2022年度湖南省株洲市攸縣大橋鄉(xiāng)中學高二數(shù)學理月考試題含解析

2022年度湖南省株洲市攸縣大橋鄉(xiāng)中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線的漸近線是（

）

A．

B.

C.

D.

參考答案：C略2.在4次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為A. B. C. D.參考答案：A分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設事件A在一次試驗中發(fā)生概率為，則，解得．故選A．點睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時，通常從事件的反而入手可能較簡單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．3.設長方體的體對角線長度為4，過每一頂點有兩條棱，與對角線的夾角都是60°，則此長方體的體積是()A．8

B．8

C.

D．16參考答案：A略4.點關于原點的對稱點坐標為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法共

（

）種。A

27

B

48

C

21

D

24參考答案：B略6.已知兩條曲線與在點處的切線平行，則的值為（

）

（A）0

(B)

(C)0或

(D)

0或1參考答案：C略7.在等差數(shù)列{an}中，a2=1，a4=5，則{an}的前5項和S5=（） A． 7

B． 15

C． 20

D． 25參考答案：B8.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左右焦點，且|F1F2|=2．若雙曲線C的右支上存在點P，使得PF1⊥PF2．設直線PF2與y軸交于點A，且△APF1的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B．4 C． D．2參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】本題先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑得到邊長的關系，結(jié)合雙曲線定義和圖形的對稱性，求出a的值，由|F1F2|=2，求出c的值，從而得到雙曲線的離心率，得到本題結(jié)論．【解答】解：由PF1⊥PF2，△APF1的內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線的性質(zhì)：圓外一點引圓的切線所得切線長相等，可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1，由雙曲線的定義可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1，可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a，由圖形的對稱性知：|AF2|=|AF1|，即有a=．又|F1F2|=2，可得c=1，則e==2．故選：A．9.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x﹣4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）參考答案： A【考點】直線與圓錐曲線的關系．【分析】如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由點M到直線l的距離不小于，可得，解得b≥1．再利用離心率計算公式e==即可得出．【解答】解：如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵點M到直線l的距離不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴橢圓E的離心率的取值范圍是．故選：A．10.

(

)A．16

B．15

C．14

D．13參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數(shù)f（x）=2sin（）圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)g（x），則g（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值為．參考答案：﹣1【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得在區(qū)間[0，π]上的最小值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=2sin（）圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)g（x）=2sin（x+）的圖象，在區(qū)間[0，π]上，x+∈[，]，故當x+=時，函數(shù)g（x）取得最小值為﹣1，故答案為：﹣1．12.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若，，則數(shù)列{an}的公差=____．參考答案：3數(shù)列是等差數(shù)列，若，則，解得，所以數(shù)列公差為，故答案為.13.函數(shù)且過定點，則點的坐標為

.參考答案：；

14.等差數(shù)列中公差，，則通項公式

參考答案：略15.拋物線y2=4x上一點M到焦點的距離為5，則點M的橫坐標為

．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準線方程，利用拋物線的定義，求解即可．【解答】解：拋物線y2=4x的準線方程為x=﹣1，∵拋物線y2=4x上點到焦點的距離等于5，∴根據(jù)拋物線點到焦點的距離等于點到準線的距離，∴可得所求點的橫坐標為4．故答案為：4．16.已知函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3，g（x）=x++t，若?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實數(shù)t的取值范圍是．參考答案：

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；全稱命題．【分析】函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3=，利用復合函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值．g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出最大值．根據(jù)?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），可得g（x）max≥f（x）max，即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3=，∵x∈R，∴u（x）=（x+2）2﹣1≥﹣1，∴f（x）∈（0，2]．∵g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，∴當x∈[1，3]時，g′（x）≥0，∴函數(shù)g（x）在x∈[1，3]時的單調(diào)遞增，∴g（x）max=g（3）=+t．?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），∴g（x）max≥f（x）max，∴+t≥2，解得．則實數(shù)t的取值范圍是．故答案為：．17.橢圓的焦點、，點為其上的動點，當為銳角時，點的橫坐標的取值范圍是

．（改編題）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是的中點，點是邊上的任意一點.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）證明：∵是的中點，且，

∴.

∵△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴，.∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，連接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠為二面角的平面角.設正方形的邊長為，則，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′解法2：以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標系，設，則，，,.∴，.設平面的法向量為，由得令，得，

∴為平面的一個法向量.∵平面，平面，∴平面平面.連接，則.∵平面平面，平面，∴平面.

∴平面的一個法向量為.設二面角的平面角為，

則.

∴.

∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′19.（12分）已知函數(shù)f（x）=在x=1處取得極值2．（1）求函數(shù)f（x）的表達式；（2）當m滿足什么條件時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增？參考答案：（1）因為f′（x）=，而函數(shù)f（x）=在x=1處取得極值2，所以，即，解得．故f（x）=即為所求．（2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣1，1]．由已知得，解得﹣1＜m≤0．故當m∈（﹣1，0]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增．20.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*.(1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)在(1)的結(jié)論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn.

參考答案：(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，即an＋1＝4an，n>1.又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)在(1)的結(jié)論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝＝an＋bn＝4n－1＋n，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)略21.（12分）已知動點P與兩個頂點M（1，0），N（4，0）的距離的比為．（I）求動點P的軌跡方程；（II）若點A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在點P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】軌跡方程．【分析】（I）利用直接法，求動點P的軌跡方程；（II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）設P（x，y），則∵動點P與兩個頂點M（1，0），N（4，0）的距離的比為，∴2=，∴x2+y2=4，即動點P的軌跡方程是x2+y2=4；（II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x+4）2+（y﹣2）2=36，∴3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x﹣3y+11=0，圓心到直線4x﹣3y+11=0的距離d=＞2，∴直線與圓相離，∴不存在點P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．【點評】本題考查軌跡方程，考查圓與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對任意a∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：【考點】R4：絕對值三角不等式；R5：絕對值不等式的解法．【分析】（1）利用絕對值的幾何意義，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對任意a∈R恒成立，分類討論，轉(zhuǎn)化為|f（x）|≥2，求實數(shù)x的取值范圍．【解答】解：（1）x＜﹣1時，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1時，f（x）=﹣x+1﹣x﹣