雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

巴西利亞大教堂北京摩天大樓法拉利主題公園花瓶羅蘭導(dǎo)航系統(tǒng)原理全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)反比例函數(shù)的圖像冷卻塔雙曲線交通結(jié)構(gòu)可緩擁堵

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．2．能根據(jù)條件熟練求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．掌握雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程．1、橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距的一.復(fù)習(xí)提問：|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）2、橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：

o

F1yF1F2MxyxoF2M定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)及位置判定a,b,c之間的關(guān)系|MF1|+|MF2|=2aa>b>0，a2=b2+c2思考問題：差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的一.復(fù)習(xí)提問：1、橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．2．能根據(jù)條件熟練求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．掌握雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程．觀察演示過程中的變量和不變量。1、畫雙曲線演示實(shí)驗(yàn)：用拉鏈畫雙曲線觀察畫雙曲線的過程思考問題1.在作圖的過程中哪些量是定量？哪些量是不定量？

2.動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中滿足什么條件？

3.這個(gè)常數(shù)與|F1F2|的關(guān)系是什么？

4.動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？

5.若拉鏈上被固定的兩點(diǎn)互換，則出現(xiàn)什么情況？①如圖(A)，

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a（差的絕對(duì)值）

|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a根據(jù)實(shí)驗(yàn)及橢圓定義，你能給雙曲線下定義嗎？①兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——焦距.oF2F1M

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.2、雙曲線定義||MF1|-|MF2||=常數(shù)（小于|F1F2|）注意||MF1|-|MF2||

=2a(1)距離之差的絕對(duì)值(2)常數(shù)要小于|F1F2|大于00<2a<2c符號(hào)表示：【思考1】如何理解雙曲線的定義？

【剖析】“常數(shù)要小于|F1F2|且大于0”這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解．“差的絕對(duì)值”這一條件是因?yàn)楫?dāng)|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支．而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”．【思考2】說明在下列條件下動(dòng)點(diǎn)M的軌跡各是什么圖形？（F1、F2是兩定點(diǎn),|F1F2|=2c(0<a<c)

當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a時(shí)，點(diǎn)M的軌跡

；當(dāng)|MF2|-|MF1|=2a時(shí)，點(diǎn)M的軌跡

；

因此，在應(yīng)用定義時(shí)，首先要考查

.雙曲線的右支雙曲線的左支以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線不存在2a與2c的大小線段F1F2的垂直平分線F1F2MF1F2M|MF1|－|MF2|=2a,若2a=0，動(dòng)點(diǎn)M的是軌跡_______________________.若2a=2c，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

；若2a>2c，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

.1.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(-1,0)的距離與到點(diǎn)N(1,0)的距離之差為2,則點(diǎn)P軌跡是()A.雙曲線B.雙曲線的一支

C.兩條射線D.一條射線D當(dāng)堂訓(xùn)練

3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)F2F1MxOy求曲線方程的步驟：以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系2.設(shè)點(diǎn)．設(shè)M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.限式|MF1|-|MF2|=±2a5.化簡(jiǎn)

1.建系.4.代換代數(shù)式化簡(jiǎn)得：可令：c2-a2=b2

代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2其中c2=a2+b2F2F1MxOy此即為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程問題：如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？練習(xí)：寫出以下雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)(二次項(xiàng)系數(shù)為正,焦點(diǎn)在相應(yīng)的軸上)F(±c,0)F(0,±c)OxyF2F1MxOy若建系時(shí),焦點(diǎn)在y軸上呢?？雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何區(qū)別與聯(lián)系?定義

方程

焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，

c2=a2+b2

c最大

a>b>0，c2=a2-b2

a最大雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）共性：1、兩者都是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離問題；2、兩者的定點(diǎn)都是焦點(diǎn)；3、兩者定點(diǎn)間的距離都是焦距。區(qū)別：橢圓是距離之和；雙曲線是距離之差的絕對(duì)值。解：1.已知方程表示橢圓，則的取值范圍是____________.若此方程表示雙曲線，的取值范圍？解：當(dāng)堂訓(xùn)練：2．“ab＜0”是方程ax2＋by2＝1表示雙曲線的（）條件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要C3.已知下列雙曲線的方程：345(0,-5),(0,5)12(-2,0),(2,0)4.寫出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上;(2)焦點(diǎn)為F1(0,-6),F2(0,6),過點(diǎn)M(2,-5)利用定義得2a=||MF1|－|MF2||(3)a=4,過點(diǎn)(1,)分類討論例：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A

和B，根據(jù)兩圓外切的條件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2．根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=1，c=3，則b2=8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為：軌跡問題

變式訓(xùn)練：

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且求頂點(diǎn)A的軌跡方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支又因c=5，a=3，則b=4則頂點(diǎn)A的軌跡方程為解：由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是雙曲線.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求雙曲線的方程為：變2：