材料力學(II)第三章

第3章能量方法§3-1外力功與桿件的應變能§3-2卡氏定理§3-3莫爾定理（單位力法）§3-4余能與余能定理§3-5用能量法解超靜定系統(tǒng)§3-1外力功與桿件的應變能

構件在外力作用下將發(fā)生變形，其各點也將產(chǎn)生位移。在外力作用點處產(chǎn)生的沿外力作用方向的位移，稱為相應位移，外力在其相應位移上所做的功稱為外力功。桿件因彈性變形而貯存的能量稱為應變能，也稱為變形能。

根據(jù)能量守恒定律，當外力由零開始緩慢增加時，構件始終處于平衡狀態(tài)，動能的變化及其他能量的損失可以忽略，此時功能原理成立：(a)軸向拉（壓）桿

(b)扭轉(c)彎曲純彎曲橫力彎曲可以把應變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個力，一個力偶，一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移，一個角位移，一對線位移或一對角位移等。

Fi

為廣義力，Di

為Fi

的作用點沿Fi

方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。

有n個廣義力同時作用時組合變形（用內(nèi)力形式表示的應變能）小變形時不計FS

產(chǎn)生的應變能，M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉角dqFN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移dDT(x)—只產(chǎn)生扭轉角dj桿的應變能為(a)由于應變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應變能，不等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應變能之和。小變形時，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應變能等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應變能之和。應變能的特點:(b)應變能的大小與加載順序無關（能量守恒）(c)應變能恒為正值EAF2F1ab例F1F2Me解:（1）計算梁的應變能(x軸從A向左)產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應變能，不等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應變能之和！例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算外力所做之總功。彎曲剛度為EI。FMeA功能原理的適用范圍：當桿件上只作用一個集中荷載，且所求位移就是該荷載作用點處的相應位移時，方可利用功能原理直接求解。若桿件上作用多個荷載，或者雖只有一個荷載，但是是分布荷載，再或者只有一個集中荷載，但所求位移并不是該荷載作用點處的相應位移時，就不能利用功能原理直接求解。CBlx2x1FAl例:試計算圖示水平面內(nèi)直角剛架的應變能以及自由端的撓度。剛架截面為圓形，直徑為d，材料彈性模量和剪切模量分別為E和G。解：對于圖示剛架，彎矩和扭矩方程分別為：AB段：BC段：Blx2x1FAlBlx2x1FAl圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i

為廣義力，Di為廣義位移。各力同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡單加載）。Ⅰ.卡氏第一定理§3-2卡氏定理它說明，彈性結構的應變能，對于結構上與某一荷載相應的位移之變化率，等于該荷載的值。在推導中并沒有涉及到梁的具體性質(zhì)，故上式適用于一切受力狀態(tài)的彈性體?？ㄊ系谝欢ɡ磉m用于線彈性體和非線性彈性體卡氏第二定理僅適用于線彈性體它表明，線彈性結構的應變能，對于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應的位移。它將是研究的重點。彎曲狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：

如果在欲求廣義位移的點處，沒有與之相對應的廣義力作用時，則需在該點處虛設一個與所求位移相應的作用力Fi，然后列出包括Fi在內(nèi)的所有外力作用下的彎矩方程，將彎矩方程對虛設力Fi求偏導后，再令Fi為零，一起代入上式計算。用該式計算時，可減少計算工作量。軸向拉伸（壓縮）狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：扭轉狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：組合變形（不計剪力的影響）時解：

例：用卡氏定理求A點撓度結果為正，位移方向與集中力的指向相同

例：用卡氏定理求圖示梁自由端轉角，

。解：在自由端附加一逆時針方向的集中力偶

結果為正，轉角方向與集中力偶的轉向相同

圖a所示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求

A截面的鉛垂位移DAy。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例題3-10

由于剛架上

A、C

截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時，應將A處的力F和C處的力F區(qū)別開(圖b)，在應用卡氏第二定理后，令FA=F。即解:1.分析(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2AB段

M(x)=?FAx

BC段

M(y1)=?FAl2.求DAy(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2CD段

M(y2)=?FAl?Fy2令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2

圖示各桿的直徑均為d，材料的彈性常數(shù)G=0.4E。試用卡氏第二定理求

A端的鉛垂位移DAz（不計剪力對位移的影響）。FlCBAlxxyzO例題3-11解:1.分段列彎矩方程及扭矩方程，并分別對力F求偏導數(shù)AB段的彎矩方程及其對F的偏導數(shù)分別為（0≤x≤l）（0≤y≤l）

