趨勢面分析方法課件

第6節(jié)趨勢面分析方法

趨勢面分析的一般原理

趨勢面模型的適度檢驗

趨勢面分析應(yīng)用實例

一、趨勢面分析的一般原理

趨勢面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學(xué)方法。它實質(zhì)上是通過回歸分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。

趨勢面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價值。

趨勢面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。

（一）建立趨勢面模型設(shè)某地理要素的實際觀測數(shù)據(jù)為，趨勢面擬合值為，則有

式中：εi即為剩余值（殘差值）。顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動時，（3.6.1）式就刻畫了地理要素的實際分布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動關(guān)系。

（3.6.1）

趨勢面分析的核心從實際觀測值出發(fā)推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即這就是在最小二乘法意義下的趨勢面擬合。

用來計算趨勢面的數(shù)學(xué)方程式有多項式函數(shù)和傅立葉級數(shù)，其中最為常用的是多項式函數(shù)形式。因為任何一個函數(shù)都可以在一個適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項式來逼近，而且調(diào)整多項式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。

（二）估計趨勢面模型的參數(shù)實質(zhì)根據(jù)觀測值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。過程

①將多項式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

③求Q對a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中為p+1個未知量）（3.6.6）

⑤

對于二元二次多項式有

其正規(guī)方程組為

由式（3.6.7）求解，可得（3.6.8）

（一）趨勢面擬合適度的R2檢驗趨勢面與實際面的擬合度系數(shù)R2是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度。總離差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即

越大（或越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強、效果越好。記

越大，趨勢面的擬合度就越高。

為剩余平方和，它表示隨機因素對離差的影響，為回歸平方和，它表示自變量對因變量的離差的總影響。

（3.6.9）

（二）趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗趨勢面適度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗。

方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計算的F值大于臨界值Fα，則認為趨勢面方程顯著；反之則不顯著。

（3.6.10）

表3.6.1多項式趨勢面由K次增高至（K+1）次的回歸顯著性檢驗離差來源平方和自由度均方差F檢驗（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩余

n–p–1K次回歸

qK次剩余

n–q–1由K次增高至（K+1）次的回歸p–q總離差SST需要注意的是，在實際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢面逼近變化比較小的地理要素數(shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素數(shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢面使用起來比較方便，但具體到某點擬合較差；次數(shù)較高的趨勢面只在觀測點附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時則效果較差。

三、趨勢面分析應(yīng)用實例

某流域1月份降水量與各觀測點的坐標位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標和縱坐標分別為自變量x、y，進行趨勢面分析，并對趨勢面方程進行適度F檢驗。

建立趨勢面模型

(1)

首先采用二次多項式進行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟圖3.6.1某流域降水量的二次多項式趨勢面

(2)再采用三次趨勢面進行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

(1)趨勢面擬合適度的R2檢驗:根據(jù)R2檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。

模型檢驗(2)

趨勢面適度的顯著性F檢驗:根據(jù)F檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗的結(jié)果表明，用二次趨勢面進行擬合比較合理。。趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗中，對兩個階次趨勢面模型的適度進行比較，相應(yīng)的方差分析計算結(jié)果見表3.6.3。(3)趨勢面適度的逐次檢驗：

離差來源平方和自由度均方差F檢驗三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸

1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三次趨勢面回歸模型的逐次檢驗方差分析表分析：從二次趨勢面增加到三次趨