2023年廣東中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第2部分-專(zhuān)題突破-專(zhuān)題十二-圓的綜合題

專(zhuān)題十二圓的綜合題考情分析6年5考，2023～2023年均在第24題出現(xiàn)，且分值均為9分．重點(diǎn)考查切線的判定和性質(zhì)，涉及圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算等．預(yù)計(jì)在2023年仍是重點(diǎn)考查內(nèi)容．例如圖1，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點(diǎn)A，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)M，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交BM于點(diǎn)N，ME⊥BC于點(diǎn)E，AB2＝AF·AC.圖1(1)求證：△ABM≌△EBM；(2)求證：FB是⊙O的切線；(3)假設(shè)cos∠ABD＝eq\f(3,5)，AD＝12.求四邊形AMEN的面積S.方法總結(jié)切線的判定主要有兩條途徑：1.圓心到直線的距離等于半徑；2.證明直線經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑．注意：1假設(shè)圓心與切點(diǎn)無(wú)連線，需先作輔助線；2.解題過(guò)程中一般會(huì)涉及到全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，常利用圓周角定理和切線的性質(zhì)得到角的大小或角之間的等量關(guān)系，利用兩弧相等得到線段或角度相等．訓(xùn)練1.如圖2，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)M，BE⊥CD于點(diǎn)E.圖2(1)求證：∠BME＝∠MAB；(2)求證：△BME∽△BAM；(3)假設(shè)BE＝eq\f(18,5)，sin∠BAM＝eq\f(3,5)，求線段AM的長(zhǎng)．2.如圖3，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點(diǎn)，且AD∥CO.圖3(1)求證：△ADB∽△OBC；(2)假設(shè)∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的長(zhǎng)；(3)連接CD，試證明CD是⊙O的切線．3．如圖4，等邊三角形ABC，M是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AM交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD至N，使得BN＝AM，連接CN，MN，解答以下問(wèn)題：圖4(1)猜測(cè)△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)請(qǐng)你證明CN是⊙O的切線；(3)假設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，求AD·AM的值．4.如圖5，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且對(duì)角線AC為直徑，AD＝BC，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB及CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，M.圖5(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)假設(shè)點(diǎn)G為MF的中點(diǎn)，求證：BG是⊙O的切線；(3)假設(shè)AD＝4，CM＝9，求四邊形ABCD的面積．5．，⊙O經(jīng)過(guò)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AC，垂足為K，過(guò)點(diǎn)D作DH∥KB，DH分別與AC，AB，⊙O及CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)如圖6，求證：AE＝CK；(2)如圖7，連接AH，GB，假設(shè)F是EG的中點(diǎn)，求證：四邊形BKEG為矩形；(3)在(2)的條件下，求出tan∠HAC的值．圖6圖76.如圖8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G，DF⊥DG，且交BC于點(diǎn)F.圖8(1)求證：AE＝BF；(2)連接GB，EF，求證：GB∥EF；(3)假設(shè)AE＝1，EB＝2，求DG的長(zhǎng)．參考答案例(1)證明：∵AB是直徑，∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB.∵M(jìn)E⊥BE，BM平分∠ABC，∴AM＝ME.∵在Rt△BMA和Rt△BME中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BM＝BM，,MA＝ME，))∴△ABM≌△EBM.(2)證明：∵AB2＝AF·AC，∴eq\f(AB,AF)＝eq\f(AC,AB).又∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA.∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即BC⊥BF.又BC為⊙O的直徑，∴FB為⊙O的切線．(3)解：在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝eq\f(3,5)，AD＝12，∴sin∠ABD＝eq\f(4,5)，tan∠ABD＝eq\f(4,3).∴BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝9，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝15，AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6.由(1)知△MEC∽△ADC，設(shè)ME＝x，那么eq\f(ME,AD)＝eq\f(MC,AC)，即eq\f(x,12)＝eq\f(20－x,20)，解得x＝eq\f(15,2)，即ME＝eq\f(15,2).∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°，又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND，∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME.∵AN∥EM，∴四邊形AMEN是平行四邊形．∴S＝ME·DE＝eq\f(15,2)×6＝45.訓(xùn)練1.(1)證明：如圖1，連接OM，圖1∵直線CD切⊙O于點(diǎn)M，∴∠OMD＝90°.∴∠BME＋∠OMB＝90°.∵AB為⊙O的直徑，∴∠AMB＝90°.∴∠AMO＋∠OMB＝90°.∴∠BME＝∠AMO.∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO.∴∠BME＝∠MAB.(2)證明：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°.∴△BME∽△BAM.(3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵sin∠BAM＝eq\f(3,5)，∴sin∠BME＝eq\f(3,5).