名師課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊621 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負(fù)之間的關(guān)系在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)正負(fù)曲線狀態(tài)單調(diào)性f′(x)>0曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都______,曲線呈_____狀態(tài)___函數(shù)f′(x)<0曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都______,曲線呈_____狀態(tài)___函數(shù)大于0上升增小于0下降減【思考】(1)“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)>0,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù)”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函數(shù),能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0嗎?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函數(shù),則在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)<0,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù)”,反之,若f(x)在(a,b)上是減函數(shù),能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0嗎?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是減函數(shù),則在(a,b)上恒有f′(x)≤0.(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函數(shù)嗎?提示:存在,這樣的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)f(x)=C.2.函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值為,則

函數(shù)值的變化函數(shù)的圖象越大在這一范圍內(nèi)變化得較快比較“陡峭”(向上或向下)越小在這一范圍內(nèi)變化得較慢比較“平緩”【思考】為什么|f′(x)|越大,函數(shù)遞增(或遞減)越快,其圖象越陡峭?提示:|f′(x)|越大,說明函數(shù)的瞬時(shí)變化率越大,即函數(shù)值的變化越快,其圖象越陡峭.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)因?yàn)?lt;0恒成立,所以函數(shù)y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減. (

)(2)因?yàn)?gt;0,所以函數(shù)y=x-在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增. (

)(3)函數(shù)f(x)=x2+2x-3的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x+2是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函數(shù). (

)提示:(1)×.因?yàn)楹瘮?shù)y=的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),由<0恒成立,所以函數(shù)y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數(shù).(2)×.因?yàn)楹瘮?shù)y=x-的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),由>0恒成立,所以函數(shù)y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函數(shù).(3)×.因?yàn)閒′(x)=2x+2,所以當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f′(x)>0,即函數(shù)f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上是減函數(shù),在x∈(-1,+∞)上是增函數(shù).2.函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為 (

)A.(-1,1]

B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(0,1]【解析】選D.函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),令y′=1-≤0,解得x∈(0,1],所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].類型一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系【典例】1.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是 (

)2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是 (

)3.函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖,記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)<0的解集為________.

【思維·引】導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸下方,函數(shù)遞減,導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸上方,函數(shù)遞增.【解析】1.選B.在區(qū)間(-1,1)上,f′(x)>0,因此函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù),易知四個(gè)選項(xiàng)都符合.在區(qū)間(-1,0)上,f′(x)是增函數(shù),故y=f(x)在區(qū)間(-1,0)上增加得越來越快,函數(shù)圖象應(yīng)為指數(shù)增長的模式;在區(qū)間(0,1)上,f′(x)是減函數(shù),故y=f(x)在區(qū)間(0,1)上增加得越來越慢,函數(shù)圖象應(yīng)為對數(shù)增長的模式.2.選D.從函數(shù)y=f(x)的圖象可以看出,其在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),f′(x)<0;在區(qū)間(0,x1)上是增函數(shù),f′(x)>0;在區(qū)間(x1,x2)上是減函數(shù),f′(x)<0;在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù),f′(x)>0.結(jié)合選項(xiàng)可知,只有D項(xiàng)滿足.3.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間和區(qū)間(2,3)上是減函數(shù),所以在區(qū)間和區(qū)間(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集為∪(2,3).答案:∪(2,3)【內(nèi)化·悟】結(jié)合圖象來研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系,需注意哪些問題?提示:(1)函數(shù)的定義域.(2)導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.【類題·通】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的關(guān)系判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的對應(yīng)關(guān)系時(shí),首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象,其次再注意以下兩個(gè)方面:(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),若f′(x)>0,則y=f(x)在(a,b)上是增函數(shù);如果f′(x)<0,則y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù);若恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數(shù)函數(shù),不具有單調(diào)性.(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系

函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)>0且越來越大f′(x)>0且越來越小

函數(shù)值減少得越來越快函數(shù)值減少得越來越慢f′(x)<0且越來越小,絕對值越來越大f′(x)<0且越來越大,絕對值越來越小【習(xí)練·破】已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是 (

)【解析】選B.由函數(shù)y=f(x)的圖象及其導(dǎo)數(shù)的意義可知,當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x=0時(shí),f′(x)=0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0.【加練·固】設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能是 (

)【解析】選C.由y=f′(x)的圖象可知,當(dāng)x<0或x>2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù).類型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例】1.(2020·南平高二檢測)函數(shù)f(x)=xex+1的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)2.(2020·金安高二檢測)函數(shù)f(x)=x-2sinx+1在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間是 (

)

【思維·引】1.求導(dǎo),解使f′(x)<0的區(qū)間.2.求導(dǎo),解使f′(x)>0的區(qū)間.【解析】1.選C.f′(x)=(x+1)ex,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.2.選D.f(x)=x-2sinx+1,令f′(x)=1-2cosx>0,可得π<x<π,故f(x)在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【內(nèi)化·悟】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要特別關(guān)注什么?提示:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要特別關(guān)注函數(shù)的定義域.【類題·通】求函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,函數(shù)在解集所表示定義域內(nèi)為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0,函數(shù)在解集所表示定義域內(nèi)為減函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接,而只能用“逗號”或“和”字隔開.

