第6章 連續(xù)型概率分布課件

本章要點(diǎn):第6章連續(xù)型概率分布均勻概率分布正態(tài)概率分布二項(xiàng)概率的正態(tài)近似*指數(shù)概率分布概率密度函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量

X

所有可能取值充滿某個(gè)區(qū)間或整個(gè)實(shí)軸。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣,指出其取各個(gè)值的概率，給出概率分布列。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。概率密度例：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同。現(xiàn)測(cè)得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長度(單位:mm)如下:引例129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。經(jīng)分組計(jì)算得頻數(shù)分布表如下:子區(qū)間頻數(shù)頻率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04以小區(qū)間

[ti-1，ti]為底，yi=fi/d

(i=1,2,…,m)為高作一系列小矩形，組成了頻率直方圖，簡稱直方圖。

由于概率可以由頻率近似，因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。

用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多,分組越來越細(xì)時(shí),直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線,這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況。

概率密度函數(shù)

定義:設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使X取值于任一區(qū)間(a,b]的概率可表示成則稱f(x)為X

的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。f(x)xab

均勻概率分布例：在一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤邊沿連續(xù)地標(biāo)上0至9的刻度(0與9重合),隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后讓轉(zhuǎn)盤自然停止,分析轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)赶虻目潭萖的分布情況。均勻概率分布均勻概率分布：一種連續(xù)型概率分布，其隨機(jī)變量X的取值充滿某一有限區(qū)間[a,b]，且取區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)都均等。從而X在[a,b]每一等長度的子區(qū)間上取值的概率都相同。稱X服從上的均勻分布，記作均勻概率密度函數(shù)均勻分布的概率密度函數(shù)均勻概率分布

f(x)均勻概率分布的期望值和方差若隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布,則

練習(xí)已知隨機(jī)變量X服從[10,20]的均勻分布計(jì)算P(X<15)；計(jì)算P(12≤X≤18)；計(jì)算E(X)；計(jì)算Var(X)。練習(xí)某人搭乘6點(diǎn)出發(fā)的火車，他于5點(diǎn)40分出發(fā)，乘車到火車站最順利情況下需要10分鐘，最擁擠時(shí)需要50分鐘，到達(dá)后預(yù)留上車時(shí)間5分鐘.假定他出發(fā)到火車站的時(shí)間X服從均勻分布，問此人能趕上火車的概率.

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。

正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。正態(tài)分布這條紅色曲線近似我們將要介紹的正態(tài)分布的概率密度曲線。正態(tài)分布應(yīng)用場合

若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：各種測(cè)量的誤差；工廠產(chǎn)品的尺寸；學(xué)生們的考試成績；人的身高,體重；農(nóng)作物的收獲量；正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為xf(x)其中μ為實(shí)數(shù)，σ>0.則稱X服從正態(tài)分布.記為X~N(μ,σ2

)。正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于直線對(duì)稱軸，且在處有拐點(diǎn)當(dāng)曲線以x軸為漸進(jìn)線f(x)

μ決定了圖形的中心位置,σ決定了圖形峰的陡峭程度。f(x)f(x)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)概率分布的性質(zhì)正態(tài)隨機(jī)變量的概率由曲線下面積給出。一些常用區(qū)間的概率是68.26%，95.44%，99.72%標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布N(0,1),密度函數(shù)為:

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算若隨機(jī)變量X~N(0,1

),則對(duì)任意的z0

f(x)xz00

練習(xí)P1457.已知隨機(jī)變量Z~N(0,1

),計(jì)算下列概率:

練習(xí)P1459.已知隨機(jī)變量Z~N(0,1

),對(duì)以下每種情況分別計(jì)算相應(yīng)的z值:

一般正態(tài)分布概率的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變換定理:若X~N(,2),則有:此結(jié)果說明:對(duì)于一般正態(tài)分布，計(jì)算可先轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即當(dāng)X~N(,2)時(shí)，有

例：Grear輪胎公司問題Grear輪胎公司剛剛開發(fā)了一種新的鋼絲子午線輪胎，根據(jù)對(duì)輪胎的實(shí)際道路測(cè)試，工程小組已估計(jì)出輪胎可行駛里程的均值=36

500英里，標(biāo)準(zhǔn)差=5

000。另外，收集的數(shù)據(jù)表明正態(tài)分布是一合理的假設(shè)。輪胎預(yù)期使用超過40000英里的比率是多少？假設(shè)Grear公司正在考慮一項(xiàng)擔(dān)保：如果原裝的輪胎沒有超過擔(dān)保中設(shè)定的里程，公司將折價(jià)更換輪胎。如果Grear公司希望符合折價(jià)擔(dān)保的輪胎不超過10%，則擔(dān)保里程應(yīng)為多少？z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.99522.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.99642.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.99742.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.99863.00.99870.99870.99870.99880.99880.99890.99890.99890.99900.9990練習(xí)P14612.2003年1月，美國工人工作時(shí)在因特網(wǎng)上平均用時(shí)77小時(shí)（CNBC，2003年3月15日）。假設(shè)美國工人在因特網(wǎng)上的用時(shí)服從正態(tài)分布，總體均值為77小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為20小時(shí)。隨機(jī)選取一名工人，則他花在因特網(wǎng)上的時(shí)間低于50小時(shí)的概率是多少？b.在2003年1月，有多大比例的工人花在因特網(wǎng)上的時(shí)間超過100小時(shí)？c.如果某人在因特網(wǎng)上的用時(shí)排名在前20%，則認(rèn)為他屬于“高頻用戶”。試問，如果某名工人屬于“高頻用戶”，那么他在因特網(wǎng)上的工作時(shí)間至少應(yīng)該有多少小時(shí)？

統(tǒng)計(jì)圖表30二項(xiàng)概率的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的圖形xpn=5,p=0.5n=10,

p=0.5xn=20,

p=0.5n=30,

p=0.5n=5,

p=0.3n=10,

p=0.3n=20,

p=0.3n=50,

p=0.3p=0.2,n=50=0.2,n=20p=0.2,n=5p=0.2,n=10p=0.2,n=20二項(xiàng)概率的正態(tài)近似在試驗(yàn)數(shù)大于20，np≥5和n(1-p)≥5情況下，正態(tài)概率分布給出一易于使用的二項(xiàng)概率近似。例：某公司有10%的發(fā)票出錯(cuò)的歷史。一個(gè)有100張發(fā)票的樣本已選好，計(jì)算有13張發(fā)票有錯(cuò)的概率。連續(xù)修正因子：當(dāng)用連續(xù)正態(tài)概率分布來近似離散二項(xiàng)概率分布時(shí)，從x值加減的0.5值。練習(xí)已知一種主要的全國信用卡的所有持卡人中有30%在發(fā)生任何利息之前已全額支付了其帳單。利用二項(xiàng)分布的正態(tài)近