D31微分中值定理

會計學1D31微分中值定理費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:

設則費馬證畢第1頁/共27頁羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內至少存在一點第2頁/共27頁若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.則由費馬引理得例如,第3頁/共27頁使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.第4頁/共27頁例1.

證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設第5頁/共27頁二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.拉氏證畢第6頁/共27頁拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數.證:

在

I

上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數.令則第7頁/共27頁例2.

證明等式證:

設由推論可知(常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經驗:欲證時只需證在

I

上第8頁/共27頁例3.

證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有第9頁/共27頁三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內可導(3)在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點使?jié)M足:問題轉化為證柯西構造輔助函數第10頁/共27頁證:

作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.第11頁/共27頁柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率第12頁/共27頁例4.設至少存在一點使證:

問題轉化為證設則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內至少存在一點

,使即證明第13頁/共27頁例5.

試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:第14頁/共27頁例5.

試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在第15頁/共27頁內容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數費馬引理第16頁/共27頁思考與練習1.填空題1)函數在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區(qū)間上.方程第17頁/共27頁2.

設且在內可導,證明至少存在一點使提示:由結論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設第18頁/共27頁3.

若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數驗證在上滿足羅爾定理條件.第19頁/共27頁4.

思考:在即當時問是否可由此得出

不能!因為是依賴于x

的一個特殊的函數.因此由上式得表示x

從右側以任意方式趨于0.應用拉格朗日中值定理得上對函數第20頁/共27頁作業(yè)P1347,8,10,12,14,*15提示:題*15.題14.考慮第二節(jié)第21頁/共27頁費馬(1601–1665)費馬法國數學家,他是一位律師,數學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數學上有許多重大貢獻.他特別愛好數論,他提出的費馬大定理:歷經358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德魯.懷爾斯教授經過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.第22頁/共27頁拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,解析函數論,及數論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數學中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對分析數學產生全面影響的數學家之一.第23頁/共27頁柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創(chuàng)建,廣泛而深遠.對數學的影響他是經典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析數學的發(fā)展.復變函數和微分方程方面.一