線變換矩陣教學(xué)講義

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線變換矩陣教學(xué)講義n階矩陣A叫做線性變換σ關(guān)于基的矩陣.

利用線性變換的矩陣,(7.14)式可以寫成矩陣乘積的形式:

定理7.3設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間,σ是V的一個(gè)線性變換,σ關(guān)于V的一個(gè)基

的矩陣是.7.3.2坐標(biāo)變換公式如果V中向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是那么

推論7.3.1設(shè)是的一個(gè)線性變換.關(guān)于的標(biāo)準(zhǔn)基的矩陣是A當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于中任一向量

引理7.4設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，

是V的一個(gè)基.那么對(duì)于V中任意

n個(gè)向量，有且僅有

V的一個(gè)線性變換σ，使得

定理7.4設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，是V的一個(gè)基.對(duì)于數(shù)域F上任意一個(gè)n階矩陣A，恰有V的每一個(gè)線性變換σ，使得σ關(guān)于基的矩陣是A.

定理7.5設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，是V的一個(gè)基.如果并且它們關(guān)于基的矩陣分別是A和B，那么關(guān)于這個(gè)基的矩陣分別是A+B,kA和AB(k是數(shù)域F中的一個(gè)數(shù)）.

推論

設(shè)是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線性變換.如果σ關(guān)于V的基的矩陣是A,那么σ可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可逆,并且關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是.

推論7.5.2設(shè)是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線性變換.可逆當(dāng)且僅當(dāng)把V的基變?yōu)閂的基.

推論

設(shè)是數(shù)域F上n維向量

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