【習(xí)練·破】1.(2020·渝中高二檢測)函數(shù)f(x)=(1-x)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

)A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(0,+∞)【解析】選D.f′(x)=-xex.當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=-xex<0,函數(shù)單調(diào)遞減.即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).2.函數(shù)f(x)=2x2-lnx,x∈(0,+∞)的單調(diào)遞減區(qū)間為________.

【解析】由題意得f′(x)=4x-,令f′(x)=4x-<0且x∈(0,+∞),則x∈.答案:【加練·固】判斷函數(shù)f(x)=ax3-1的單調(diào)性.【解析】因?yàn)閒′(x)=(ax3-1)′=3ax2.①當(dāng)a>0時(shí),f′(x)≥0,函數(shù)在R上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí),f′(x)≤0,函數(shù)在R上單調(diào)遞減;③當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=0,函數(shù)在R上不具備單調(diào)性.角度1已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【典例】1.若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (

)

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)2.函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的范圍是________.

【思維·引】1.f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.2.函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是減函數(shù),g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.【解析】1.選D.f′(x)=k-,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,所以k≥,而y=在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),所以k≥1,故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0對x∈R恒成立.即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤.答案:

【素養(yǎng)·探】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí),經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題.將本例1條件改為:函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(0,e)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(0,e)上是減函數(shù),即f′(x)=k-≤0在區(qū)間(0,e)上恒成立,所以k≤.角度2求參數(shù)范圍的綜合問題【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.【思維·引】函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.【解析】方法一:由題意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立.設(shè)函數(shù)g(x)=3x2-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x=且開口向上的拋物線,故t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立?t≥g(-1),即t≥5.而當(dāng)t≥5時(shí),f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是[5,+∞).方法二:由題意得f(x)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f′(x)≥0.因?yàn)閒′(x)的圖象是開口向下的拋物線,所以當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0時(shí),f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是[5,+∞).【類題·通】1.利用導(dǎo)數(shù)法解決參數(shù)范圍問題的兩個(gè)基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“=”時(shí)f(x)是否滿足題意.2.恒成立問題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.【習(xí)練·破】1.若函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0<a<1【解析】選A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)上是減函數(shù),所以不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)內(nèi)恒成立,即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.2.若函數(shù)f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=(mx-1)′ex+(mx-1)·(ex)′=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).由于f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)≥0,即mx+m-1≥0對x∈(0,+∞)恒成立,即m≥對x∈(0,+∞)恒成立,又當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),<1,故m≥1.答案:[1,+∞)1.下列函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是 (

)

A.y=sin2x B.y=xexC.y=x3-x D.y=-x+ln(1+x)【解析】選B.y=xex,則y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.2.若函數(shù)f(x)=-cosx+ax為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (

)A.[-1,+∞) B.[1,+∞)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)【解析】選B.由題意可得,f′(x)=sinx+a≥0恒成立,故a≥-sinx恒成立,因?yàn)?1≤-sinx≤1,所以a≥1.3.如果函數(shù)f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)上是增函數(shù),且在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù),則常數(shù)a的值為________.

【解析】f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,當(dāng)a>0時(shí),解得-<x<0,不合題意;當(dāng)a<0時(shí),解得0<x<-,由題意知-=2,a=-6.答案:-6【新情境·新思維】已知定義在區(qū)間(-2,2)上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,若函數(shù)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式>0的解集為 (

)A.(-2,1) B.(-2,-1)∪(-1,1)C.(1,2) D.(-,-1)∪(0,).【解析】選B.結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可知,-2<x<-1,1<x<2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,此時(shí)f′(x)<0,當(dāng)-1<x<1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,此時(shí)f′(x)>0,由不等式>0可得,(x+1)f′(x)>0,解得,-1<x<1或-2<x<-1,故不等式的解集為(-2,-1)∪(-1,1).十七導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)練】(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若在區(qū)間(a,b)內(nèi),f′(x)>0,且f(a)≥0,則在(a,b)內(nèi)有 (

)A.f(x)>0 B.f(x)<0C.f(x)=0 D.不能確定【解析】選A.因?yàn)閒(x)在(a,b)上為增函數(shù),所以f(x)>f(a)≥0.2.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù)f′(x)的圖象是 (

)【解析】選A.f′(x)=2x+b,由于函數(shù)f(x)=x2+bx+c圖象的頂點(diǎn)在第四象限,所以x=->0,得b<0.結(jié)合選項(xiàng),可知選A.3.(2020·開封高二檢測)函數(shù)y=+3lnx的單調(diào)增區(qū)間為 (

)A.(0,1) B.C.(1,+∞) D.【解析】選D.函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),令y′=>0,解得x>.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.4.(2020·滄州高二檢測)已知f(x)=a-2lnx(a≥0)在[1,+∞)上為增函數(shù),則a的取值范圍為 (

)A.[0,+∞) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選D.由題意知f′(x)=≥0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,即ax2-2x+a≥0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,所以a≥因?yàn)閥=x+在[1,+∞)上是增函數(shù),所以y=x+≥2,則0<≤1,所以a≥1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2020·和平高二檢測)已知函數(shù)f(x)=-x2+3x-2lnx,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________,單調(diào)增區(qū)間為________________.

