第6章 圖像復(fù)原3

數(shù)字圖像處理基礎(chǔ)第6章圖像復(fù)原（第三講）6.5中值濾波

對受到噪聲污染的退化圖像的復(fù)原可以采用線性濾波方法來處理，有許多情況下是很有效的。但是多數(shù)線性濾波具有低通特性，在去除噪聲的同時(shí)也使圖像的邊緣變得模糊了。中值濾波方法在某些條件下可以作到既去除噪聲又保護(hù)了圖像邊緣的較滿意的復(fù)原。中值濾波是一種去除噪聲的非線性處理方法。它是由圖基（Turky）在1971年提出的。開始，中值濾波用于時(shí)間序列分析，后來被用于圖像處理，在去噪復(fù)原中得到了較好的效果。6.5.1中值濾波的基本原理

6.5.2加權(quán)的中值濾波

中值濾波的基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字序列中一點(diǎn)的值用該點(diǎn)的一個(gè)鄰域中各點(diǎn)值的中值代替。中值的定義如下：

一組數(shù)x1,x2,x3…xn,把個(gè)數(shù)按值的大小順序排列于下

(6—144)

y稱為序列x1,x2,x3…xn的中值。例如有一序列為（80,90,200,110,120），這個(gè)序列的中值為110。

把一個(gè)點(diǎn)的特定長度或形狀的鄰域稱作窗口。在一維情形下，中值濾波器是一個(gè)含有奇數(shù)個(gè)像素的滑動(dòng)窗口。窗口正中間那個(gè)像素的值用窗口內(nèi)各像素值的中值代替。

其中(6—145)

設(shè)輸入序列為，I為自然數(shù)集合或子集，窗口長度為n。則濾波器輸出為

例如，有一輸入序列如下

在此序列中前面的8是脈沖噪聲，中間一段是一種寄生振蕩，后面是希望保留的斜坡和跳變。在此采用長度為3的窗口，得到的結(jié)果為

顯然，經(jīng)中值濾波后，脈沖噪聲8被濾除了，振蕩被平滑掉了，斜坡和階躍部分被保存了下來。

中值濾波的運(yùn)算方法可以在有限程度上作些分析。例如常數(shù)K

與序列f(i)相乘的中值有如下關(guān)系存在

(6—146)

而常數(shù)

K

與序列f(i)

相加的中值有如下關(guān)系

(6—147)

對幾種基本信號進(jìn)行中值濾波的例子如圖6—4所示。圖中(a)是階躍信號，經(jīng)中值濾波后仍然保持了階躍部分；圖(b)原始信號是斜坡，濾波后也保持了其形狀；圖(c)的原始信號是單脈沖信號，經(jīng)濾波后消去了這個(gè)脈沖；圖(d)中的原始信號是雙脈沖，經(jīng)中值濾波后也被消去了；圖(e)的原始信號是三脈沖，濾波后對其沒有影響；圖(f)的原始信號是三角形，濾波后雖然有少許變形，但也還基本保持了原來的形狀。圖6—4對幾種基本信號中值濾波的結(jié)果的例子

中值濾波的概念很容易推廣到二維，此時(shí)可以利用某種形式的二維窗口。設(shè)表示數(shù)字圖像各點(diǎn)的灰度值，濾波窗口為A的二維中值濾波可定義為

(6—148)

二維中值濾波的窗口可以取方形，也可以取近似圓形或十字形。

圖6—5是二維中值濾波的實(shí)例。圖中(a)是原始圖像，圖(b)是混有高斯白噪聲的圖像，(c)是3×3窗口中值濾波結(jié)果圖像，(d)是5×5窗口中值濾波結(jié)果圖像，(e)是3×3窗口均值濾波結(jié)果圖像，(f)是5×5窗口均值濾波結(jié)果圖像，(g)是加有椒鹽噪聲的圖像，(h)是3×3窗口中值濾波結(jié)果圖像，(i)是5×5窗口中值濾波結(jié)果圖像，(j)是3×3窗口均值濾波結(jié)果圖像，(k)是采用5×5窗口均值結(jié)果圖像。

二維中值濾波及均值濾波實(shí)例(a)原像(b)加有高斯白噪聲圖像(c)中值濾波圖像(d)均值濾波圖像(e)加有椒鹽噪聲圖像(f)中值濾波圖像(g)均值濾波圖像6.5.1中值濾波的基本原理

6.5.2加權(quán)的中值濾波

以上討論中的中值濾波，窗口內(nèi)各點(diǎn)對輸出的作用是相同的。如果希望強(qiáng)調(diào)中間點(diǎn)或距中間點(diǎn)最近的幾個(gè)點(diǎn)的作用，可以采用加權(quán)中值濾波法。加權(quán)中值濾波的基本原理是改變窗口中變量的個(gè)數(shù)，可以使一個(gè)以上的變量等于同一點(diǎn)的值，然后對擴(kuò)張后的數(shù)字集求中值。(1)一維加權(quán)的中值濾波以窗口為3的一維加權(quán)中值濾波為例，表示如下

