2022-2023學年湖南省邵陽市邵東市高二年級上冊學期期中數學試題【含答案】

2022-2023學年湖南省邵陽市邵東市第四中學高二上學期期中數學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°【答案】A【分析】將直線的一般式改寫成斜截式，再由斜率公式可求得結果.【詳解】∵∴∴又∵∴故選：A.2．已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1 B．2 C． D．1【答案】B【分析】根據與互相垂直，可得，再根據數量積的坐標運算即可得解.【詳解】解：因為與互相垂直，所以，即，解得.故選：B.3．已知向量，分別為平面的法向量，則平面與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩平面夾角的向量求法可直接求得結果.【詳解】，又平面與平面的夾角的取值范圍為，平面與的夾角為.故選：C.4．若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩圓相交可得參數范圍．【詳解】因為圓與圓恰有2條公切線，所以解得故選：B．5．在平行六面體中，設，，，M，P分別是，的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據空間向量的基底表示以及線性運算表示向量.【詳解】由題意，，分別是，的中點，如圖，所以.故選：C6．直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：不妨設直線，即橢圓中心到的距離，故選B.【解析】1、直線與橢圓；2、橢圓的幾何性質.【方法點晴】本題考查直線與橢圓、橢圓的幾何性質，涉及方程思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.不妨設直線，即橢圓中心到的距離，利用方程思想和數形結合思想建立方程是本題的關鍵節(jié)點.7．橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，若，那么的面積為A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設有本題選擇D選項.點睛：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關系．8．已知橢圓與軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點做的垂線交橢圓的上半部分于點，，，，，是橢圓C的右焦點，則（

）A．20 B． C．36 D．30【答案】D【分析】由題意知與，與分別關于y軸對稱，設橢圓的左焦點為，從而，，利用即可求解．【詳解】由題意，知與，與分別關于y軸對稱設橢圓的左焦點為，由已知a=6,則，同時∴故選：D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．直線在y軸上的截距為－2B．經過定點A（0，2）的直線都可以用方程y=kx+2表示C．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1D．直線的傾斜角θ的取值范圍是【答案】AD【分析】根據直線的截距、直線方程、平行直線、傾斜角等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，直線的縱截距為，所以A選項正確.B選項，過且傾斜角為的直線不能用方程表示，B選項錯誤.C選項，由于直線與直線平行，所以，解得，直線即，直線與直線的距離為，C選項錯誤.D選項，直線的斜率為.所以傾斜角θ的取值范圍是，D選項正確.故選：AD10．對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有（

）A．已知向量，，若，則為鈍角B．若，則C．若空間四個點，則三點共線D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線【答案】ABD【分析】利用特例判斷A、B，根據空間向量線性運算法求出，即可判斷C，根據空間向量數量積的坐標運算判斷D；【詳解】解：對于A：當時，，，即，可得、共線反向，故A錯誤；對于B：當、時，成立，而不成立，故B錯誤；對于C：根據題意可得，即有，則、、三點共線，故C正確；對于D：，，所以或，故D錯誤；故選：ABD.11．若圓：與圓：的交點為，，則（

）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為D．在過，兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓【答案】AD【解析】根據題意，依次分析選項：對于，聯(lián)立兩個圓的方程，分析可得公共弦所在直線方程，可判斷，對于，有兩個圓的方程求出兩圓的圓心坐標，分析可得直線的方程，即可得線段中垂線方程，可判斷，對于，分析圓的圓心和半徑，分析可得圓心在公共弦上，即可得公共弦的長為圓的直徑，可判斷，對于，由于圓心在公共弦上，在過，兩點的所有圓中，即可判斷．【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于，圓與圓，聯(lián)立兩個圓的方程可得，即公共弦所在直線方程為，正確，對于，圓，其圓心為，，圓，其圓心為，直線的方程為，即線段中垂線方程，錯誤，對于，圓，即，其圓心為，，半徑，圓心，在公共弦上，則公共弦的長為，錯誤，對于，圓心，在公共弦上，在過，兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓，正確，故選：．12．如圖，在棱長為的正方體中，下列結論成立的是（

