專題15 探索型問題（第07期）-2017年中考數(shù)學(xué)試題分項版解析匯編（解析版）

一、選擇題1．（2017貴州省銅仁市）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根據(jù)上述規(guī)律，則第2017個式子的值是（）A．8064B．8065C．8066D．8067【答案】D．【解析】考點：1．規(guī)律型：數(shù)字的變化類；2．有理數(shù)的混合運算．2．（2017貴州省黔西南州）如圖，用相同的小正方形按照某種規(guī)律進行擺放，則第8個圖形中小正方形的個數(shù)是（）A．71B．78C．85D．89【答案】D．【解析】試題分析：第1個圖形共有小正方形的個數(shù)為2×2+1；第2個圖形共有小正方形的個數(shù)為3×3+2；第3個圖形共有小正方形的個數(shù)為4×4+3；…；則第n個圖形共有小正方形的個數(shù)為（n+1）2+n，所以第8個圖形共有小正方形的個數(shù)為：9×9+8=89．故選D．考點：規(guī)律型：圖形的變化類．二、填空題3．（2017四川省涼山州）古希臘數(shù)學(xué)家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數(shù)，其中1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，…，依此類推，第100個三角形數(shù)是．【答案】5050．【解析】考點：1．規(guī)律型：數(shù)字的變化類；2．綜合題．4．（2017四川省巴中市）觀察下列各式：，，，…請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式表達出來．【答案】（n≥1）．【解析】試題分析：∵；；∴（n≥1）．故答案為：（n≥1）．考點：1．規(guī)律型：數(shù)字的變化類；2．規(guī)律型．5．（2017湖南省婁底市）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是．【答案】AB=DC．【解析】考點：1．直角三角形全等的判定；2．探究型．6．（2017湖南省婁底市）劉莎同學(xué)用火柴棒依圖的規(guī)律擺六邊形圖案，用10086根火柴棒擺出的圖案應(yīng)該是第個．【答案】2017．【解析】試題分析：由圖可知：第1個圖形的火柴棒根數(shù)為6；第2個圖形的火柴棒根數(shù)為11；第3個圖形的火柴棒根數(shù)為16；…由該搭建方式可得出規(guī)律：圖形標(biāo)號每增加1，火柴棒的個數(shù)增加5，所以可以得出規(guī)律：搭第n個圖形需要火柴根數(shù)為：6+5（n﹣1）=5n+1，令5n+1=10086，解得：n=2017．故答案為：2017．考點：規(guī)律型：圖形的變化類．7．（2017貴州省黔南州）楊輝三角，又稱賈憲三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀察下面的楊輝三角：按照前面的規(guī)律，則（a+b）5=．【答案】1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5．【解析】考點：1．完全平方公式；2．規(guī)律型．8．（2017遼寧省撫順市）如圖，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點C3，使D1C3=D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點C4，使D2C4=D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長和為．（n≥2，且n為整數(shù)）學(xué)科@網(wǎng)【答案】．【解析】試題分析：∵等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1=D1C2，∴△A2C2C3的周長=△A1C1C2的周長=，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長分別為1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長和為1+++…+=．故答案為：．考點：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．規(guī)律型；3．綜合題．9．（2017四川省德陽市）若拋物線與x軸交于An、Bn兩點（a為常數(shù)，a≠0，n為自然數(shù)，n≥1），用Sn表示An、Bn兩點間的距離，則S1+S2+……+S2017＝_____________．【答案】．【解析】試題分析：∵=﹣a（x﹣）（x﹣）=0，∴點An的坐標(biāo)為（，0），點Bn的坐標(biāo)為（，0）（不失一般性，設(shè)點An在點Bn的左側(cè)），∴Sn=﹣，∴S1+S2+…+S2017==．故答案為：．考點：1．拋物線與x軸的交點；2．規(guī)律型；3．綜合題．10．（2017四川省資陽市）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是________．【答案】365．【解析】考點：1．規(guī)律型：圖形的變化類；2．壓軸題；3．規(guī)律型．三、解答題11．（2017四川省巴中市）如圖，已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），且兩條直線相交于y軸的正半軸上的點C，當(dāng)點C的坐標(biāo)為（0，）時，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與l1、l2、x軸分別交于點G、E、F，D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）試說明DG與DE的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）若直線l2繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，當(dāng)△MCG為等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）DG=DE；（3）（﹣2，），（﹣1，）．