由公式（6—149）可見，在窗口內(nèi)，中間點(diǎn)取奇數(shù)，兩邊點(diǎn)取對稱數(shù)，也就是位于窗口中間的像素重復(fù)兩次，位于窗口邊緣的兩個(gè)像素重復(fù)一次，形成新的序列，然后對新的序列在施以常規(guī)中值濾波處理。

（2）二維的加權(quán)中值濾波

二維加權(quán)中值濾波與一維情況類似。如果適當(dāng)?shù)剡x取窗口內(nèi)各點(diǎn)的權(quán)重，加權(quán)中值濾波比簡單中值濾波能更好地從受噪聲污染的圖像中恢復(fù)出階躍邊緣以及其他細(xì)節(jié)。二維加權(quán)中值濾波以3×3窗口為例，表示如下

原始窗口為：

加權(quán)后的中值濾波如下式所示：

(6—150)

即中間的點(diǎn)取三個(gè)值（重復(fù)兩次），上、下、左、右的點(diǎn)各取兩個(gè)（重復(fù)一次），對角線上的點(diǎn)取一個(gè)（不重復(fù)）。

加權(quán)中值濾波與普通中值濾波有時(shí)會有不同的效果。例如，對于普通中值濾波有y=Med(111155155)=1；而加權(quán)后的中值濾波為y=weighted_Med(111155155)=5。加權(quán)中值濾波保持了方塊角上的一點(diǎn)的值。

中值濾波可有效地去除脈沖型噪聲，而且對圖像的邊緣有較好的保護(hù)。但是它也有其固有的缺陷，如果使用不當(dāng)，會損失許多圖像細(xì)節(jié)。例如，采用3×3窗口對圖6—6(a)所示的原始圖像濾波。濾波結(jié)果如圖(b)所示，其結(jié)果不但削去了方塊的4個(gè)角，而且把中間的小方塊也濾掉了。因此，中值濾波在選擇窗口時(shí)要考慮其形狀及等效帶寬，以避免濾波處理造成的信息損失。

圖6—6中值濾波的實(shí)例一

圖6—7是中值濾波的另一實(shí)例。圖(a)是一條細(xì)線條圖像，經(jīng)3×3窗口濾波后，圖像中的細(xì)線條完全濾掉了，如圖(b)所示。圖6—7中值濾波的實(shí)例二

以上兩例可以直觀地看到，中值濾波對圖像中的細(xì)節(jié)處很不理想，所以，中值濾波對所謂的椒鹽噪聲(peppersaltNoise)的濾除非常有效，但是它對點(diǎn)、線等細(xì)節(jié)較多的圖像卻不太適用。

在圖6—4中，為了比較中值濾波的效果，也給出了均值濾波的處理結(jié)果。均值濾波的濾波過程也是使一個(gè)窗口在圖像（或序列）上滑動(dòng)，窗中心位置的值用窗內(nèi)各點(diǎn)值的平均值來代替。以二維均值濾波為例，它的定義如下：

設(shè){xij}

表示數(shù)字圖像各像素的灰度值，A為一個(gè)3×3的窗口，則二維均值濾波的定義為(6—151)

一般均值濾波的邊緣保護(hù)特性不如中值濾波。附錄（七）是一個(gè)二維均值濾波的程序，以便于讀者參照比較。6.6幾種其他空間復(fù)原技術(shù)

前邊討論了幾種基本的圖像復(fù)原技術(shù)。除此之外，尚有一些其他的空間圖像復(fù)原方法，本節(jié)將對這些方法作一些簡要的討論。

6.6.1幾何畸變校正

6.6.2盲目圖像復(fù)原

在圖像的獲取或顯示過程中往往會產(chǎn)生幾何失真。例如成像系統(tǒng)有一定的幾何非線性。這主要是由于視像管攝像機(jī)及陰極射線管顯示器的掃描偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)有一定的非線性，因此會造成如圖6—8所示的枕形失真或桶形失真。圖(a)為原始圖像，圖(b)和圖(c)為失真圖像。

除此之外還有由于斜視角度獲得的圖像的透視失真。另外，由衛(wèi)星攝取的地球表面的圖像往往覆蓋較大的面積，由于地球表面呈球形，這樣攝取的平面圖像也將會有較大的幾何失真。對于這些圖像必須加以校正，以免影響分析精度。圖6—8幾何畸變

正常圖像枕形失真桶形失真

由成像系統(tǒng)引起的幾何畸變的校正有兩種方法。一種是預(yù)畸變法，這種方法是采用與畸變相反的非線性掃描偏轉(zhuǎn)法，用來抵消預(yù)計(jì)的圖像畸變；