）A．若點是平面的中心，則點到直線的距離為B．二面角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．若是平面的中心，點是平面的中心，則面【答案】ABD【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用點到直線距離、二面角、線面角的向量求法可判斷ABC正誤；根據可證得D正確.【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，對于A，，，，，點到直線的距離，A正確；對于B，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的正切值為，B正確；對于C，平面，平面，，又，，平面，平面，平面的一個法向量為，又，，即直線與平面所成的角為，C錯誤；對于D，平面的法向量，，，即，面，D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知空間向量，則___________.【答案】【分析】由空間向量的減法法則求得向量的坐標，然后由模的定義計算．【詳解】因為，所以.故答案為：．14．無論為何值，直線必過定點坐標為__【答案】【分析】把直線方程變形可得，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】根據題意，直線，即，變形可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線必過定點.故答案為：.15．已知為圓上任意一點，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，表示圓上的點與圓外的點連線的斜率.當過點的直線與圓相切時，取最值，即得最大值.【詳解】把圓化為標準式，圓心，半徑.則表示圓上的點與圓外的點連線的斜率.設過點的直線方程為，即.當直線與圓相切時，斜率取最值.由，解得或.的最大值是.故答案為：.【點睛】本題考查斜率的幾何意義，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題.16．已知F是橢圓E：的左焦點，經過原點O的直線與橢圓E交于P，Q兩點，若且，則橢圓E的離心率為______．【答案】【分析】取橢圓的右焦點，由直線過原點及橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，由及橢圓的性質可得，，余弦定理可得離心率的值.【詳解】取橢圓的右焦點，連接，，由橢圓的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，則，，，而，所以，所以，在中，，整理，得，即，由解得.故答案為：.四、解答題17．已知，，，.(1)求實數的值；(2)若，求實數的值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）向量坐標化，根據向量平行的坐標表示得到使得，列式得結果即可；（2）向量坐標化，根據向量垂直的坐標表示列式求解即可.【詳解】（1），，使得列式得到（2）若，由向量垂直的坐標表示得到：解得.18．已知直線;直線.(1)若，求實數的值;(2)若，且它們之間的距離為，求直線的斜截式方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由，得到，即可求解；（2）由，求得，再結合兩平行線間的距離公式，求得的值即可求解.【詳解】（1）由題意，直線，，因為，可得，解得.（2）由直線，，因為，可得，可得，此時直線，又由間的距離為，根據兩平行線間的距離公式，可得，解得或.所以直線的斜截式方程為或.19．已知△ABC的內A、B、C所對的邊分別是、、，若.（1）求角的值；（2）求△ABC的面積取得最大值時，邊的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將已知等式利用正弦定理角化邊，然后再利用余弦定理即可求解；（2）由（1）有，利用基本不等式求出最大值，再根據三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1）由正弦定理可化為，即，由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，所以，又，所以，當且僅當時，取最大值為，即有，解得.20．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是以∠C為直角的等腰直角三角形，BC＝AC＝2，AA1＝3，D為AC的中點．（1）求證：AB1//平面BDC1；（2）求平面C1BD與平面CBD夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，與相交于，連接，利用中位線性質可得，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角余弦即可.【詳解】（1）證明：連接，與相交于，連接，∵四邊形是矩形，∴是的中點，又是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則，，，，，設是平面的一個法向量，則，即，令，則，，∴，又是平面的一個法向量，即是平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．21．已知圓C經過點和，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)設直線l經過點，且l與圓C相切，求直線l的方程．【答案】(1)(2)和．【分析】（1）求出圓心坐標和半徑后可得圓標準方程；（2）分類討論，斜率不存在的直線說明它是圓切線，斜率存在時，設出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑求得參數后得直線方程．【詳解】（1）由題意，設圓心坐標為，則，解得，所以圓心為，半徑為，圓方程為；（2）過且斜率不存在的直線為，它與圓相切，斜率存在的切線設其方程為，則，解得，直線方程為，綜上切線方程為和．22．已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.（1）求這個橢圓的標準方程；（2）如果直線與這個橢圓交于?兩不同的點，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由和即可求，則方程