【解析】∵點A（1，0），點B（﹣3，0），點C（0，）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）DG=DE．理由如下：設(shè)直線l1的解析式為y=k1x+b1，將A（1，0），C（0，）代入，解得；設(shè)直線l2的解析式為y=k2x+b2，將B（﹣3，0），C（0，）代入，解得；∵拋物線與x軸的交點為A（1，0），B（﹣3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，又∵點G、D、E均在對稱軸上，∴G（﹣1，），D（﹣1，），E（﹣1，），∴DG=﹣=，DE=﹣=，∴DG=DE；M5與M1重合；綜上所述，滿足條件的點M只有兩個，其坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3．動點型；4．探究型；5．分類討論；6．壓軸題．12．（2017四川省阿壩州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．【答案】（1）直線DE與⊙O相切；（2）4.75．【解析】∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直線DE與⊙O相切；（2）連接OE，設(shè)DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，則DE=4.75．學(xué)%科@網(wǎng)考點：1．直線與圓的位置關(guān)系；2．線段垂直平分線的性質(zhì)；3．與圓有關(guān)的位置關(guān)系；4．探究型．13．（2017山東省萊蕪市）已知△ABC與△DEC是兩個大小不同的等腰直角三角形．（1）如圖①所示，連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②所示，連接DB，將線段DB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90°到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．【解析】∴AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．證明如下：設(shè)DE與AF交于N，由題意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．考點：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．變式探究．14．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）如圖1，Rt△ACB中，∠C=90°，點D在AC上，∠CBD=∠A，過A、D兩點的圓的圓心O在AB上．（1）利用直尺和圓規(guī)在圖1中畫出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）；（2）判斷BD所在直線與（1）中所作的⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)⊙O交AB于點E，連接DE，過點E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足，若點D是線段AC的黃金分割點（即），如圖2，試說明四邊形DEFC是正方形．【答案】（1）作圖見解析；（2）BD與⊙O相切；（3）證明見解析．【解析】DEFC是正方形．試題解析：（1）如圖1，⊙O為所作；（2）BD與⊙O相切．理由如下：連接OD，如圖1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD為⊙O的切線；（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD?CA，∵點D是線段AC的黃金分割點，∴AD2=CD?AC，∵AD=CB，∵AE為直徑，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中，∵∠A=∠CBD，AD=BC，∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四邊形CDEF為矩形，∴四邊形DEFC是正方形．考點：1．圓的綜合題；2．探究型；3．綜合題．15．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）【回顧】如圖1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，則△ABC的面積等于．【探究】圖2是同學(xué)們熟悉的一副三角尺，一個含有30°的角，較短的直角邊長為a；另一個含有45°的角，直角邊長為b，小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形ABCD（如圖3），用了兩種不同的方法計算它的面積，從而推出sin75°=，小麗用兩副這樣的三角尺拼成了一個矩形EFGH（如圖4），也推出sin75°=，請你寫出小明或小麗推出sin75°=的具體說理過程．【應(yīng)用】在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如圖5）．（1）點E在AD上，設(shè)t=BE+CE，求t2的最小值；（2）點F在AB上，將△BCF沿CF翻折，點B落在AD上的點G處，點G是AD的中點嗎？說明理由．【答案】【回顧】3；【探究】答案見解析；【應(yīng)用】（1）86+25；（2）點G不是AD的中點．【解析】試題解析：由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b．【回顧】如圖1中，作AH⊥BC．在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB?sin30°=，∴S△ABC=?BC?AH=×4×=3，故答案為：3．探究：如圖3中，如圖4中，易知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=75°，∴S四邊形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四邊形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b?2a?sin75°，∴sin75°=．