BC段的彎矩和扭矩方程及其對F的偏導數(shù)分別為例題3-11

A端的鉛垂位移為2.求DAz例題3-11§3-3

莫爾定理（單位力法）

回顧求桿或桿系軸線上一點位移的計算方法

直接計算法

(畫變形圖、積分法等)

利用功能原理

利用卡氏定理不適宜解決復雜問題只能求解作用有單個廣義力時，該廣義力的相應位移只適用于線彈性體單位力法：更一般的方法，應用更廣泛，更方便。若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實際位移D，可在該處施加一個相應的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設單位力作為荷載。由單位力引起的內(nèi)力記為。對于組合變形桿件，略去剪力對變形的影響，莫爾定理（單位力法）的一般表達式為：由實際荷載引起的內(nèi)力記為。彎曲變形：軸向拉伸（壓縮）變形：扭轉變形：圖示梁受均布荷載q的作用，梁的彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用單位力法求梁跨截面的撓度wC和qA。例題3-17

在C截面處施加單位力（圖

b），由荷載及單位力引起的彎矩方程分別為(0≤x≤l)(a)(0≤x≤l/2)(b)解:1.求wC因為均關于C截面對稱，故C截面的撓度為（和單位力方向一致）A截面處的轉角為

在

A截面處加單位力偶（圖c），單位力偶引起的彎矩方程為(0≤x≤l)(c)2.求qA（）（和單位力偶的轉向相反）

例：用莫爾定理求圖示梁自由端轉角，

。解：在自由端附加一逆時針方向的單位集中力偶結果為正，轉角方向與集中力偶的轉向相同§3-4

余能與余能定理對于一般的彈性體（比如非線性彈性體），應變能在數(shù)值上等于外力功，即Ve=W

，但必須注意F-D以及s-e的非線性關系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。1.軸向拉伸（壓縮）應變能為（F-D

曲線和D軸之間的面積）因為F-D

，為非線性關系，上式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù)F=f(D)的函數(shù)關系進行積分。式中，Me為扭轉力偶矩，j為扭轉角。注意：2.扭轉應變能3.梁應變能式中，Me為外力偶矩，q為彎曲轉角。余能圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F-D如圖b所示。(1)余功的定義為其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc

和外力功W具有相同的量綱，且Wc

為矩形OF1aD1

的面積與曲面OaD1

的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc

為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc

。FF1WcaWD1Do(d)VcVeF1FD

D1

a(e)o(3)線彈性體(圖e)

Ve

和Vc

數(shù)值相等，但概念和計算方法不同，即Ve

=f(D)，Vc

=f(F)。仿照Ve=W，余能為(2)余能圖示為非線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，Di為廣義位移。各力按簡單加載方式作用在梁上。設加載過程中各位移和相應力的瞬時值分別為di、fi。梁的余能為表明(4)余能定理上式稱為余能定理?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈性結構與Fi相應的位移?？赏茖С隹ㄊ系谝欢ɡ砗陀嗄芏ɡ淼谋容^

余能定理

卡氏第一定理(平衡方程)(變形的幾何關系)適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體當結構為線彈性體時，由于力F和位移D成正比，Vc在數(shù)值上等于應變能Ve（如圖）。余能定理可改寫成即卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體。VcF1FD

D1

a(e)O§3-5用能量法解超靜定系統(tǒng)設某一n次超靜定結構，去掉n個多余約束，代之以n個多余約束反力X1、X2…Xn，得到內(nèi)力、變形與原結構相同的靜定結構體系。對于該靜定體系，可以用荷載及多余約束反力表示其內(nèi)力，進而求得用荷載和多余約束反力表示的應變能。在一般情況下，各多余約束反力處的相應位移等于零，于是有變形協(xié)調(diào)條件：，從而可解出各未知力。例：一次超靜定梁如圖所示，梁的彎曲剛度為EI。試作其內(nèi)力圖。解:(1)用卡氏第二定理求解。將B支座的約束解除，代之以多余未知力X1，得到超靜定的相當系統(tǒng)，如下圖。X1x(2)用莫爾定理求解。仍取同樣的靜定基本體系，其彎矩方程不變。X1x根據(jù)莫爾定理，在B點施加一個豎向單位力。1x作剪力圖、彎矩圖如下圖a所示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求支座約束力。例題3-15ACBqll(a)由，得解:該題為一次