另一種是所謂的后驗(yàn)校正方法。這種方法是用多項(xiàng)式曲線在水平和垂直方向去擬合每一畸變的網(wǎng)線，然后求得反變化的校正函數(shù)。用這個(gè)校正函數(shù)即可校正畸變的圖像。圖像的空間幾何畸變及其校正過程如圖6—9所示。圖6—9空間幾何畸變及校正的概念

任意幾何失真都可由非失真坐標(biāo)系變換到失真坐標(biāo)系的方程來定義。方程的一般形式為

(6—152)

(6—153)

在透視畸變的情況下，變換是線性的，即

設(shè)是無失真的原始圖像，是畸變的結(jié)果，這一失真的過程是已知的并且用函數(shù)和定義。于是有(6—154)

這說明在圖像中本來應(yīng)該出現(xiàn)在像素上的灰度值由于失真實(shí)際上卻出現(xiàn)在上了。這種失真的復(fù)原問題實(shí)際上是映射變換問題。在給定了，，的情況下，其復(fù)原處理可如下進(jìn)行：(1)對于中的每一點(diǎn)，找出在中相應(yīng)的位置。由于和不一定是整數(shù)，所以通常(,)不會與中的任何點(diǎn)重合。

(2)找出中與(,)最靠近的點(diǎn)，并且令=，也就是把點(diǎn)的灰度值賦于。如此逐點(diǎn)作下去，直到整個(gè)圖像，則幾何畸變得到校正。

(3)如果不采用(2)中的灰度值的代換方法也可以采用內(nèi)插法。這種方法是假定(,)點(diǎn)找到后，在中找出包圍著(,)的四個(gè)鄰近的數(shù)字點(diǎn)，，，并且有：

f(x,y)中點(diǎn)(x0,,y0)的灰度值由

中四個(gè)點(diǎn)的灰度值間的某種內(nèi)插法來確定。(6—155)

在以上方法的幾何校正處理中，如果(,)處在圖像之外，則不能確定其灰度值，而且校正后的圖像多半不能保持其原來的矩形形狀。

以上討論的是g,h1,h2

都知道的情況下幾何畸變的校正方法。如果只知道g，而h1和h2都不知道，但是若有類似規(guī)則的網(wǎng)格之類的圖案可供參考利用，那么就有可能通過測量g

中的網(wǎng)格點(diǎn)的位置來決定失真變換的近似值。

例如，如果給出了三個(gè)鄰近網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)成的小三角形，其在規(guī)則網(wǎng)格中的理想坐標(biāo)為，并設(shè)這些點(diǎn)在中的位置分別為。由線性變換關(guān)系

可認(rèn)為它把三個(gè)點(diǎn)映射到它們失真后的位置，由此，可構(gòu)成如下六個(gè)方程。

(6—156)

解這六個(gè)方程可求得。這種變換可用來校正中被這三點(diǎn)聯(lián)線包圍的三角形部分的失真。由此對每三個(gè)一組的網(wǎng)格點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行，即可實(shí)現(xiàn)全部圖像的幾何校正。

6.6.1幾何畸變校正

6.6.2盲目圖像復(fù)原

多數(shù)的圖像復(fù)原技術(shù)都是以圖像退化的某種先驗(yàn)知識為基礎(chǔ)，也就是假定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是已知的。但是，在許多情況下難以確定退化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。在這種情況下，必須從觀察圖像中以某種方式抽出退化信息，從而找出圖像復(fù)原方法。這種方法就是所謂的盲目圖像復(fù)原。對具有加法性噪聲的模糊圖像作盲目圖像復(fù)原的方法有兩種，就是直接測量法和間接估計(jì)法。直接測量法盲目圖像復(fù)原通常要測量圖像的模糊脈沖響應(yīng)和噪聲功率譜或協(xié)方差函數(shù)。在所觀察的景物中，往往點(diǎn)光源能直接指示出沖激響應(yīng)。另外，圖像邊緣是否陡峭也能用來推測模糊沖激響應(yīng)。在背景亮度相對恒定的區(qū)域內(nèi)測量圖像的協(xié)方差可以估計(jì)出觀測圖像的噪聲協(xié)方差函數(shù)。

間接估計(jì)法盲目圖像復(fù)原類似于多圖像平均法處理。例如，在電視系統(tǒng)中，觀測到的第幀圖像為(6—157)

(6—158)

式中fi(x,y)是原始圖像，gi(x,y)是含有噪聲的圖像，ni(x,y)是加性噪聲。如果原始圖像在M幀觀測圖像內(nèi)保持恒定，對M幀觀測圖像求和，得到下式之關(guān)系

當(dāng)Ｍ很大時(shí)，式(6—158)右邊的噪聲項(xiàng)的值趨向于它的數(shù)學(xué)期望值E{N(x,y)}。一般情況下白色高斯噪聲在所有(x,y)

上的數(shù)學(xué)期望等于