學(xué)%科網(wǎng)應(yīng)用：（1）作C關(guān)于AD的對稱點H，CH交AD于J，連接BH，EH．在Rt△DCJ中，JC=CD?sin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值為BH，∴t=BE+CE，t2的最小值為BH2，即為86+25．考點：1．四邊形綜合題；2．閱讀型；3．最值問題；4．操作型；5．探究型；6．壓軸題．16．（2017湖南省婁底市）如圖，在?ABCD中，各內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H．（1）求證：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四邊形EFGH是什么樣的特殊四邊形？證明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四邊形EFGH的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）矩形；（3）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，進而判定△ABG≌△CDE；（2）根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，進而判定四邊形EFGH是矩形；（3）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，得到BG，AG，BF，CF，進而得出EF和GF的長，可得四邊形EFGH的面積．試題解析：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵?ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面積=EF×GF=．考點：1．平行四邊形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．探究型．17．（2017湖南省婁底市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC的中點，OE交CD于點F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求的長；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求證：.【答案】（1）2π；（2）DE與⊙O相切；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；（2）欲證明DE是切線，只要證明OD⊥DE即可；∽△ABC，∴AC2=AD?AB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EF?AB，∴2CE2=EF?AB．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．直線與圓的位置關(guān)系；3．探究型；4．圓的綜合題．18．（2017貴州省銅仁市）如圖，已知點E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD對角線BD所在直線上的兩點，連接AE，CF，請你添加一個條件，使得△ABE≌△CDF，并證明．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，得出∠EBA=∠FDC，根據(jù)SAS證兩三角形全等即可．試題解析：添加的條件是DE=BF，理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠EBA=∠FDC，∵DE=BF，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠EBA=∠FDC，BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．考點：1．平行四邊形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定；3．開放型．19．（2017貴州省黔西南州）如圖1，拋物線，經(jīng)過A（1，0）、B（7，0）兩點，交y軸于D點，以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，是S△ABM=S△ABC？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F(xiàn)是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù)，并說明理由；②若AF=BE，當(dāng)點E由A運動到C時，請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長（不需要寫過程）．【答案】（1）；（2）點M的坐標(biāo)為（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．【解析】②當(dāng)AE≠BF時，由①可知點P在以AB為直徑的圓上，過點M作ME⊥AB，垂足為E．先求得⊙M的半徑，然后依據(jù)弧長公式可求得點P運動的路徑；當(dāng)AE=BF時，點P在AB的垂直平分線上時，過點C作CK⊥AB，則點P運動的路徑=CK的長．試題解析：（1）將點A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得：，解得：a=，b=﹣2，∴拋物線的解析式為．（2）存在點M，使得S△ABM=S△ABC．理由：如圖所示：過點C作CK⊥x軸，垂足為K．∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，∴∠APB=180°﹣60°=120°．②當(dāng)AE≠BF時，由①可知點P在以AB為直徑的圓上，過點M作ME⊥AB，垂足為E．綜上所述，點P運動的路徑為或．學(xué)%￥科@網(wǎng)考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．探究型；3．動點型；4．存在型；5．分類討論；6．壓軸題．20．