在Rt△BEM中，∵BE＝eq\f(18,5)，∴sin∠BME＝eq\f(BE,BM)＝eq\f(3,5).∴BM＝6.在Rt△ABM中，∵sin∠BAM＝eq\f(3,5)，∴sin∠BAM＝eq\f(BM,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝6×eq\f(5,3)＝10.根據(jù)勾股定理得，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝8.2．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°.∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC.∴△ADB∽△OBC.(2)解：如圖2，連接OD，圖2由(1)知，△ADB∽△OBC，∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°.∵AO＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∠AOD＝60°.∵AB＝2，∴AO＝1.∴eq\x\to(AD)的長(zhǎng)為eq\f(60·π·1,180)＝eq\f(π,3).(3)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°.∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF.∵OD＝OB，OC＝OC，在△ODC和△OBC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OD＝OB，,∠DOF＝∠BOF，,OC＝OC，))∴△ODC≌△OBC(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴OD⊥DC.∵OD是半徑，∴CD是⊙O的切線．3．(1)解：△CMN是等邊三角形；證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝60°.在△BCN與△ACM中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝AC，,∠CBN＝∠CAM，,BN＝AM，))∴△BCN≌△ACM.∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM.∴∠BCN－∠ACN＝∠ACM－∠ACN，即∠MCN＝∠ACB＝60°.∴△CMN是等邊三角形．(2)證明：如圖3，連接OA，OB，OC，圖3在△BOC與△AOC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,AC＝BC，,OC＝OC，))∴△BOC≌△AOC.∴∠ACO＝∠BCO＝eq\f(1,2)ACB＝30°.∵∠ACB＝∠MCN＝60°，∴∠ACN＝60°.∴∠OCN＝60°＋30°＝90°.∴OC⊥CN.∵OC是半徑，∴CN是⊙O的切線．(3)解：∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ABC.∵∠BAD＝∠MAB，∴△ABD∽△AMB.∴eq\f(AB,AM)＝eq\f(AD,AB).∴AD·AM＝AB2＝22＝4.4．(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC＝CA，AD＝CB，∴Rt△ADC≌Rt△CBA.∴∠CAD＝∠ACB.∴AD∥BC.又AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．(2)證明：如圖4，連接OB，圖4在Rt△MBF中，G是MF的中點(diǎn)，∴BG＝eq\f(1,2)MF＝FG.∴∠GBF＝∠GFB＝∠AFE.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵DG⊥AC，∴∠AFE＋∠OAB＝90°.∴∠GBF＋∠OBA＝90°，即OB⊥BG.∵OB是半徑，∴BG是⊙O的切線．(3)解：由(1)得四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCM＝90°.又AC⊥DG，∴∠CDM＋∠ACD＝90°，∠CDM＋∠M＝90°.∴∠ACD＝∠M.又∠ADC＝∠DCM，∴△ACD∽△DMC.∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(DC,CM).∴DC2＝AD·CM＝36.∴DC＝6.∴S矩形ABCD＝AD·CD＝24.5．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCK.∵DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKC＝∠AED＝90°.在△AED和△CKB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AED＝∠CKB，,∠DAE＝∠BCK，,AD＝CB，))∴△AED≌△CKB(AAS)．∴AE＝CK.(2)證明：∵∠BAD＝90°，∴∠BGD＝∠BAD＝90°.∵∠BKC＝90°，∴∠BKE＝90°.又DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKE＝∠BGD＝90°.∴四邊形BKEG為矩形．(3)解：在△AEF和△BGF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠BGF＝90°，,EF＝GF，,∠AFE＝∠BFG，))∴△AEF≌△BGF(ASA)．∴AE＝BG，AF＝BF.∴AE＝BG＝EK＝CK.∵BK∥EH，∴CK∶EK＝CB∶HB.∴CB＝HB.∵∠ABC＝90°，∴AB是CH的垂直平分線．∴AH＝AC＝3AE.在△AHE中，∠AEH＝90°，∴AE2＋EH2＝AH2.∴EH＝2eq\r(2)AE.∴tan∠HAC＝eq\f(EH,AE)＝2eq\r(2).6．(1)證明：如圖5，連接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°.圖5∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.∴AD＝DC＝BD＝eq\f(1,2)AC，∠CBD＝∠C＝45°.∴∠A＝∠FBD.∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°.∴∠FDB＋∠BDG＝90°.∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB.在△AED和△BFD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FBD，,AD＝BD，,∠EDA＝∠FDB，))∴△AED≌△BFD(ASA)．∴AE＝BF.(2)證明：如圖5，連接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF.∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形．∴∠DEF＝45°.∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF.∴GB∥EF.(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1.在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴EF2＝EB2＋BF2.∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∵△DEF為等腰直角三角形