數(shù)學(xué)分析第6章微分中值定理及其應(yīng)用6-3

§3泰勒公式多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù).用多項(xiàng)一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式三、在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)的研究課題之一.式來(lái)逼近一般的函數(shù)是近似計(jì)算的重返回在處可導(dǎo),由有限增量公式當(dāng)充分小時(shí),可以由一次多項(xiàng)式近似地代替,其誤差為.在許多情況下,一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是不夠的,而要考慮用較高次誤差僅為的多項(xiàng)式來(lái)逼近f,使得誤差更小,問(wèn)題:是否存在一個(gè)n次多項(xiàng)式使得答案:當(dāng)f(x)在點(diǎn)x0有n階導(dǎo)數(shù)時(shí),這樣的n次多設(shè)則有什么關(guān)系？項(xiàng)式是存在的.現(xiàn)在來(lái)分析這樣的多項(xiàng)式與f(x)即上式表明Pn(x)的各項(xiàng)系數(shù)是由其在點(diǎn)x0的各階設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo).如果導(dǎo)數(shù)所確定的.即則不難得到:為f(x)在點(diǎn)x0的n階泰勒多項(xiàng)式,稱(chēng)為泰勒系數(shù).確實(shí)是我們所需要的多項(xiàng)式.定理6.8設(shè)f(x)在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則即只需證因?yàn)橛桑?）式，則當(dāng)連續(xù)使用n–1次洛必達(dá)法則,得到證設(shè)式稱(chēng)為在點(diǎn)處的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式.注1附近滿(mǎn)足也不能說(shuō)明一定是f(x)的n階泰勒多項(xiàng)式.處滿(mǎn)足(4)但是當(dāng)n>1時(shí),不是f(x)在點(diǎn)的

n階泰勒多項(xiàng)式,原因是f(x)在點(diǎn)x=0的高階導(dǎo)數(shù)(二階和二階以上)都不存比如在,所以無(wú)法構(gòu)造

n階多項(xiàng)式.注3可以證明對(duì)任意一個(gè)n次多項(xiàng)式存在使得這也就是說(shuō),是逼近的最佳n次多項(xiàng)式.注2若f(x)在點(diǎn)x0有n階導(dǎo)數(shù),則只有惟一的多項(xiàng)式(泰勒多項(xiàng)式Tn(x))滿(mǎn)足:在以后的應(yīng)用中,公式(3)中的x0常被取作0,形此式稱(chēng)為(帶有佩亞諾型余項(xiàng))的麥克勞林公式.式變?yōu)辂溈藙诹?Maclaurin,C.1698-1746,蘇格蘭)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英國(guó))

例1驗(yàn)證下列公式以上這些公式均為最基本的泰勒公式(麥克勞林公式),請(qǐng)務(wù)必牢記.于是n階麥克勞林公式為證這里僅驗(yàn)證1和6,其余請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證.驗(yàn)證1因?yàn)樗则?yàn)證6設(shè)則故例2求的麥克勞林公式,并求解由例1那么由定理6.8的注2,可知上式就是的麥克勞林公式,由泰勒系數(shù)公式可知于是得到例3求在點(diǎn)的泰勒公式.解下面這個(gè)例題是說(shuō)明如何利用泰勒公式來(lái)求極限.例4求解因?yàn)楸绢}雖然可用洛必達(dá)法則來(lái)求,但上面的方法比所以較簡(jiǎn)單.前面講的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式實(shí)際上是下面是一個(gè)定量形式的泰勒公式.我們用泰勒多項(xiàng)式去替代函數(shù),其誤差為有限增量公式的一個(gè)推廣,它只是定性地的告訴泰勒公式二、帶有拉格朗日型余項(xiàng)的定理6.9(泰勒定理)若函數(shù)上存在直到n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)數(shù),則或者其中階泰勒多項(xiàng)式.證設(shè)不妨設(shè)上連續(xù),在上可導(dǎo),且由柯西中值定理,得因?yàn)樗詾?/p>

f(x)在點(diǎn)x0的

n階拉格朗日型余項(xiàng),公式(5)

于是就得到我們稱(chēng)稱(chēng)為

f(x)在點(diǎn)

x0的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的

n階注請(qǐng)比較公式(5)與拉格朗日中值定理.泰勒公式.因之間,故存在正數(shù)所以使得又可寫(xiě)成當(dāng)時(shí),公式(5)成為公式(6)稱(chēng)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公例1中六個(gè)公式的余項(xiàng)均為佩亞諾型的,現(xiàn)在將不一樣.讀者在應(yīng)用時(shí),需根據(jù)不同情況選擇合適分均為泰勒多項(xiàng)式,而不同的是Rn(x)的表達(dá)形式式.公式(3)與公式(5)都是泰勒公式,并且前面部它們改寫(xiě)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的公式:形式的余項(xiàng).這里僅對(duì)公式(iii)進(jìn)行驗(yàn)證,其余5個(gè)請(qǐng)讀者自理.于是從而有例5(1)計(jì)算e的值,使其誤差不超過(guò)(2)證明e是無(wú)理數(shù).解由例5可知三、泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用于是下證

e是無(wú)理數(shù).這是因?yàn)槠湔`差不超過(guò).矛盾.所以e是一個(gè)無(wú)理數(shù).(同樣可證明都不是有理數(shù).)例6計(jì)算ln2的值,使其誤差不超過(guò)10

-4.解

我們自然會(huì)想到利用公式(iv)，此時(shí)用x=1代入，它的余項(xiàng)是那么不是整數(shù).而由(7)式得到整數(shù)整數(shù)整數(shù),現(xiàn)考慮函數(shù)顯然這樣的計(jì)算量太大,所以必須尋找新的方法.而于是只要