2022年河南省焦作市沁陽第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年河南省焦作市沁陽第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC中，c是a與b的等差中項(xiàng)，sinA，sinB，sinC依次為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和，則cosC的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，可得a，b，c的關(guān)系，再由余弦定理計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：c是a與b的等差中項(xiàng)，可得a+b=2c，①sinA，sinB，sinC依次為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和，由等比數(shù)列的和的性質(zhì)，可得sinA，sinB﹣sinA，sinC﹣sinB成等比數(shù)列，可得sinA（sinC﹣sinB）=（sinB﹣sinA）2，由正弦定理可得sinA=，sinB=，sinC=，代入，化簡可得a（c﹣b）=（b﹣a）2，②由①②可得a（a+b﹣2b）=2（b﹣a）2，化簡可得a=b或a=2b，若a=b，則a=b=c，由等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，可得a≠b；則a=2b，c=b，即有cosC===．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2.（12分）函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）寫出f（x）的最值及相應(yīng)的x的取值構(gòu)成的集合．參考答案：考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）利用圖象的最低點(diǎn)確定A的值，利用周期確定ω，再根據(jù)圖象過點(diǎn)（，0），確定φ的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）由2x+=2k，k∈Z，2x+=2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的最值及相應(yīng)的x的取值構(gòu)成的集合．解答： （1）由題意，函數(shù)的最小值為﹣1，∴A=1，∵T=4×（π﹣）=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵圖象過點(diǎn)（，0），∴sin（2×+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）；（2）當(dāng)2x+=2k，k∈Z，即有x∈{x|x=k，k∈Z}時(shí)，f（x）max=1；當(dāng)2x+=2kπ，k∈Z，即有x∈{x|x=kπ+，k∈Z}時(shí)，f（x）min=﹣1．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.sin750°的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】原式利用誘導(dǎo)公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=．故選：D．4..在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即給出四個(gè)結(jié)論：①,②,③,④整數(shù)屬于同一“類”，當(dāng)且僅當(dāng)是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

（

）.1

.2

.3

.4參考答案：C略5.已知函數(shù)的值域是

（

）

A．[－1，1]

B．

C．

D．參考答案：略6.不等式的解集是（）A.(2,+∞) B.(－∞,2)C.(0,2) D.(－∞,0)∪(2,+∞)參考答案：C【分析】根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，寫出不等式的解集即可．【詳解】不等式x（x﹣2）＜0對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是0和2，∴不等式的解集是（0，2）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7.設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，則參考答案：C略8.在△ABC中，，，，M是△ABC外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A.1 B. C. D.2參考答案：C【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案.【詳解】以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則外接圓的方程為，設(shè)M的坐標(biāo)為，，過點(diǎn)作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及直角三角形的問題，考查了學(xué)生的分析解決問題的能力，屬于難題．9.（5分）不共面的四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)為（） A． 2個(gè) B． 3個(gè) C． 4個(gè) D． 無法確定參考答案：C考點(diǎn)： 平面的基本性質(zhì)及推論．專題： 計(jì)算題．分析： 不共面的四點(diǎn)就一定不存在三個(gè)點(diǎn)共線的情況，由于不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，從4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，利用組合數(shù)寫出結(jié)果．解答： ∵不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)就一定不存在三個(gè)點(diǎn)共線的情況，∴從4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，共有C43=4種結(jié)果，故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，考查不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，考查組合數(shù)的應(yīng)用，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．10.直線過點(diǎn)(－3,－2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求這條直線的方程.參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距等于在軸上的截距的倍的直線的方程是______________________．參考答案：x+2y-1=0或x+3y=012.已知集合A={x|x2﹣3=0}，則集合A的所有子集的個(gè)數(shù)是．參考答案：4考點(diǎn)：子集與真子集．專題：集合．分析：求出集合A={}，然后寫出A的所有子集即可．解答：解：A={}；∴集合A的所有子集為：?，；∴A的所有子集個(gè)數(shù)為4．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：考查描述法表示集合，子集的概念，不要漏了空集?．13.等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比．設(shè)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，則當(dāng)n=

