數(shù)學(xué)分析第6章微分中值定理及其應(yīng)用6-3

§3泰勒公式多項式函數(shù)是最簡單的函數(shù).用多項一、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式三、在近似計算中的應(yīng)用二、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)的研究課題之一.式來逼近一般的函數(shù)是近似計算的重返回在處可導(dǎo),由有限增量公式當(dāng)充分小時,可以由一次多項式近似地代替,其誤差為.在許多情況下,一、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式是不夠的,而要考慮用較高次誤差僅為的多項式來逼近f,使得誤差更小,問題:是否存在一個n次多項式使得答案:當(dāng)f(x)在點x0有n階導(dǎo)數(shù)時,這樣的n次多設(shè)則有什么關(guān)系？項式是存在的.現(xiàn)在來分析這樣的多項式與f(x)即上式表明Pn(x)的各項系數(shù)是由其在點x0的各階設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo).如果導(dǎo)數(shù)所確定的.即則不難得到:為f(x)在點x0的n階泰勒多項式,稱為泰勒系數(shù).確實是我們所需要的多項式.定理6.8設(shè)f(x)在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則即只需證因為由（1）式，則當(dāng)連續(xù)使用n–1次洛必達(dá)法則,得到證設(shè)式稱為在點處的帶有佩亞諾型余項的n階泰勒公式.注1附近滿足也不能說明一定是f(x)的n階泰勒多項式.處滿足(4)但是當(dāng)n>1時,不是f(x)在點的

n階泰勒多項式,原因是f(x)在點x=0的高階導(dǎo)數(shù)(二階和二階以上)都不存比如在,所以無法構(gòu)造

n階多項式.注3可以證明對任意一個n次多項式存在使得這也就是說,是逼近的最佳n次多項式.注2若f(x)在點x0有n階導(dǎo)數(shù),則只有惟一的多項式(泰勒多項式Tn(x))滿足:在以后的應(yīng)用中,公式(3)中的x0常被取作0,形此式稱為(帶有佩亞諾型余項)的麥克勞林公式.式變?yōu)辂溈藙诹?Maclaurin,C.1698-1746,蘇格蘭)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英國)

例1驗證下列公式以上這些公式均為最基本的泰勒公式(麥克勞林公式),請務(wù)必牢記.于是n階麥克勞林公式為證這里僅驗證1和6,其余請讀者自己驗證.驗證1因為所以驗證6設(shè)則故例2求的麥克勞林公式,并求解由例1那么由定理6.8的注2,可知上式就是的麥克勞林公式,由泰勒系數(shù)公式可知于是得到例3求在點的泰勒公式.解下面這個例題是說明如何利用泰勒公式來求極限.例4求解因為本題雖然可用洛必達(dá)法則來求,但上面的方法比所以較簡單.前面講的帶有佩亞諾型余項的泰勒公式實際上是下面是一個定量形式的泰勒公式.我們用泰勒多項式去替代函數(shù),其誤差為有限增量公式的一個推廣,它只是定性地的告訴泰勒公式二、帶有拉格朗日型余項的定理6.9(泰勒定理)若函數(shù)上存在直到n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)數(shù),則或者其中階泰勒多項式.證設(shè)不妨設(shè)上連續(xù),在上可導(dǎo),且由柯西中值定理,得因為所以為

f(x)在點x0的

n階拉格朗日型余項,公式(5)

于是就得到我們稱稱為

f(x)在點

x0的帶有拉格朗日型余項的

n階注請比較公式(5)與拉格朗日中值定理.泰勒公式.因之間,故存在正數(shù)所以使得又可寫成當(dāng)時,公式(5)成為公式(6)稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公例1中六個公式的余項均為佩亞諾型的,現(xiàn)在將不一樣.讀者在應(yīng)用時,需根據(jù)不同情況選擇合適分均為泰勒多項式,而不同的是Rn(x)的表達(dá)形式式.公式(3)與公式(5)都是泰勒公式,并且前面部它們改寫為帶有拉格朗日型余項的公式:形式的余項.這里僅對公式(iii)進(jìn)行驗證,其余5個請讀者自理.于是從而有例5(1)計算e的值,使其誤差不超過(2)證明e是無理數(shù).解由例5可知三、泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用于是下證

e是無理數(shù).這是因為其誤差不超過.矛盾.所以e是一個無理數(shù).(同樣可證明都不是有理數(shù).)例6計算ln2的值,使其誤差不超過10

-4.解

我們自然會想到利用公式(iv)，此時用x=1代入，它的余項是那么不是整數(shù).而由(7)式得到整數(shù)整數(shù)整數(shù),現(xiàn)考慮函數(shù)顯然這樣的計算量太大,所以必須尋找新的方法.而于是只要