上海市蘭田中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

上海市蘭田中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么這個(gè)三角形是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形C．等腰三角形

D．等邊三角形參考答案：C2.當(dāng)0<θ<時(shí)，函數(shù)y=(–1)(–1)的最大值是（

）（A）–1

（B）2–

（C）2–3

（D）3–2參考答案：D3.若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0｝，a∈R中有且只有一個(gè)元素，則a的取值集合是（）

A．｛1｝

B．｛－1｝

C．｛0，1｝

D．｛－1，0，1｝參考答案：D4.已知函數(shù)f（x）=2x+2，則f（1）的值為（）A．2 B．3 C．4 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】直接將x=1代入函數(shù)的表達(dá)式求出即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x+2，∴f（1）=2+2=4，故選：C．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)參考答案：B略6.右邊程序運(yùn)行結(jié)果為(

)A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C略7.甲組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，乙組數(shù)據(jù)為y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），若甲組數(shù)據(jù)平均值為10，方差為2，則乙組數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）A．10+2，4 B．10，2 C．10+2，6 D．10，4參考答案：A【考點(diǎn)】BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】利用均值和方差的性質(zhì)直接求解．【解答】解：甲組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，乙組數(shù)據(jù)為y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），甲組數(shù)據(jù)平均值為10，方差為2，∴乙組數(shù)據(jù)的平均值為10+2，方差為（）2×2=4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值和方差的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.給出以下一個(gè)算法的程序框圖(如圖所示)，該程序框圖的功能是A．求輸出，b，c三數(shù)的最大數(shù)

B．求輸出，b，c三數(shù)的最小數(shù)C．將，b，c按從小到大排列

D．將，b，c按從大到小排列參考答案：B9.設(shè)函，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】根據(jù)f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，即可求得函數(shù)的解析式，要求函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即求方程f（x）=x根的個(gè)數(shù)，解方程即可求得結(jié)果．【解答】解：∵x≤0時(shí)，f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2∴，解得，f（x）=x2+4x+2，解方程x2+4x+2=x，得x=﹣1，或x=﹣2；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2，解方程2=x，得x=2，綜上函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要通過零點(diǎn)的概念來考查二次函數(shù)和分段函數(shù)及方程根的求法，解決分段函數(shù)問題，一般是分段求解，體現(xiàn)了分類討論的思想，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題10.已知點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是()

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列中，則

▲

.參考答案：25

略12.函數(shù)y=﹣x2的單調(diào)遞增區(qū)間為

參考答案：（﹣∞，0]【解答】解：∵函數(shù)y=﹣x2∴其圖象為開口向下的拋物線，并且其對(duì)稱軸為y軸∴其單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，注意常見函數(shù)的單調(diào)性，是個(gè)基礎(chǔ)題．13.函數(shù)y=+lg的定義域是．參考答案：{x|＜x≤2}【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：由，解①得：x≤2；解②得＜x＜3．取交集得：＜x≤2．∴函數(shù)y=+lg的定義域是：{x|＜x≤2}．故答案為：{x|＜x≤2}．14.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（2）=0，則不等式f（x）＜0的解集為．參考答案：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用奇函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性即可得出．解答：解：如圖所示，不等式f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．15.在△ABC中，=||=2，則△ABC面積的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角形的面積公式，以及余弦定理消去cosA，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c，由=||=2，得bccosA=a=2

①，=bc==，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=4②，由①②消掉cosA得b2+c2=8，所以b2+c2≥2bc，bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，所以S△ABC==，故△ABC的面積的最大值為，故答案為：．16.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2∵函數(shù)是奇函數(shù)∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案為：[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．17.等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99a100－1>0，.給出下列結(jié)論：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于198.其中正確的結(jié)論是__

_．(填寫所有正確的序號(hào))參考答案：①②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在三角形ABC中，已知，解三角形ABC。參考答案：所求三角形的角A為90度，角C為30度，a=2。（過程略）

略19.如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為2的等邊三角形，，O為BC中點(diǎn).(1)證明:;(2)求點(diǎn)C到平面SAB的距離.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連結(jié)OA，推導(dǎo)出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能證明SO⊥平面ABC;（2）設(shè)點(diǎn)B到平面SAC的距離為h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出點(diǎn)B到平面SAC的距離．【詳解】（1）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面．（2）設(shè)B到平面SAC的距離為，則由（Ⅰ）知：三棱錐即∵為等腰直角三角形,且腰長為2.∴∴∴△SAC的面積為=△ABC面積為,∴,∴B到平面SAC的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20.（本小題滿分14分）函數(shù)的定義域?yàn)镽，數(shù)列滿足（且）．（Ⅰ）若數(shù)列是等差數(shù)列，，且(k為非零常數(shù)，且)，求k的值；（Ⅱ）若，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于給定的正整數(shù)，如果的值與n無關(guān)，求k的值．參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?/p>

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以．

因?yàn)椋?/p>

所以．

…6分（Ⅱ）因?yàn)?，，且?/p>

所以．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以．

所以．因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

所以．因?yàn)椋?/p>

又因?yàn)榈闹凳且粋€(gè)與n無關(guān)的量，所以，解得．

…14分21.（15分）已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有.設(shè)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)的解析式.參考答案：解析：設(shè)，由題意知，，已知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，所以

5分

，

，

8分

或

10分

當(dāng)時(shí)，，的解有兩個(gè)，不合題意，舍去；12分

當(dāng)時(shí)，，的解只有一個(gè)；14分所以