時(shí)，有最大值．參考答案：n=1214.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線

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對(duì)稱.參考答案：略15.已知向量=（1，﹣2），=（﹣2，2）則向量在向量方向上的投影為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】求出兩向量夾角，代入投影公式即可．【解答】解：||=2，=﹣2﹣4=﹣6．∵cos＜＞=．∴向量在向量方向上的投影||cos＜＞===﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長計(jì)算及投影的含義，屬于基礎(chǔ)題．16.一扇形的圓心角為2弧度，記此扇形的周長為c，面積為S，則的最大值為．參考答案：4【考點(diǎn)】扇形面積公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；配方法；三角函數(shù)的求值．【分析】設(shè)扇形的半徑為r，則可求：C=4r，S=r2，由配方法可得=﹣（﹣2）2+4≤4，當(dāng)=2，即r=時(shí)等號(hào)成立，從而可求的最大值．【解答】解：∵設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為2，半徑為r，則l=2r，可求：C=l+2r=2r+2r=4r，扇形的面積為S=lr=r22=r2，∴==﹣（）2+=﹣（﹣2）2+4≤4，當(dāng)=2，即r=時(shí)等號(hào)成立．則的最大值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，扇形面積公式的應(yīng)用，考查方程思想和配方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．17.已知角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），則cos（π﹣θ）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)定義和誘導(dǎo)公式即可求出．【解答】解：∵角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，∴r==5，∴cosθ=，∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知||=2，||=3，||與||的夾角為120°，求（1）（2）﹣（3）（2）（）（4）||參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）直接由已知結(jié)合數(shù)量積公式得答案；（2）由運(yùn)算得答案；（3）展開多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代入數(shù)量積得答案；（4）求出，開方后得答案．【解答】解：∵||=2，||=3，||與||的夾角為120°，∴（1）=；（2）﹣=22﹣32=﹣5；（3）（2）（）==2×22+5×（﹣3）﹣3×32=﹣34；（4）||==．19.（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)＝為R上的奇函數(shù)，且.（1）求a,b的值.（2）證明f(x)在（-1，1）上為增函數(shù)參考答案：（1）∵f(x)=為R上的奇函數(shù)

∴f(0)=b=0

.∵f()=

∴a=1

(2)任取x1,x2,.使-1＜x1＜x2＜1,則f(x2)-f(x1)=∵x1＜x2∴x1-x2＜0∵

-1＜x1＜x2＜1

∴x1x2-1＜0又∵（x22+1）(x12+1)＞0

∴f(x2)-f(x1)＞0

∴f(x2)＞f(x1)∴f(x)在（-1,1）上為增函數(shù)20.定義函數(shù)g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a）．（1）若f（2）=0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）解關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式f（1）≤f（0）；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）利用分段函數(shù)，分類討論，求出實(shí)數(shù)a的值；（2）f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，分類討論，解關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式f（1）≤f（0）；（3），利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），當(dāng)a≤2時(shí)，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…（2分）當(dāng)a＞2時(shí)，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，當(dāng)a≤1時(shí)，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…當(dāng)a＞1時(shí)，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…（8分）∴或．…（9分）（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），∴，當(dāng)a＞0時(shí)，，∴2≤a≤3，…（11分）當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，…（13分）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，不合題意，…（15分）∴2≤a≤3．…（16分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)Q（﹣3，0），有|QF|?|QG|=4．試問無論F，G兩點(diǎn)的位置怎樣，直線FG能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由|PO|=|PA|代入坐標(biāo)整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，對(duì)λ分類討論可得；（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，則由面積相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2，由點(diǎn)到直線的距離公式以及直線和圓的位置關(guān)系可得．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，∵λ＞0，∴當(dāng)λ=1時(shí)，方程可化為：2x﹣3=0，方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；當(dāng)λ≠1時(shí)，則方程可化為，+y2=，即方程表示的曲線是以（﹣，0）為圓心，為半徑的圓．（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x2+y