2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.設(shè)函數(shù)f(x)=則f(x)在x=0處()A.可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.不連續(xù)D.無(wú)定義

2.

3.設(shè)x=1為y=x3-ax的極小值點(diǎn)，則a等于()．

A.3

B.

C.1

D.1/3

4.下列關(guān)系正確的是（）。A.

B.

C.

D.

5.A.a=-9，b=14B.a=1，b=-6C.a=-2，b=0D.a=12，b=-5

6.控制工作的實(shí)質(zhì)是（）

A.糾正偏差B.衡量成效C.信息反饋D.擬定標(biāo)準(zhǔn)

7.若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫f(2x)dx等于()．A.A.2F(2x)+CB.F(2x)+CC.F(x)+CD.F(2x)/2+C

8.

9.A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無(wú)法確定斂散性10.設(shè)平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0則平面π1與π2的位置關(guān)系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合

11.設(shè)函數(shù)f(x)＝2sinx，則f(x)等于（）．

A.2sinxB.2cosxC.－2sinxD.－2cosx12.當(dāng)x→0時(shí)，sinx是sinx的等價(jià)無(wú)窮小量，則k=()A.0B.1C.2D.3

13.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

14.設(shè)y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

15.設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

16.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

17.

18.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

19.

A.0B.2C.4D.8

20.

二、填空題(20題)21.極限=________。22.直線(xiàn)的方向向量為_(kāi)_______。23.設(shè)函數(shù)z=f(x，y)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分出dz=______.

24.設(shè)y=-lnx/x，則dy=_________。

25.

26.

27.

28.

29.

30.曲線(xiàn)f(x)=x/x+2的鉛直漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________。

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計(jì)算題(20題)41.求微分方程的通解．42.求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，3)處的切線(xiàn)方程．43.證明：44.45.設(shè)拋物線(xiàn)Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線(xiàn)與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線(xiàn)段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

46.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量，則47.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.

50.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)．51.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)l的方程．52.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．53.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

54.

55.

56.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．57.

58.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

59.60.

四、解答題(10題)61.將f(x)=e-2x展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

62.

63.

64.計(jì)算65.66.

67.求微分方程y"+9y=0的通解。

68.

69.求∫arctanxdx。

70.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.

六、解答題(0題)72.求微分方程xy'-y=x2的通解．

參考答案

1.A因?yàn)閒"(x)=故選A。

2.C解析：

3.A解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為判定極值的必要條件．

由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得

由于x=1為y的極小值點(diǎn)，因此y'|x=1=0，從而知

故應(yīng)選A．

4.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的性質(zhì)。

5.B

6.A解析：控制工作的實(shí)質(zhì)是糾正偏差。

7.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的第一換元積分法(湊微分法)．

由題設(shè)知∫f(x)dx=F(x)+C，因此

可知應(yīng)選D．

8.D

9.A本題考察了級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂的知識(shí)點(diǎn)。

10.A平面π1的法線(xiàn)向量n1=(2，1，4)，平面π2的法線(xiàn)向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0?？芍獌善矫娲怪?，因此選A。

11.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．

f(x)＝2sinx，

f(x)＝2(sinx)≈2cosx．

可知應(yīng)選B．

12.B由等價(jià)無(wú)窮小量的概念，可知=1，從而k=1，故選B。也可以利用等價(jià)無(wú)窮小量的另一種表述形式，由于當(dāng)x→0時(shí)，有sinx～x，由題設(shè)知當(dāng)x→0時(shí)，kx～sinx，從而kx～x，可知k=1。

13.D

14.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

15.D

16.C

17.D

18.D可以將方程認(rèn)作可分離變量方程；也可以將方程認(rèn)作一階線(xiàn)性微分方程；還可以仿二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認(rèn)作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認(rèn)作一階線(xiàn)性微分方程．由通解公式可得解法3認(rèn)作二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

19.A解析：

20.B21.因?yàn)樗髽O限中的x的變化趨勢(shì)是趨近于無(wú)窮，因此它不是重要極限的形式，由于=0，即當(dāng)x→∞時(shí)，為無(wú)窮小量，而cosx-1為有界函數(shù)，利用無(wú)窮小量性質(zhì)知22.直線(xiàn)l的方向向量為23.依全微分存在的充分條件知

24.

25.1/21/2解析：

26.本題考查了函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。

27.2

28.

解析：

29.3x2+4y

30.x=-2

31.

32.

33.

34.1

35.

解析：

36.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

37.

38.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

39.

40.y=1/2y=1/2解析：

41.42.曲線(xiàn)方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線(xiàn)上．

因此所求曲線(xiàn)方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線(xiàn)，且切線(xiàn)的斜率為f′(x0)．切線(xiàn)方程為

43.

44.

45.

46.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知

47.

列表：

說(shuō)明

48.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

49.

50.

51.

52.

53.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

54.55.由一階線(xiàn)性微分方程通解公式有

56.由二重積分物理意義知

57.

58.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

59.

60.

則

61.

62.

63.解

64.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法．

比較典型的錯(cuò)誤是利用換元計(jì)算時(shí)，一些考生忘記將積分限也隨之變化．

65.

66.