湖南大學(xué)數(shù)值分析課件 緒論

數(shù)值計(jì)算方法主講孟純軍湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院第1章緒論隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來(lái)愈顯示出其重要性?？茖W(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研究等都離不開科學(xué)計(jì)算。因此，作為科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)工具數(shù)值計(jì)算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解的理論和方法.對(duì)那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)有十分有效.計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過(guò)程實(shí)際問(wèn)題——〉數(shù)學(xué)模型——〉數(shù)值計(jì)算方法——〉程序設(shè)計(jì)——〉上機(jī)運(yùn)行求出解實(shí)際問(wèn)題——〉數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計(jì)算方法——〉程序設(shè)計(jì)——〉計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最小（也就是計(jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過(guò)實(shí)際計(jì)算，對(duì)比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。1.1數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法例示例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根。解例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根。解1.2誤差概念和有效數(shù)在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對(duì)的,而誤差則是絕對(duì)的.我們從下面這個(gè)例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.

例:試求擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)周期.誤差的分類模型誤差從實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測(cè)誤差一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干參數(shù),他們是通過(guò)觀測(cè)得到的,受觀測(cè)方式、儀器精度以及外部觀測(cè)條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來(lái)產(chǎn)生的誤差稱為觀測(cè)誤差。截?cái)嗾`差在求解過(guò)程中，往往以近似替代，化繁為簡(jiǎn)，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。舍入誤差在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)受機(jī)器字長(zhǎng)的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字誤差估計(jì)由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差常常是無(wú)法計(jì)算的，但有可能給出估計(jì)。誤差界就是用于誤差估計(jì)的。在實(shí)際計(jì)算絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差時(shí)，由于準(zhǔn)確數(shù)x未知，因此常用表示有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，有效數(shù)(浮點(diǎn)數(shù)）是度量近似數(shù)精度的常用三種。實(shí)際計(jì)算時(shí)最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時(shí)也就隱含了絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差界。誤差估計(jì)引入微分符號(hào)兩個(gè)數(shù)相加（減），和的誤差等于兩個(gè)數(shù)的誤差之和（減）。（誤差穩(wěn)定）兩個(gè)數(shù)相乘（除），積的相對(duì)誤差等于兩個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差之和（差）。（相對(duì)誤差穩(wěn)定）兩個(gè)數(shù)相乘，積的誤差等于第一個(gè)數(shù)乘以第二個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差加上第二個(gè)數(shù)乘以第一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差。（誤差什么情況下會(huì)嚴(yán)重?cái)U(kuò)大？）兩個(gè)數(shù)相除，商的誤差等于分母乘以分子的誤差減去分子乘以分母的誤差，然后除以分母的平方。（誤差什么情況下會(huì)嚴(yán)重?cái)U(kuò)大？）兩個(gè)數(shù)相乘，如果有大因子，積的誤差可能嚴(yán)重?cái)U(kuò)大兩個(gè)數(shù)相除，如果除數(shù)很小，商的誤差可能會(huì)嚴(yán)重?cái)U(kuò)大兩個(gè)相近的異號(hào)數(shù)相加，和的相對(duì)誤差可能嚴(yán)重?cái)U(kuò)大兩個(gè)相近的同號(hào)數(shù)相減，差的相對(duì)誤差可能嚴(yán)重?cái)U(kuò)大計(jì)算函數(shù)值產(chǎn)生的誤差例題計(jì)算表明：

x*=99.999;y=x*^2+x*-1010；y=-0.2010x*已經(jīng)有5位有效數(shù)字，但y的誤差比較大。誤差控制的一般原則簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時(shí),防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.選擇穩(wěn)定的數(shù)值方法，控制誤差的傳播.1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)從截?cái)嗾`差觀點(diǎn)看,算法必須是截?cái)嗾`差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時(shí)少.從舍入誤差觀點(diǎn)看,舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.從實(shí)現(xiàn)算法的觀點(diǎn)看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實(shí)現(xiàn).例題穩(wěn)定算法與病態(tài)問(wèn)題nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108971750.84327600采用下面的遞推格式：

I=0;>>fori=20:-1:1I=-0.2*I+1/(5*i);end>>e=abs(I-log(1.2))e=2.7756e-017>>II=0.1823誤差的積累能夠控制的算法，稱為穩(wěn)定的算法。上面例題中的第