（2017遼寧省撫順市）如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H．（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若HB=2，cosD=，請求出AC的長．【答案】（1）DC與⊙O相切；（2）．【解析】（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC===，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=．考點：1．直線與圓的位置關(guān)系；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．探究型．21．（2017遼寧省撫順市）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF、ON交于點B、點C，連接AB、PB．（1）如圖1，當(dāng)P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設(shè)=k，當(dāng)P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【解析】∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（2）存在，理由：如圖2中，連接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）連接BQ．考點：1．相似形綜合題；2．最值問題；3．動點型；4．探究型；5．存在型；6．壓軸題．22．（2017遼寧省盤錦市）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O與AC相交于點D，過點D作DE⊥AB交CB延長線于點E，垂足為點F．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑R=5，tanC=，求EF的長．【答案】（1）直線DE是⊙O的切線；（2）．【解析】（2）過D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半徑R=5，tanC=，∴BC=10，設(shè)BD=k，CD=2k，∴BC=k=10，∴k=2，∴BD=2，CD=4，∴DH==4，∴OH==3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH?OE，∴OE=，∴BE=，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴，即，∴BF=2，∴EF==．考點：1．直線與圓的位置關(guān)系；2．等腰三角形的性質(zhì)；3．解直角三角形；4．探究型．23．（2017遼寧省盤錦市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接OC、OP，將線段OP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ．（1）如圖1，當(dāng)點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當(dāng)點P在CB延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點P在BC延長線上時，若∠BPO=15°，BP=4，請求出BQ的長．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）．【解析】試題解析：（1）結(jié)論：BQ=CP．理由：如圖1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延長線于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（3）如圖3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一點F，使得FP=FC，連接CF．∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，∴∠POC=45°，∴CE=EO，設(shè)CE=CO=a，則EC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，PC===，∵PC+CB=4，∴，解得a=，∴PC=，由（2）可知BQ=PC，∴BQ=．考點：1．幾何變換綜合題；2．探究型；3．變式探究；4．壓軸題．24．（2017遼寧省阜新市）在菱形ABCD中，點E為對角線BD上一點，點F，G在直線BC上，且BE=EG，∠AEF=∠BEG．（1）如圖1，求證：△ABE≌△FGE；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=120°時，求證：AB=BE+BF；（3）如圖3，當(dāng)∠ABC=90°，點F在線段BC上時，線段AB，BE，BF的數(shù)量關(guān)系如何？（請直接寫出你猜想的結(jié)論）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BF+AB=BE．【解析】BEG為等腰直角三角形，從而得到結(jié)論．學(xué)%科*網(wǎng)試題解析：（1）∵BE=EG，∴∠EBG=∠EGB．∵ABCD是菱形，∴∠ABE=∠EBG，∴∠ABE=∠EGB．∵∠AEF=∠BEG，∴∠AEB=∠FEG．在△AEB和△FEG中，∵∠ABE=∠EGB，BE=EG，∠AEB=∠FEG，∴△ABE≌△FGE；（2）∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG．∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠EBG=60°，∵BE=EG，∴△BEG為等邊三角形，∴BE=BG，∴AB=BE+BF；（3）BF+AB=BE．理由如下：∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG，∴BF+AB=BF+FG=BG．∵∠ABC=90°，∴∠EBG=45°．∵BE=EG，∴∠EGF=∠EBG=45°，∴∠BEG=90°，∴△BEG為等腰直角三角形，∴BG=BF+AB=BE．