2022年湖南省常德市子良學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年湖南省常德市子良學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.是第二象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則等于A. B.C. D.參考答案：D略2.已知集合，則A∪B=（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B求解一元二次不等式可得，據(jù)此可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B正確；集合AB之間不具有包含關(guān)系，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；本題選擇B選項(xiàng).

3.函數(shù)y=f()在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若()=(2-x)且當(dāng)時(shí)（-1）·()＜0，設(shè)a=(0)，b=(0.5)，c=(3)則

A、a＜b＜c

B、c＜a＜b

C、c＜b＜a

D、b＜c＜a參考答案：B4.已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大時(shí)，其高的值為（）A．3 B． C．2 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【分析】根據(jù)正六棱柱和球的對稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，作出過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關(guān)系，在這個(gè)關(guān)系下求函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量．【解答】解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖．設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O1，O2，則O是O1，O2的中點(diǎn)．設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為2h，則a2+h2=9．正六棱柱的體積為V==，則V′=3（9﹣3h2），得極值點(diǎn)h=，不難知道這個(gè)極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．故當(dāng)正六棱柱的體積最大，其高為2．故選：D．5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(

)(1)AC⊥BE；(2)若P為AA1上的一點(diǎn),則P到平面BEF的距離為；(3)三棱錐A-BEF的體積為定值；(4)在空間與DD1，AC，B1C1都相交的直線有無數(shù)條；(5)過CC1的中點(diǎn)與直線AC1所成角為40°并且與平面BEF所成角為50°的直線有2條.A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：A【知識點(diǎn)】單元綜合G12對于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正確．

對于（2），∵AA1∥BB1，AA1?平面BB1DD1，BB1?平面BB1DD1，

∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，

又∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，A1到平面BEF的距離為A1到B1D1的距離，

∴若P為AA1上的一點(diǎn)，則P到平面BEF的距離為，故（2）正確；

對于（3）∵S△BEF=×1=，

設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，

∴VA-BEF=××=，故（3）正確；

對于（4）在正方體中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，

則AC，AA1，AD相交于A點(diǎn)，故空間中與DD1，AC，B1C1都相交的直線有無數(shù)條．

故（4）正確；對于（5）由于過CC1的中點(diǎn)與直線AC1所成角為40°的直線有2條．

并且這兩條直線與平面BEF所成角為50°，故（5）正確；【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，依次分析：如圖可知BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，進(jìn)而判斷出（1）正確；

根據(jù)AA1∥BB1，判斷出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，計(jì)算出A1到平面BEF的距離，即可判斷出（2）項(xiàng)；設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，AO⊥平面BB1D1D，可分別求得S△BEF和AO，則三棱錐A-BEF的體積可得判斷（3）項(xiàng)正確；再利用正方體中線線，線面的位置關(guān)系，即可判定（4）和（5）項(xiàng)正確．6.閱讀如圖所示的框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為(

) A．30 B．45 C．63 D．84參考答案：C考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當(dāng)i=6時(shí)滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為63．解答： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=0，i=1S=3，不滿足條件i＞5，i=2，S=9不滿足條件i＞5，i=3，S=18不滿足條件i＞5，i=4，S=30不滿足條件i＞5，i=5，S=45不滿足條件i＞5，i=6，S=63滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為63．故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．7.在（x﹣）5的展開式中x3的系數(shù)等于﹣5，則該展開式項(xiàng)的系數(shù)中最大值為（）A．5 B．10 C．15 D．20參考答案：B【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】在（x﹣）5的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，可得x3的系數(shù)．再根據(jù)x3的系數(shù)等于﹣5，求得r的值，可得該展開式項(xiàng)的系數(shù)中最大值．【解答】解：由于（x﹣）5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?（﹣a）r?x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系數(shù)等于=﹣5，a=1．則該展開式項(xiàng)的系數(shù)中最大值為=10，故選：B．8.

長方體的對角線長度是，若長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是

（）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C9.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6參考答案：B【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱軸得出，然后利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出可得出答案。【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，，，，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，意在考查正態(tài)密度曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題。10.一個(gè)空間幾何體的正視圖，側(cè)視圖如下圖，圖中的單位為cm，六邊形是正六邊形，則這個(gè)空間幾何體的俯視圖的面積是

（

）

A．cm2

B．cm2

C．cm2

D．20cm2參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為

.參考答案：略12.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為________.參考答案：略13.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)

參考答案：014.已知，，則．參考答案：略15.已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，若a=1,2cosC+c=2b，則ΔABC的周長的取值范圍是__________。參考答案：略16.已知雙曲線的離心率為，頂點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____；漸近線方程為_________.參考答案：17.已知等差數(shù)列中，有成立．類似地，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，有_____________________成立．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）三棱錐,底面為邊長為的正三角形，平面平面，,為上一點(diǎn)，，為底面三角形中心.（Ⅰ）求證∥面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求面截三棱錐所得的較大幾何體的體積.參考答案：證明：（Ⅰ）連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié)、.

--------------1分為正三角形的中心，∴,

又，∴∥,

--------------2分平面，平面

--------------3分∴∥面．

--------------4分（Ⅱ）,且為中點(diǎn),∴,

又平面平面，∴平面．

--------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,

∴

--------------6分連結(jié),則,

又,∴平面,

--------------7分∴．

--------------8分（Ⅲ）連結(jié)并延長交于點(diǎn),連結(jié),則面將三棱錐截成三棱錐和四棱錐兩個(gè)幾何體.

--------------9分

-----------10分

--------------11分∴所截較大部分幾何體的體積為.

--------------12分

略19.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有實(shí)數(shù)a的值；（3）證明：（n∈N，n＞1）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性；（2）對a進(jìn)行分類：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞減，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；當(dāng)a＞0時(shí)，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，讓最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的結(jié)論，對式子變形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞減，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值為g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解為a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．20.2018年9月16日下午5時(shí)左右，今年第22號臺(tái)風(fēng)“山竹”在廣東江門川島鎮(zhèn)附近正面登錄，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失，某記著調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）.（1）臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元60

捐款不超過500元

10

合計(jì)

圖2

附：臨界值表：P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

隨機(jī)變量K2=參考答案：解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元的有人，經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的有100-70=30人，

則表格數(shù)據(jù)如下

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元602080捐款不超過500元101020合計(jì)7030100

由于，所以有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)．（2）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率.由題意知的取值可能有，

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30

捐款不超過500元

6

合計(jì)

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30

捐款不超過500元

6

合計(jì)

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30

捐款不超過500元

6

合計(jì)

，，，，

，從而的分布列為

，

21.（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓C：的離心率，短軸的右端點(diǎn)為B，M（1，0）為線段OB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M任意作一條直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)P，Q試問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得∠PNM=∠QNM？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）滿足條件的點(diǎn)N存在，坐標(biāo)為.試題分析：（Ⅰ）由題意知,,由，得（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，坐標(biāo)為（t，0），其中t為常數(shù).由題意直線PQ的斜率不為0，可得直線PQ的方程可設(shè)為：,；設(shè),聯(lián)立，消去x得：,