北京第三十一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

北京第三十一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知的最小值是

（

）

A．15

B．6

C．60

D．1

參考答案：答案：C2.已知復(fù)數(shù)，則（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：A,選A.3.已知，若的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（

）

A．（0，9）

B．（0，3）

C．

D．

參考答案：D略4.已知集合，則

( )A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B?A D.A?B參考答案：B5.函數(shù)y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，且|AB|=2，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸為（）A．x= B．x= C．x=2 D．x=1參考答案：D【考點(diǎn)】HB：余弦函數(shù)的對稱性．【分析】根據(jù)y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)求得φ的值，根據(jù)|AB|=2，利用勾股定理求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，從而得到函數(shù)圖象的一條對稱軸．【解答】解：由函數(shù)y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，可得φ=kπ+，k∈z．再結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=．再根據(jù)AB2=8=4+，求得ω=，∴函數(shù)y=cos（x+）=﹣sinx，故它的一條對稱軸方程為x=1，故選：D．6.如果關(guān)于x的不等式的解集為(-1,3)，則不等式的解集是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A7.某人睡午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)想聽電臺整點(diǎn)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間小于10分鐘的概率是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.在二項(xiàng)式的展開式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)陧?xiàng)系數(shù)最大,第項(xiàng)系數(shù)最小,則的值可以是(

).

A. B.

C.

D.參考答案：答案:D9.函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A10.已知向量與的夾角為θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0時(shí)取得最小值．當(dāng)0＜t0＜時(shí)，夾角θ的取值范圍為（）A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】由向量的運(yùn)算可得=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，t0=，根據(jù)0＜＜，求得cosθ的范圍，可得夾角θ的取值范圍．【解答】解：由題意可得?=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣═（1﹣t）﹣t，∴=（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，t0=，由題意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a∈[0，10）且a≠1，則函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（x）=在區(qū)間（0，+∞）上也為增函數(shù)的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．

【專題】計(jì)算題．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型，關(guān)鍵是要找出當(dāng)a在區(qū)間[0，10）上任意取值時(shí)，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（x）=在區(qū)間（0，+∞）上也為增函數(shù)時(shí)，點(diǎn)對應(yīng)的圖形的長度，并將其代入幾何概型的計(jì)算公式，進(jìn)行求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，∴a＞1；又g（x）=在區(qū)間（0，+∞）上也為增函數(shù)，∴a﹣2＜0，即a＜2．滿足條件的函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（x）=在區(qū)間（0，+∞）上也為增函數(shù)的a的范圍是：（1，2），函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（x）=在區(qū)間（0，+∞）上也為增函數(shù)的概率是：P=故答案為：．【點(diǎn)評】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=求解．12.設(shè)方程

.參考答案：113.若函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x+3）為偶函數(shù)，則f（2）=．參考答案：﹣5【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函數(shù)，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案為：﹣5．14.下列命題是真命題的序號為：

▲

①定義域?yàn)镽的函數(shù)，對都有，則為偶函數(shù)②定義在R上的函數(shù)，若對，都有，則函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱③函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)④函數(shù)的圖形一定是對稱中心在圖像上的中心對稱圖形。⑤若函數(shù)有兩不同極值點(diǎn)，若，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)必有三個(gè)參考答案：③④⑤略15.在數(shù)列中，，，則

______.參考答案：略16.函數(shù)的定義域是____________參考答案：17.執(zhí)行如右圖所示程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值為k，且實(shí)數(shù)a、b、c滿足，求證：參考答案：（1）（2）證明見解析【分析】(1)分類去絕對值符號后解不等式，最后取并集；(2)求出函數(shù)的最小值k，根據(jù)基本不等式得出結(jié)論.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得②當(dāng)時(shí)，不等式即為，③當(dāng)時(shí)，不等式即為，綜上，的解集為（2）由當(dāng)時(shí)，取最小值4，即，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.19.（本小題滿分12分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每虧損300元。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130該農(nóng)產(chǎn)品。以（單位：，表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤。（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57000元的概率；參考答案：20.已知函數(shù)．（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．參考答案：（1）．令，得．與的變化情況如下表：—0＋

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0,1]上的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0,1]上的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0,1]上的最小值為．21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=（其中t為常數(shù)）．（1）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍；（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離．參考答案：考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．專題：直線與圓．分析：（1）把曲線M的參數(shù)方程化為y=x2﹣1，把曲線N的極坐標(biāo)方程化為x+y﹣t=0．曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得t的范圍．（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線N相切時(shí)，由（1）可得t=﹣，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計(jì)算求得結(jié)果．解答： 解：（1）曲線M（θ為參數(shù)），即x2=1+y，即y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈．把曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=（其中t為常數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣t=0．由曲線N（圖中藍(lán)色直線）與曲線M（圖中紅色曲線）只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線N過點(diǎn)A（，1）時(shí)滿足要求，并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過點(diǎn)B（﹣，1）之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以﹣+1＜t≤+1滿足要求，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由有唯一解，即x2+x﹣1﹣t=0有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．綜上可得，要求的t的范圍為（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由（1）可得t=﹣．故曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+=0之