考點：1．菱形的性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．和差倍分；6．四邊形綜合題．25．（2017遼寧省錦州市）已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點F，G，H分別為DE，BE，CD中點．（1）當(dāng)△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)時，如圖1，則△FGH的形狀為，說明理由；（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B，D，E三點共線時，如圖2，若AB=3，AD=2，求線段FH的長；（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），則△FGH的周長是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）△FGH是等邊三角形；（2）；（3）△FGH的周長最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．【解析】試題分析：（1）結(jié)論：△FGH是等邊三角形．理由如下：根據(jù)三角形中位線定理證明FG=FH，再想辦法證明∠GFH=60°即可解決問題；、（2）如圖2中，連接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先證明△GFH的周長=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解決問題；試題解析：（1）結(jié)論：△FGH是等邊三角形．理由如下：如圖1中，連接BD、CE，延長BD交CE于M，設(shè)BM交FH于點O．（2）如圖2中，連接AF、EC．考點：1．幾何變換綜合題；2．探究型；3．變式探究；4．最值問題；5．壓軸題．26．（2017四川省德陽市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線C1：（m≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，其中A（-1，0），C（0，-1）．（1）求拋物線C1及直線AC的解析式；（2）沿直線AC上A至C的方向平移拋物線C1，得到新的拋物線C2，C2上的點D為C1上的點C的對應(yīng)點，若拋物線C2恰好經(jīng)過點B，同時與x軸交于另一點E，連結(jié)OD、DE，試判斷ΔODE的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，或P為線段OE（不含端點）上一動點，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于G，設(shè)PF＝h1，PG＝h2，試判斷h1．h2的值是否存在最大值，若存在，求出這個最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1），y=﹣x﹣1；（2）△ODE是等腰三角形；（3）當(dāng)x=時，h1h2的值最大，是，此時點P（，0）．【解析】試題解析：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得：，解得：，∴AC的解析式為：y=﹣x﹣1；把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得：中，∵，∴，∴拋物線C1：；（3）如圖2，設(shè)P（x，0），連接PD，則OP=x，PE=5﹣x，S△OPD=×5h2=×4x，h2=，由勾股定理得：DE==，S△PDE=×=，h1=，h1h2===，當(dāng)x=時，h1h2的值最大，是，此時點P（，0）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．探究型；5．二次函數(shù)圖象與幾何變換；6．動點型；7．存在型；8．壓軸題．27．（2017山東省濟南市）如圖1，?OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3，A（2，1），反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過的B．（1）求點B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖2，直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點，若點O和點B關(guān)于直線MN成軸對稱，求線段ON的長；（3）如圖3，將線段OA延長交（x＞0）的圖象于點D，過B，D的直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，請?zhí)骄烤€段ED與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）B（2，4），；（2）；（3）BF=DE．【解析】（2，4）代入中，得到k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）如圖2中，設(shè)K是OB的中點，則K（1，2）．∵直線OB的解析式為y=2x，∴直線MN的解析式為y=﹣x+，∴N（0，），∴ON=．（3）結(jié)論：BF=DE．理由如下：如圖3中，延長BA交x軸于N，作DM⊥x軸于M，作NK∥EF交y軸于K．設(shè)ON=n，OM=m，ME=a．則BN=，DM=．∵△EDM∽△EBN，∴，∴，可得a=m，∵NK∥EF，∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，∴△KNO≌△DEM，∴DE=KN，∵FK∥BN，NK∥FB，∴四邊形NKFB是平行四邊形，∴NK=BF，∴BF=DE．考點：1．反比例函數(shù)綜合題；2．探究型；3．綜合題．28．（2017山東省濟南市）某學(xué)習(xí)小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到了下面的問題：如圖1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，點E，A，C在同一條直線上，連接BD，點F是BD的中點，連接EF，CF，試判斷△CEF的形狀并說明理由．