橢圓的性質(zhì)21.（本小題滿分13分）函數(shù)f(x)ae2cosx(x[0,)，記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點。（I）證明：數(shù)列{f(xn)}是等比數(shù)列；（II）若對全部nN*,xnf(xn)恒建立，求a的取值范圍。【答案】（I）略；(II)[2e2,)4【分析】試題分析：（I）由題()2xcos()，令，求出函數(shù)的極值點，依據(jù)等比數(shù)列fxaex4f(x)0n3t4定義即可獲得結(jié)果；(II)由題問題等價于2e恒建立問題，設(shè)g(t)e(t0)，而后運用導(dǎo)數(shù)an3t4知識獲得[g(xn)]minmin[g(x1),g(x2)]min[g(4),g(5)