COMSOL中弱解形式的應(yīng)用詳解實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1COMSOL中弱解形式的應(yīng)用詳解實(shí)用等效積分形式和等效積分弱形式（虛位移原理）微分方程域內(nèi)邊界上等效積分形式域內(nèi)邊界上等效積分弱形式第1頁/共28頁COMSOLPDE模式可用于標(biāo)量方程或系統(tǒng)注意：系數(shù)可能會(huì)變成更高階算子系數(shù)形式系數(shù)對(duì)應(yīng)于常見的物理參數(shù)(例如，擴(kuò)散、對(duì)流等)通式很靈活和緊湊弱形式作為PDE的基礎(chǔ)的PDE形式積分形式提供更強(qiáng)大的靈活性(例如，非標(biāo)準(zhǔn)化邊界條件，邊界方程耦合等)Lagrange算子顯式求解與通式和系數(shù)形式相比，很少被采用第2頁/共28頁基于弱解形式的方程式系統(tǒng)作為PDE的基礎(chǔ)的一種PDE形式應(yīng)用更加靈活（例如，非標(biāo)準(zhǔn)化邊界條件，邊界方程耦合等）形式更加緊湊對(duì)變量的連續(xù)性要求較低Lagrange算子顯式求解適用范圍更廣泛適于求解非線性多物理場問題第3頁/共28頁系數(shù)形式例如：Poisson方程域內(nèi)邊界上域內(nèi)子域邊界上隱含c=f=h=1和所有其他系數(shù)為0。第4頁/共28頁系數(shù)形式質(zhì)量阻尼質(zhì)量擴(kuò)散對(duì)流源對(duì)流吸收源第5頁/共28頁質(zhì)量阻尼質(zhì)量彈性力初始/熱應(yīng)力慣性力(重力)系數(shù)形式，波動(dòng)方程密度阻尼系數(shù)應(yīng)力剛性，“彈簧常數(shù)”第6頁/共28頁堆積/儲(chǔ)存擴(kuò)散對(duì)流源對(duì)流吸收源系數(shù)形式，輸送擴(kuò)散方程第7頁/共28頁系數(shù)形式，穩(wěn)態(tài)方程第8頁/共28頁擴(kuò)散Helmholtz項(xiàng)源Helmholtz方程：系數(shù)形式，頻率響應(yīng)波動(dòng)方程波數(shù)波長第9頁/共28頁通式－更簡練的公式域內(nèi)邊界上Poisson方程相應(yīng)的通式為其他系數(shù)為0第10頁/共28頁弱形式(靜態(tài))通式

乘以試函數(shù)v并積分左側(cè)分部積分重排

記住對(duì)于Poisson方程：=[-ux-uy],F=1,R=u(u約束為0)在“弱”編輯框中輸入上面的求解域積分

-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F

在邊界上，設(shè)置約束：uW?W第11頁/共28頁瞬態(tài)弱形式，例子通式

乘以試函數(shù)v并積分包含“del”表達(dá)式的分部積分

重排對(duì)于Poisson方程：=[-ux-uy],F=1,R=u(u約束為0)在“weak”編輯框中輸入上面的積分式：

-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F–da*test(u)*ut

邊界上設(shè)置約束：u第12頁/共28頁案例：輸送和表面反應(yīng)在不同維度耦合物理場(唯一的)輸送

2D+吸附1D(完全耦合)弱形式,邊界模式(PDE)第13頁/共28頁控制方程耦合：1D吸附2D輸送第14頁/共28頁弱形式PDE，邊界Ds*(-test(csTx)*csTx-test(csTy)*csTy)+test(cs)*(react_surf-cst)第15頁/共28頁網(wǎng)格劃分(局部精細(xì)化)第16頁/共28頁結(jié)果體積濃度c表面吸附率(cs)第17頁/共28頁彈性靜力學(xué)的弱形式PDE方程乘上試函數(shù)并積分分部積分整理得到域內(nèi)邊界第18頁/共28頁一般性問題的弱形式PDE方程乘上試函數(shù)并積分分部積分整理得到域內(nèi)邊界第19頁/共28頁弱約束優(yōu)點(diǎn)精確的通量計(jì)算處理非線性約束處理包含微分的約束缺點(diǎn)引入了較多的未知量容易在Jacobian矩陣的主對(duì)角線上引入零值（鞍點(diǎn)）不連續(xù)約束導(dǎo)致較大的震蕩第20頁/共28頁乘子的物理意義使用弱約束Lagrangian乘子被作為獨(dú)立變量求解精確的流量計(jì)算處理非線性約束和帶有導(dǎo)數(shù)的約束變量名lm1，lm2….第21頁/共28頁使用弱約束在Physics>Properties中設(shè)置弱約束在每個(gè)邊界條件中確定是否采用弱約束產(chǎn)生新變量，以lm＋數(shù)字命名，按照應(yīng)用模式及其變量的順序來編號(hào)第22頁/共28頁弱約束類型完美（Ideal）和標(biāo)準(zhǔn)的逐點(diǎn)約束類似的邊界條件，不涉及物理本質(zhì)Lagrange乘子對(duì)于所有變量對(duì)稱非完美（Non-Ideal）修改了模型的物理本質(zhì)Lagrange乘子只應(yīng)用到指定約束的變量假設(shè)模式A(u)和B(v)，其中A的約束Lagrange乘子及試函數(shù)變量及試函數(shù)第23頁/共28頁弱約束的局限接觸邊界相同變量的逐點(diǎn)和弱約束不起作用只有Dirichlet邊界條件才有效弱約束常導(dǎo)致線性系統(tǒng)的縮放比例問題使用弱約束時(shí)常需要減小單元的階數(shù)，以減少冗余的自由度當(dāng)使用迭代求解器時(shí)，如果在矩陣中引入了零對(duì)角元，需要采用Vanka或i-LU算法第24頁/共28頁方程式系統(tǒng)中的應(yīng)用在weak標(biāo)簽中出現(xiàn)的變量進(jìn)入求解過程其余的為后處理變量第25頁/共28頁相關(guān)的Weak項(xiàng)參數(shù)設(shè)置weak寫入弱項(xiàng)公式dweak與時(shí)間相關(guān)的弱項(xiàng)bnd.weak超弱項(xiàng)，應(yīng)用于內(nèi)部不連續(xù)邊界條件（不存在幾何邊界）參考模型庫