問題探究：（1）小婷同學(xué)提出解題思路：先探究△CEF的兩條邊是否相等，如EF＝CF，以下是她的證明過程證明：延長線段EF交CB的延長線于點G．∵F是BD的中點，∴BF＝DF．∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴ED∥CG．∴∠BGF＝∠DEF．又∵∠BFG＝∠DFE，∴△BGF≌△DEF（），∴EF＝FG，∴CF＝EF＝EG．學(xué)%科&網(wǎng)請根據(jù)以上證明過程，解答下列兩個問題：①在圖1中作出證明中所描述的輔助線；②在證明的括號中填寫理由（請在SAS，ASA，AAS，SSS中選擇）．（2）在（1）的探究結(jié)論的基礎(chǔ)上，請你幫助小婷求出∠CEF的度數(shù)，并判斷△CEF的形狀．問題拓展：（3）如圖2，當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度時，連接CE，延長DE交BC的延長線于點P，其他條件不變，判斷△CEF的形狀并給出證明．【答案】（1）答案見解析；（2）∠CEF=60°，△CEF為等邊三角形；（3）△CEF是等邊三角形．【解析】試題解析：（1）①由題意作圖如圖1所示圖形，②證明：延長線段EF交CB的延長線于點G．∵F是BD的中點，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG，∴∠BGF=∠DEF．又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（ASA），∴EF=FG，∴CF=EF=EG．故答案為：ASA；（2）如圖3，延長BA，DE相交于點F，∵∠BAC=60°，∴∠EAH=60°=∠EAD，∵∠AED=90°，∴∠H=30°，EH=DE，由（1）②知，△BGF≌△DEF，∴DE=BG，∴EH=BG，∵DE∥BG，∴四邊形BGEH是平行四邊形，∠DEF=∠H=30°，∴∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°，∵CF=EF，∴△CEF是等邊三角形；（3）如圖2，延長EF至G使，F(xiàn)G=EF，∵點F是BD的中點，∴DF=BF，∵∠DFE=∠BFG，∴△DEF≌△BGF（SAS），∴BG∥DP，∴∠P+∠CBG=180°，在四邊形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠CAE+∠P=180°，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∴tan∠DAE==，即：=，同理：=，∴，∵∠CBG=∠CAE，∴△BCG∽△ACE，∴∠BCG=∠ACE，∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，在Rt△CEG中，EF=GF，∴CF=EF=EG，∵△BCG∽△ACE，∴==，在Rt△CEG中，tan∠CEG==，∴∠CEG=60°，∵CF=EF，∴△CEF是等邊三角形．考點：1．幾何變換綜合題；2．和差倍分；3．探究型；4．相似三角形的判定與性質(zhì)；5．壓軸題．29．（2017遼寧省朝陽市）已知，在△ABC中，點D在AB上，點E是BC延長線上一點，且AD=CE，連接DE交AC于點F．（1）猜想證明：如圖1，在△ABC中，若AB=BC，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：DF=EF．下面是兩位學(xué)生的證明思路：思路1：過點D作DG∥BC，交AC于點G，可證△DFG≌△EFC得出結(jié)論；思路2：過點E作EH∥AB，交AC的延長線于點H，可證△ADF≌△HEF得出結(jié)論；…請你參考上面的思路，證明DF=EF（只用一種方法證明即可）．（2）類比探究：在（1）的條件下（如圖1），過點D作DM⊥AC于點M，試探究線段AM，MF，F(xiàn)C之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）延伸拓展：如圖2，在△ABC中，若AB=AC，∠ABC=2∠BAC，=m，請你用尺規(guī)作圖在圖2中作出AD的垂直平分線交AC于點N（不寫作法，只保留作圖痕跡），并用含m的代數(shù)式直接表示的值．【答案】（1）證明見解析；（2）FM=AM+FC；（3）=．【解析】（b﹣a）=，由此即可解決問題；試題解析：（1）思路1：如圖1﹣1中，過點D作DG∥BC，交AC于點G．∵BA=BC，∴∠A=∠BCA，∵DG∥BC，∴∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF，∴∠A=∠DGA，∴DA=DG，∵AD=CE，∴DG=CE，∵∠DFG=∠CFE，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．思路2：如圖1﹣2中，過點E作EH∥AB，交AC的延長線于點H．∵BA=BC，∴∠A=∠BCA，∵EH∥AB，∴∠A=∠H，∠ECH=∠BCA，∴∠H=∠ECH，∴EC=EH，∵AD=CE，∴AD=EH，∵∠AFD=∠EFH，∴△DFA≌△EFH，∴DF=EF．（2）結(jié)論：FM=AM+FC．理由：如圖2中，由思路1可知：DA=DG，△DFG≌△EFC，∵DM⊥AG，∴AM=FG，F(xiàn)G=FC，∵FM=FG+GM，∴FM=AM+FC．（3）AD的垂直平分線交AC于點N，如圖3中所示．考點：1．相似形綜合題；2．閱讀型；3．探究型；4．和差倍分；5．壓軸題．30．（2017遼寧省沈陽市）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，拋物線與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，連接AB，點M、N分別是OA、AB的中點．Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始終保持邊ED經(jīng)過點M，邊CD經(jīng)過點N，邊DE與y軸交于點H，邊CD與y軸交于點G．（1）填空，OA的長是，∠ABO的度數(shù)是度；（2）如圖2，當(dāng)DE∥AB，連接HN．①求證：四邊形AMHN是平行四邊形；②判斷點D是否在拋物線的對稱軸上，并說明理由；