【解析】定義域?yàn)?0,+∞),令f′(x)=-x+3-<0,又x>0,解得:x>2或0<x<1.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(2,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2).答案:(0,1)和(2,+∞)

6.如圖所示的是函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象,f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式x·f′(x)<0的解集為________.

【解析】由f(x)的圖象知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上為增函數(shù),在(-,)內(nèi)為減函數(shù),所以當(dāng)x∈(-∞,-)和(,+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(-,)時(shí),f′(x)<0.所以x·f′(x)<0的解集為{x|x<-或0<x<}.答案:{x|x<-或0<x<}三、解答題(每小題10分,共20分)7.(2020·贛州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.【解析】(1)f′(x)=-2bx,由題意得解得(2)由(1)知f(x)=lnx-x2,所以f′(x)=所以當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,e)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是,減區(qū)間是(1,e).8.已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)若f(x)在閉區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù),求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2ex,f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,由f′(x)>0?x>0或x<-2,故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)和(-∞,-2).(2)由f(x)=(x2-ax)ex,x∈R?f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex.記g(x)=x2+(2-a)x-a,依題意知,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)≤0恒成立,結(jié)合g(x)的圖象特征得

即a≥,所以a的取值范圍是.【能力練】(15分鐘·30分)1.(5分)已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖所示,下面四個(gè)圖象中能大致表示y=f(x)的圖象的是 (

)【解析】選C.由題圖可知,當(dāng)x<-1時(shí),xf′(x)<0,所以f′(x)>0,此時(shí)y=f(x)為增函數(shù),圖象應(yīng)是上升的;當(dāng)-1<x<0時(shí),xf′(x)>0,所以f′(x)<0,此時(shí)y=f(x)為減函數(shù),圖象應(yīng)是下降的;當(dāng)0<x<1時(shí),xf′(x)<0,所以f′(x)<0,此時(shí)y=f(x)為減函數(shù),圖象應(yīng)是下降的;當(dāng)x>1時(shí),xf′(x)>0,所以f′(x)>0,此時(shí)y=f(x)為增函數(shù),圖象應(yīng)是上升的.2.(5分)(多選題)已知函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上均有f′(x)<g′(x),則在[a,b]上,下列關(guān)系式中正確的是 (

)A.f(x)+f(b)≥g(x)+g(b)B.f(x)-f(b)≥g(x)-g(b)C.f(x)+g(a)≤g(x)+f(a)D.f(x)+g(a)≥g(x)+f(a)【解析】選BC.據(jù)題意,由f′(x)<g′(x)得f′(x)-g′(x)<0,故F(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上為減函數(shù),由單調(diào)性知識知,在[a,b]上必有F(x)≥F(b),即f(x)-g(x)≥f(b)-g(b),移項(xiàng)整理得:f(x)-f(b)≥g(x)-g(b).同理F(x)≤F(a),f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),移項(xiàng)整理得f(x)+g(a)≤g(x)+f(a).3.(5分)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間為________.

【解析】因?yàn)閒′(x)=,因?yàn)槎x域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),所以f′(x)<0,即<0時(shí),x∈∪(1,+∞),所以單調(diào)遞減區(qū)間為和(1,+∞).答案:

和(1,+∞)4.(5分)(2020·武漢高二檢測)若函數(shù)f(x)=在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

【解析】f′(x)=

≤0,即-sin2x-cos2x-acosx=-1-acosx≤0,acosx≥-1,x∈

,a≥

,由于y=-在x∈上遞減,當(dāng)x=0時(shí),y=-1,所以a≥-1.答案:[-1,+∞)5.(10分)(2020·滄州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)若f′(2)=0,求a的值;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解析】(1)由題意可得:f′(x)=x-a+,故f′(2)=2-a+=0,所以a=3.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-ax+(a-1)lnx,其中a>1,所以f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=x-a+令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.①若a-1=1,即a=2時(shí),f′(x)=≥0,故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).②若0<a-1<1,即1<a<2時(shí),由f′(x)<0得,a-1<x<1;由f′(x)>0得,0<x<a-1,或x>1.故f(x)在(a-1,1)上是減函數(shù),在(0,a-1),(