第三章 矩陣和向量的應用

第三章矩陣和向量的應用向量空間一、向量空間及其子空間1.定義：設V是n維向量的非空集合，如果V對于向量加法及數(shù)乘兩種運算封閉，即：則稱集合V為n維向量空間,簡稱為向量空間。例如：2.子空間：W、V為向量空間，若WV，則稱W是V的子空間。如都是的子空間。例：只需證明向量空間的基與維數(shù)定義：滿足基中所含向量個數(shù)r稱為向量空間的維數(shù)?；鶠槿粝蛄靠臻g的基為向量在基下的坐標定義：設是向量空間V的基，注：1.向量在一組確定的基下的坐標是惟一的。（為什么？）2.向量空間的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐標也不一樣。你能推導出向量在不同基下的坐標變換式嗎？詳見參考書第59頁。3.向量在一組基下的坐標如何求？一般有兩種求法：待定系數(shù)法與矩陣方程法。線性方程組一、齊次線性方程組稱為齊次線性方程組。系數(shù)矩陣方程組的矩陣形式齊次線性方程組解的性質(zhì)顯然是方程組的解；稱為零解。若非零向量是方程組的解，則稱為非零解，也稱為非零解向量。性質(zhì)1：齊次方程組的兩個解的和仍是方程組的解。即：性質(zhì)2：令則V構(gòu)成一個向量空間。稱為方程組的解空間。若齊次線性方程組的解空間存在一組基則方程組的全部解就是這稱為方程組的通解。由此可見，要求方程組的全部解，只需求出其基。定義：若齊次方程組的有限個解滿足：則稱也就是說，我們將解空間的基稱為基礎解系，此時，通解就是基礎解系的線性組合，即為：齊次線性方程組基礎解系的求法1.行最簡形矩陣：設r(A)=r<n,且不妨設A中最左上角的r階子式不為零。則經(jīng)有限次行初等變換，矩陣A化為：顯然：行最簡形為：真未知量自由未知量由自由未知量惟一確定從推導過程可以看出：基礎解系不惟一，但所含向量個數(shù)相等，都等于n-r(A).綜上有：必須牢記：基礎解系所含向量的個數(shù)為

未知數(shù)個數(shù)減系數(shù)矩陣的秩。推論1：對齊次線性方程組，有若r(A)=n則方程組有惟一零解;若r(A)=r<n，則方程組有無數(shù)多解，其通解為例1：求方程組的通解解：同解方程組為基礎解系為通解為例2：求方程組的通解同解方程組為基礎解系為：Ex:推論2：n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零。二、非齊次線性方程組系數(shù)矩陣方程組的矩陣形式非齊次方程組的導出組（1）非齊次線性方程組的有解判定引進向量方程組的向量方程方程組（1）有解非齊次線性方程組的解法1.非齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1：非齊次方程組（1）的兩個解的差是它的導出組的解。性質(zhì)2：非齊次方程組（1）的一個解與其導出組的一個解的和是非齊次方程組（1）的解。2.非齊次線性方程組的通解則非齊次方程組（1）的通解為定理：推論：通解為例1：求解方程組有解同解方程組為所以基礎解系為通解為例2：求方程組的通解同解方程組為有解基礎解系為：非齊次方程組的求解步驟如何確定？注意什么？含參數(shù)的方程組在求解方程組之前，要先確定參數(shù)值?！@是準則。而參數(shù)值的確定，要依據(jù)有解的條件即：一般而言，有兩種方法確定參數(shù)值。一種是行列式法，另一種是初等變換法。補充不再是含參數(shù)的方程組了。不再是含參數(shù)的方程組了。問題：此題能用行列式法求解嗎？不能！兩個關于方程組的問題：由題設，基礎解系只含一個解向量，可取為（詳見參考書第82頁。）（詳見參考書第82頁。）向量組的正交性一、向量的內(nèi)積：1.定義1：設有向量2.向量的單位化二、向量的夾角：自學。三、向量的正交性：1.定義2.2.定義3.為正交向量組。也稱為單位正交組或標準正交組。3.正交向量組的性質(zhì)定理:回憶:如何證明一組向量線性無關?證:(i=1,2,···,m