第十章曲線積分習(xí)題課

曲線積分習(xí)題課一、主要內(nèi)容曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義性質(zhì)計算公式兩者關(guān)系曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義實質(zhì)分、粗、和、精

分、粗、和、精背景曲線形構(gòu)件的質(zhì)量

變力沿曲線作功性質(zhì)線性、可加、無方向

可加、有方向計算一代、二換、三定限一代、二換、三定限聯(lián)系與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題各種積分之間的聯(lián)系曲線積分定積分計算重積分Green公式計算曲面積分Guass公式計算Stokes公式計算上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式關(guān)于對稱性對弧長的曲線積分與方向無關(guān)，可以利用對稱性簡化計算設(shè)L關(guān)于

x(y)軸對稱若

f(x,y)關(guān)于

y(x)是奇函數(shù)即則若f(x,y)關(guān)于

y(x)是偶函數(shù)即則

對坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，所以在考慮對稱性時既要考慮被積函數(shù)與曲線的對稱性，還要考慮曲線的方向，因此直接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對弧長的曲線積分，然后再考慮使用對稱性。其中L1

是位于對稱軸一側(cè)的部分關(guān)于第二類曲線積分的計算①若曲線封閉，首先考慮使用Green公式②若曲線不封閉，可考慮添加輔助曲線使之封閉，然后再使用Green公式此時應(yīng)注意兩點：⑴輔助線上的積分應(yīng)容易計算，⑵輔助線的方向與曲線的方向相容③考慮積分是否與路徑無關(guān)來簡化計算④按第二類曲線積分的計算公式直接計算⑤化成第一類曲線積分計算二、典型例題例1計算所圍成的在第三象限的扇形的整個邊界解如圖L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解例3．計算積分是半徑為的圓周的內(nèi)接正八邊形的正向邊界曲線．解:解(如圖)其中L為①不包圍也不通過原點的任意閉曲線②以原點為中心的正向單位圓周③包圍原點的任意正向閉曲線解

①若則由Green公式例5計算若則以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周記L和所為成的區(qū)域為D1，由Green公式②L③在原點不連續(xù)，記L和所為成的區(qū)域為D1，由Green公式以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周由于L所圍區(qū)域包含原點解令得由使得在不經(jīng)過的值的區(qū)域上與路徑無關(guān)并求當(dāng)L為從A（1，1）到B（0，2）時的值。例6確定參數(shù)A(1,1)B(0,2)ACB如選路徑C(1,2)則積分結(jié)果不易求出DB但如選路徑A

D(0,1)則例7

選取，使得在整個面上是某一函數(shù)的全微分，并求一個這樣的函數(shù)提由示:來確定，再運用曲線積分求解得例8.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有其中L

是沿逆時針方向以原點為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.例9.計算解法2

它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段解答:(1)(2)課本習(xí)題解答提示:

計算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計算,則P1843(1)P184

3(3).計算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2的一段弧.提示:計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.3(5).P1843(6).計算其中由平面y=